Агуулгыг алгасах

Хэлбэрийн функц ба төгсгөлөг элементийн ойролцоолол

Виртуал ажлын зарчим-ын сул хэлбэрийг компьютероор боловсруулахын тулд биеийн мужийг төгсгөлөг тооны элементэд хувааж, элемент доторх материал цэгийн координат, шилжилт болон туршилтын функцийг зангилааны утга ба хэлбэрийн функцээр интерполяцлана. Хэлбэрийн функцийн орон зайн уламжлалыг Хэлбэрийн функцийн орон зайн уламжлал, сул хэлбэрийн дискретчлэлийг Дотоод хүчний виртуал ажлын дискретчлэл, элемент төрөл бүрийн хэлбэрийн функцийн тодорхой хэлбэрийг Элементийн дугаарлалтын тогтолцоо ба хэлбэрийн функцийн сан болон дараагийн хэсгүүдэд авч үзнэ.

Мужийн хуваалт ба интегралын элементийн нийлбэр

Жишиг конфигурацийн муж \(\Omega_0\) болон одоогийн конфигурацийн муж \(\Omega\)-г тус тус элементүүд \(\Omega^e_0\), \(\Omega^e\)-ийн нэгдлээр ойролцоолно:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) нь элементийн дугаар бөгөөд элементийн хилүүдийг хөрш элементүүд хуваалцана.) Ингэснээр Виртуал ажлын зарчим-д гардаг эзлэхүүн ба гадаргуугийн интегралуудыг элемент тус бүрийн интегралын нийлбэр болгон задлана:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Одоогийн конфигурацид мөн адил \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) гэж орлуулна.) Цаашид сул хэлбэрийн үнэлгээ нь элемент тус бүрийн интегралыг байгуулахад шилжинэ.

Зангилааны утга ба хэлбэрийн функцээр интерполяцлах (изопараметр элемент)

Элемент бүр \(\Omega^e_0\) нь \(n_e\) зангилаатай. Элементийн зангилаа \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-ийн жишиг конфигурацийн координат ба зангилааны шилжилтийг \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) гэж тэмдэглэе. Эдгээрийг эрэмбэлсэн элементийн зангилааны векторууд \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) нь нийт зангилааны векторууд \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)-оос (\(n_g\) нь нийт зангилааны тоо) элемент \(e\)-г бүрдүүлэгч зангилааны бүрэлдэхүүнүүдийг сонгон авсан векторууд юм.

Элемент доторх локал координат болох байгалийн координат \(\boldsymbol{r}\)-г параметр болгон, хэлбэрийн функц \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)-ээр материал координат, шилжилт болон туршилтын функцийг ижил хэлбэрийн функцээр интерполяцлана (изопараметр элемент ба Galerkin арга):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Хэлбэрийн функцуудыг дараах хоёр шинжийг хангахаар байгуулж, байгалийн координатаас материал координат руу хийх \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) дүрслэл элемент дотор нэг утгатай байхаар элементийн хэлбэрийг сонгоно:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) нь зангилаа \(\alpha\)-д харгалзах байгалийн координатын цэг, \(\delta_{\alpha\beta}\) нь Kronecker-ийн дельта.) Эхний тэгшитгэл нь хатуу биеийн шилжилтийг сэргээх чадварыг, хоёр дахь нь интерполяцласан утга зангилаан дээр зангилааны утгатай тэнцэхийг батална. Элемент төрөл бүрийн \(n_e\), \(N_\alpha^e\)-ийн тодорхой хэлбэрийг Элементийн дугаарлалтын тогтолцоо ба хэлбэрийн функцийн сан болон дараагийн хэсгүүдэд үзүүлнэ. Тэмдэглэгээг хэт төвөгтэй болгохгүйн тулд элементийн төрлөөс хамаарлыг элемент тус бүрийн дээд индекс \(e\)-ээр төлөөлүүлнэ.

Дээрх интерполяцийн дүрмээр сул хэлбэрийн интегралын функцыг зөвхөн элементийн зангилааны утгууд \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) болон \(N_\alpha^e\)-ээр илэрхийлж болно. Харин харьцангуй деформаци нь интерполяцласан шилжилт болон харьцангуй деформаци-шилжилтийн хамаарал-аас, хүчдэл нь уг харьцангуй деформаци болон материалын тодорхойлох хууль-аас гардаг бөгөөд зангилааны утгаас шууд интерполяцлагдахгүй. Эдгээрийг элемент доторх интегралын цэгүүдэд үнэлнэ (Тоон интегралчлал).

Нийт зангилааны векторын эрэмбэлэх дүрэм

Зангилаанд оноосон физик хэмжигдэхүүнүүдийг нийт зангилааны векторт зангилааны дугаар → чөлөөний зэрэг гэсэн дарааллаар өсөхөөр байрлуулна. Зангилаа \(\alpha\) дээрх чөлөөний зэрэг \(i\)-ийн бүрэлдэхүүнийг \(u_{i\alpha}\) гэж тэмдэглэвэл гурван хэмжээст (\(i=1,2,3\)) ба хоёр хэмжээст (\(i=1,2\)) тохиолдолд тус тус

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Координат \(\boldsymbol{X}^n\) болон туршилтын функц \(\delta\boldsymbol{u}^n\) мөн ижил эрэмбийг дагана. Цаашдын матриц ба вектор хэлбэрийн хувиргалтыг гурван хэмжээст тохиолдлоор төлөөлүүлэн бичнэ.

Холбогдох сэдвүүд