Агуулгыг алгасах

Дотоод хүчний виртуал ажлын дискретчлэл

Алхамчилсан шинжилгээний хүрээ-д үзүүлсэн \(t + \Delta t\) агшны виртуал ажлын тэгшитгэл нь лавлах конфигурацийн сонголтоос хамааран Updated Lagrange ба Total Lagrange гэсэн хоёр хэлбэрт хуваагдана. Энэ бүлэгт Хэлбэрийн функц ба төгсгөлөг элементийн ойролцоолол болон Хэлбэрийн функцийн орон зайн уламжлал-д нэвтрүүлсэн төгсгөлөг элементийн ойролцооллыг ашиглан хоёр томъёоллын дотоод хүчний виртуал ажлыг орон зайд дискретчилж, элементийн дотоод хүчний вектор \(\boldsymbol{q}^e\) (UL арга) болон \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL арга)-г олно.

Элемент \(e\)-ийн бүрэлдэхүүн зангилааг \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), тэдгээрийн шилжилтийг \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) гэж авч, элементийн зангилааны шилжилтийн векторыг \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) дарааллаар байрлуулна. Виртуал шилжилт \(\delta \boldsymbol{u}^e\)-ийг мөн ижил дарааллаар тодорхойлно. Элемент доторх шилжилтийг хэлбэрийн функцээр \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) гэж интерполяцлана.

Updated Lagrange аргын дотоод хүчний виртуал ажил

Updated Lagrange аргад \(t\) агшны одоогийн конфигураци \({}^{t}\Omega\)-г лавлах конфигураци болгон авч, Cauchy хүчдэл \(\boldsymbol{\sigma}\) болон Almansi харьцангуй деформацийн шугаман хэсэг \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)-ээр дотоод хүчний виртуал ажлыг

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

гэж бичнэ. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)-ийн бүрэлдэхүүн бүрийг одоогийн конфигурацийн координат \(\boldsymbol{x}\)-д харгалзах хэлбэрийн функцийн уламжлал \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) болон зангилааны виртуал шилжилт \(\delta u^e_{i\alpha}\)-ийн шугаман хослол болгон илэрхийлж, Voigt тэмдэглэгээгээр

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

гэж нэгтгэнэ. Зангилааны блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) нь \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-г Voigt дүрмийн дагуу байрлуулсан \(6 \times 3\) матриц бөгөөд \(\boldsymbol{B}_L\) нь UL аргын харьцангуй деформаци-шилжилтийн матриц болно. Үүнийг дотоод хүчний виртуал ажилд орлуулж \(\delta \boldsymbol{u}^e\)-г салгавал

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

гарна. \(\boldsymbol{q}^e\)-ийн зангилааны блок \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) нь элемент \(\Omega^e\)-ийн бүрэлдэхүүн зангилаа \(\alpha\)-д үйлчлэх дотоод хүч юм.

Total Lagrange аргын дотоод хүчний виртуал ажил

Total Lagrange аргад анхны конфигураци \(\Omega_0\)-г лавлах конфигураци болгон авч, хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэл \(\boldsymbol{S}\) болон Green-Lagrange харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{E}\)-ээр

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

гэж бичнэ. \(\delta \boldsymbol{E}\) нь виртуал шилжилтийн шугаман гишүүн болон одоогийн шилжилтийн градиент \(\partial u_k/\partial X_j\)-тай үржвэр агуулсан шугаман бус гишүүнд хуваагдана:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Шугаман гишүүнийг UL аргатай ижил байрлуулах дүрмийг \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-д хэрэглэсэн зангилааны блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\)-аар

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

гэж бичиж болно (лавлах конфигураци өөр учраас бүрэлдэхүүн уламжлал \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-ээс \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) болж солигдохоос бус тэмдэглэгээг UL аргатай ижил хэрэглэнэ). Шугаман бус гишүүнийг одоогийн шилжилтийн градиент \(\partial u_k/\partial X_j\) болон \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ийн үржвэрийг Voigt дүрмээр байрлуулсан зангилааны блок \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\)-аар

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

гэж бичиж болно. Иймээс \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) болж, \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) нь TL аргын харьцангуй деформаци-шилжилтийн матриц болно. Үүнийг дотоод хүчний виртуал ажилд орлуулбал

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

гарна. Зангилааны блок \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) нь элемент \(\Omega^e_0\)-ийн бүрэлдэхүүн зангилаа \(\alpha\)-д үйлчлэх дотоод хүч юм.

UL/TL-ийн харгалзаа ба тооцооллын урсгал

Updated Lagrange ба Total Lagrange аргын элементийн дотоод хүчний векторууд дараах байдлаар харгалзана.

Зүйл Updated Lagrange арга Total Lagrange арга
Лавлах конфигураци Одоогийн конфигураци \({}^{t}\Omega^e\) Анхны конфигураци \(\Omega^e_0\)
Хүчдэлийн тензор Cauchy хүчдэл \(\boldsymbol{\sigma}\) Хоёрдугаар PK хүчдэл \(\boldsymbol{S}\)
Харьцангуй деформацийн вариац \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B матриц \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Элементийн дотоод хүч \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Хоёр аргыг ижил дарааллаар боловсруулж болно: хэлбэрийн функцийн орон зайн уламжлалаас \(\boldsymbol{B}_L\)-г байгуулна; TL аргад одоогийн шилжилтийн градиентаас \(\boldsymbol{B}_{NL}\)-г байгуулж нэмнэ; төлөвийн хуулийн дагуу хүчдэл (\(\boldsymbol{\sigma}\) эсвэл \(\boldsymbol{S}\))-ийг шинэчилнэ; интегралын цэг бүрт \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) эсвэл \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\)-ийг элементийн муж дээр тоон интегралчилна (Тоон интегралчлал). Лавлах конфигурацийг солих (зангилааны координат ба \(\boldsymbol{B}\) матрицын байгуулалт) болон хүчдэлийн тензорыг солихоос бусад боловсруулалт нийтлэг тул FrontISTR-д хоёр аргын дотоод хүчний тооцоог нийтлэг дэд программаар хэрэгжүүлдэг. Элементийн дотоод хүчний вектор \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\)-оос нийт дотоод хүчний вектор руу угсрах үйлдлийг Гадаад хүчний виртуал ажил ба нийт тэгшитгэлийг угсрах-д тайлбарлана.

Холбогдох сэдвүүд