Агуулгыг алгасах

Хэлбэрийн функцийн орон зайн уламжлал

Хэлбэрийн функц ба төгсгөлөг элементийн ойролцоолол-д танилцуулсан \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) хэлбэрийн функцууд нь элементийн локал координат болох натурал координат \(\boldsymbol{r}\)-ийн функцээр өгөгдөнө. Харин харьцангуй деформаци-шилжилтийн хамаарлаар дамжин сул хэлбэрийн интегралын илэрхийлэлд физик координатын (эхний байрлал \(\boldsymbol{X}\) эсвэл одоогийн байрлал \(\boldsymbol{x}\)) хувьд авах хэсэгчилсэн уламжлал, өөрөөр хэлбэл \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) эсвэл \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) орно. Энэ хэсэгт элементийн зангилааны координат болон натурал координатын хувьд авсан уламжлалаас эдгээр хэлбэрийн функцийн орон зайн уламжлал-ыг тооцоолох аргыг эмхэтгэнэ.

Гинжин дүрмээр орон зайн уламжлалыг илэрхийлэх нь

Өмнөх хэсгийн \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) интерполяцийн томьёонд гинжин дүрмийг хэрэглэж, натурал координатаас физик координат руу хийх хувиргалтын Якобийн матриц \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\)-ыг ашиглавал

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Энд \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) болон \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) нь \(\alpha\) мөр бүрт \(\alpha\) зангилааны хэсэгчилсэн уламжлалын векторыг агуулсан матрицууд бөгөөд тус бүр \(n_e \times 3\) хэмжээтэй.

Якобийн матрицыг байгуулах нь

Интерполяцийн томьёог \(\boldsymbol{r}\)-ийн хувьд дифференциалчилбал

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Иймээс Якобийн матрицыг элементийн зангилааны координат \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) болон натурал координатын уламжлал \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)-аас шууд байгуулж болно. Натурал координатын уламжлал нь хэлбэрийн функцийн функциональ хэлбэрээр тодорхойлогддог бөгөөд элементийн төрөл тус бүрээр урьдчилан хэрэгжүүлсэн байна.

Якобийн матрицын тодорхойлогч \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) нь тоон интегралчлал-д эзлэхүүний элементийг \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) гэж хувиргахад хэрэглэгдэнэ. Тодорхойлогч \(0\) болбол элемент дегенерацлагдсан гэж үзэж, тооцоолол амжилтгүй болно.

Тооцооллын урсгал

Дээрх гаргалгаанаас \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) орон зайн уламжлалыг тооцоолох үйл явцыг дараах дөрвөн үе шатанд хувааж болно.

  1. Натурал координатын уламжлалыг тооцоолох: Элементийн төрөл болон үнэлэх цэгийн натурал координат \(\boldsymbol{r}\)-ыг оролт болгон натурал координатын уламжлалын матриц \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)-ыг тооцоолно. Хэлбэрийн функцийн функциональ хэлбэр элементийн төрлөөс хамаардаг тул боловсруулалт элементийн төрлөөр салаална.
  2. Якобийн матрицыг тооцоолох: Элементийн зангилааны координат \(\boldsymbol{X}^e\) болон \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)-аас өмнөх хэсгийн томьёог ашиглан Якобийн матриц \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\)-ыг байгуулна.
  3. Урвуу матриц ба тодорхойлогчийг тооцоолох: Якобийн матрицын урвуу \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) болон тодорхойлогчийг тооцоолно. Тодорхойлогч нь тоон интегралчлалын жинд хэрэглэгдэнэ.
  4. Орон зайн уламжлалыг тооцоолох: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) болон \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)-ын үржвэрээр орон зайн уламжлал \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)-ыг олно.

Эдгээр дөрвөн үе шат нь элементийн төрөл болон орон зайн хэмжээсээс (хоёр эсвэл гурван хэмжээст) хамааран салаалах боловч нийт урсгал нь ижил.

Эхний ба одоогийн байрлалыг нийтлэг аргаар боловсруулах нь

Дээрх аргыг \(\boldsymbol{X}^e\)-ийн оронд одоогийн зангилааны координат \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\)-ыг ашиглах замаар мөн адил хэрэглэж, одоогийн байрлал дахь орон зайн уламжлал \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\)-ыг олж болно. Иймээс зөвхөн оролтын зангилааны координатыг сольсноор Total Lagrangian болон Updated Lagrangian томьёололд нэг ижил аргыг хамтатган ашиглаж болно.

Холбогдох сэдвүүд