Агуулгыг алгасах

Шугаман уян харимхай чанар

Энэ бүлэгт шугаман уян харимхай материалын материалын хамаарлын хууль (Hooke-ийн хууль)-ийг авч үзнэ. Загвар сонгох болон оролтын тодорхойлолтын дэлгэрэнгүйг 03_material функцийн хэсгээс үзнэ үү.

Үзэгдэл (Шугаман уян харимхай хариу)

Шугаман уян харимхай бие гэдэг нь ачааллын үеийн харьцангуй деформаци хангалттай бага мужид хүчдэл ба харьцангуй деформацийн хооронд шугаман хамааралтай, ачааллыг авахад бүх харьцангуй деформаци анхны төлөвтөө буцдаг, түүхээс үл хамаарах урвуу хариу үзүүлдэг материал юм. Хуванцаршил эсвэл мөлхөлтөөс ялгаатай нь төлөвийг илэрхийлэх дотоод хувьсагч (жишээлбэл, хуванцар харьцангуй деформаци эсвэл зууралдамтгай харьцангуй деформаци) байхгүй бөгөөд хүчдэл зөвхөн тухайн үеийн харьцангуй деформациар цорын ганц утгаар тодорхойлогдоно.

Бага деформацийн мужид Cauchy хүчдэл \(\boldsymbol{\sigma}\) ба хязгааргүй бага харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ийг ашиглана; хязгаартай деформацийн мужид (их эргэлт агуулсан боловч харьцангуй деформаци өөрөө бага бодлого) 2-р Piola-Kirchhoff хүчдэл \(\boldsymbol{S}\) ба Green-Lagrange харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{E}\)-ийг ашиглана (St.Venant-Kirchhoff материал).

Материалын хамаарлын хууль

Изотроп шугаман уян харимхай материал

Бага деформацийн мужид изотроп Hooke-ийн хуулийг Lamé-ийн тогтмолууд \(\lambda, \mu\)-г ашиглан дараах байдлаар илэрхийлнэ

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Компонент хэлбэрээр,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

мөн харьцангуй деформацитай давхар агшилт хийхэд \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) болно. Lamé-ийн тогтмолууд Young-ийн модуль \(E\) болон Poisson-ийн харьцаа \(\nu\)-тай дараах хамааралтай:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt тэмдэглэгээнд харьцангуй деформацийн вектор \(\hat{\varepsilon}\) ба хүчдэлийн вектор \(\hat{\sigma}\)-ийн хамаарлыг \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) гэж бичих бөгөөд 3 хэмжээст материалын матриц \(D\) нь

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Энэ матрицын дүрслэлийг хэрэгжүүлэлтэд ашиглана.

Ортотроп шугаман уян харимхай материал

Үндсэн тэнхлэгийн чиглэл бүрт уян харимхайн тогтмол нь өөр материалын хувьд 9 бие даасан тогтмолтой ортотроп загвар хэрэглэнэ: үндсэн тэнхлэгийн чиглэл дэх Young-ийн модулиуд \(E_1, E_2, E_3\), үндсэн тэнхлэгүүд хоорондын Poisson-ийн харьцаанууд \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), мөн хяргах модулиуд \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) матрицын ил хэлбэрийг стандарт лавлах материалаас үзнэ үү.

Хязгаартай деформацийн муж: St.Venant-Kirchhoff материал

Их эргэлт агуулсан боловч харьцангуй деформаци өөрөө бага бодлогод 2-р Piola-Kirchhoff хүчдэл \(\boldsymbol{S}\) ба Green-Lagrange харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{E}\)-ийг холбосон шугаман уян харимхайн хууль болгон St.Venant-Kirchhoff материалыг ашиглана:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé-ийн тогтмолууд \(\lambda, \mu\)-ийн тодорхойлолт бага деформацийн тохиолдолтой ижил. Гэхдээ хүчдэл-харьцангуй деформацийн хосын тодорхойлолт өөр тул энэ нь бага деформацийн Hooke-ийн хуулиас өөр материалын хамаарлын хууль болохыг анхаарна уу.

Гипоуян харимхай материал

Updated Lagrange аргад харьцангуй Kirchhoff хүчдэлийн тензорын Jaumann хурд \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) болон деформацийн хурдны тензор \(\boldsymbol{D}\)-ийн хооронд шугаман уян харимхайн хуулийг авсан гипоуян харимхай материалыг ашиглана:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Энд мөн \(\boldsymbol{C}\)-ийн Lamé-ийн тогтмолоор илэрхийлсэн тодорхойлолт дээрхийн адил боловч хүчдэл-харьцангуй деформацийн хос өөр учраас энэ нь өөр материалын хамаарлын хууль юм. \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\)-ийг хугацааны интегралчлалын процедур (урагш Euler интегралчлал ба төвийн ялгаврын ойролцоолол)-аар хэрхэн шинэчлэх дэлгэрэнгүйг tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex-ээс үзнэ үү.

2 хэмжээст шинжилгээ ба бүрхүүл элементэд бууруулах

Хавтгайн хүчдэл (\(\sigma_{33} = 0\))

Нимгэн хавтан ба бүрхүүлийн ачааллыг илэрхийлэх хавтгайн хүчдэлд \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) гэж үзэж, хавтгайгаас гаднах харьцангуй деформацийн компонент \(\varepsilon_{33}\)-ийг алгебрын аргаар арилгасан \(D\)-г ашиглана:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Хавтгайн харьцангуй деформаци (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Зузааны чиглэлд хязгаарлагдсан урт бүтээцийн хөндлөн огтлолыг илэрхийлэх хавтгайн харьцангуй деформацид \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) гэж үзнэ:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Тэнхлэгийн тэгш хэмтэй

Цилиндр координат \((r, \theta, z)\)-ын \(\theta\) чиглэлд жигд бодлогыг авч үздэг тэнхлэгийн тэгш хэмт шинжилгээнд \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ба \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) гэсэн 4 компонентыг хадгалж,

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

гарган авна.

Бүрхүүл элемент (Хавтгайн хүчдэл + Хөндлөн хяргалт)

Бүрхүүл элементийн хувьд хавтгай доторх хүчдэлийг хавтгайн хүчдэл гэж үзэж, хөндлөн хяргах харьцангуй деформацийн компонентууд \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\)-д хяргалтын засварын коэффициент \(\kappa\) (ерөнхийдөө \(\kappa = 5/6\))-тай \(\kappa\, G\)-г ашиглана. Элемент бүрийн дэлгэрэнгүй томьёоллыг Нарийвчилсан элементийн томьёолол-оос үзнэ үү. 03_material функцийн хэсгийн “бүрхүүл элемент зөвхөн шугаман уян харимхайг дэмжинэ” гэсэн тодорхойлолт нь хавтгай доторх төлөвийг хавтгайн хүчдэл гэж үзэх энэхүү хялбаршуулалтад үндэслэнэ.

Температурын хамаарал

Young-ийн модуль \(E\), Poisson-ийн харьцаа \(\nu\), шугаман тэлэлтийн коэффициент \(\alpha\)-г ерөнхийдөө температур \(T\)-ийн функцээр заана. FrontISTR-д хязгаартай тооны температурын цэгүүд \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) дээр утгууд оруулж, тооцооллын үеийн температур \(T\)-г хөрш цэгүүдийн хооронд шугаман интерполяцаар үнэлнэ. Мужаас гаднах температурт (\(T < T_1\) эсвэл \(T > T_n\)) хамгийн ойрын төгсгөлийн цэгийн \(T_1\) эсвэл \(T_n\) утгыг экстраполяцид ашиглана (тогтмол экстраполяци).

Дулааны болон дулаан дамжилтын шинж чанаруудын (нягт, хувийн дулаан, дулаан дамжуулалтын коэффициент) температурын хамаарлыг Дулааны шинж чанар-аас үзнэ үү. Интерполяцийн дүрэм эдгээр шинж чанарт нийтлэг.

Холбогдох сэдвүүд