Агуулгыг алгасах

Гадаад хүчний виртуал ажил ба нийт тэгшитгэлийг угсрах

Дотоод хүчний виртуал ажлын дискретчлэл-д сул хэлбэрийн зүүн талыг элементийн дотоод хүчний вектор \(\boldsymbol{q}^e\) (UL арга) эсвэл \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL арга)-д нэгтгэсэн. Энэ бүлэгт гадаад хүчний виртуал ажлаас элементийн зангилааны гадаад хүчний вектор \(\boldsymbol{F}^e\)-г нэвтрүүлж, элементийн зангилааны физик хэмжигдэхүүнийг нийт зангилааны дугаараар дахин эрэмбэлэн хуримтлуулах угсралт үйлдлээр дамжин FrontISTR-ийн шугаман бус бүтцийн шинжилгээ бодох зангилааны шилжилтийн шугаман бус тэгшитгэлийн системд хүрнэ.

Гадаад хүчний виртуал ажлын элементийн задлал

Виртуал ажлын зарчим-ын баруун талыг эзлэхүүний хүч (биеийн хүч) болон механикийн хил дээр өгөгдсөн гадаргуугийн хүчнээс бүрдэх гадаад хүчний виртуал ажил болгон элемент тус бүрээр задлаж болно. Хэлбэрийн функц ба төгсгөлөг элементийн ойролцоолол-д нэвтрүүлсэн шилжилтийн интерполяцийг матриц хэлбэрээр бичихийн тулд зангилаа \(\alpha\)-ийн хэлбэрийн функц \(N_\alpha^e\)-г диагональд байрлуулсан \(d \times d\) блок \(\boldsymbol{N}_\alpha\) болон тэдгээрийг хэвтээгээр залгасан \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)-г ашиглан \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) гэж авна. Үүнийг жишиг конфигурацид бичсэн гадаад хүчний виртуал ажилд орлуулбал

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

гарна. Энд элементийн зангилааны гадаад хүчний вектор-ыг \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) гэж байрлуулсан. Ингэснээр гадаад хүчний виртуал ажлыг дотоод хүчний талтай адил “элементийн зангилааны вектор × туршилтын функц” хэлбэрт нэгтгэж болно (одоогийн конфигурацид бичсэн ч \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) орлуулалтаар ижил хэлбэртэй байна).

Элементийн зангилааны физик хэмжигдэхүүнийг угсрах

Элемент бүрээр олдсон зангилааны физик хэмжигдэхүүн \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\)-г нийт зангилааны дугаараар эрэмбэлсэн нийт векторт хуримтлуулна. Элемент \(\Omega^e\)-ийн локал зангилааны дугаар \(\alpha\)-д харгалзах нийт зангилааны дугаарыг

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

гэж тэмдэглэвэл элементийн зангилааны физик хэмжигдэхүүн нь нийт зангилааны физик хэмжигдэхүүний харгалзах бүрэлдэхүүнтэй тэнцэнэ (\(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\) гэх мэт). Ерөнхийдөө зангилаа \(i_g\)-г хэд хэдэн элемент хуваалцдаг тул нийт зангилааны дугаар нь \(i_g\) болох \((e, \alpha)\) хосуудын олонлог

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

-г ашиглан \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) гэж нийлбэрийг дахин бичвэл бүх \(n_g\) зангилааны зангилааны дотоод хүч болон нийт дотоод хүчний вектор

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

гарна. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) нь зангилаа \(i_g\)-д үйлчлэх элементийн зангилааны дотоод хүчнүүдийн нийлбэр хүчтэй тохирох бөгөөд гадаад хүч үйлчлэхгүй, тэнцвэрт байгаа үед \(\boldsymbol{0}\) болно. UL аргад ч ижил үйлдлээр \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) олдож, утгын хувьд \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) тул цаашид ялгах шаардлагатай хэсгээс бусад тохиолдолд \(\boldsymbol{Q}\) тэмдэглэгээг нэг мөр хэрэглэнэ. Нийт гадаад хүчний вектор \(\boldsymbol{F}\) ч мөн адил хуримтлуулалтаар олдоно.

Хэрэгжүүлэлтэд \(\mathcal{E}(i_g)\) олонлогийг илээр үүсгэхгүй, элементийн давталтын дотор харгалзах бүрэлдэхүүнд нэмж хуримтлуулна.

Нийт дотоод хүчний вектор Q-г 0-ээр эхлүүлэх：Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (элементийн тоо)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Нийт гадаад хүчний вектор \(\boldsymbol{F}\)-г мөн ижил журмаар байгуулна. Элементийн зангилааны физик хэмжигдэхүүнийг нийт зангилааны дугаараар дугаарлагдсан вектор, матрицын харгалзах хэсэгт нэмж хадгалах энэ үйлдлийг угсралт (assemble) гэнэ. Хоёр зангилааны дугаартай хоёрдугаар эрэмбийн тензорын (хөшүүн чанарын матриц гэх мэт) хувьд \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) олонлогийг ашиглан ижил төрлийн угсралтын үйлдэл хийж болно (нарийвчилсан байгуулалтыг Шүргэгч хөшүүн чанарын матриц-аас үзнэ үү).

Бодох шугаман бус тэгшитгэлүүд

Дотоод ба гадаад хүчний угсралтын үр дүнг Виртуал ажлын зарчим-д орлуулж, геометрийн хилийн нөхцөлийг хангах дурын туршилтын функц \(\delta\boldsymbol{u}^n\)-ийн хувьд биелэх ёстойгоос

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

гарна. Өсөлтийн шинжилгээний (Алхамчилсан шинжилгээний хүрээ) хүрээнд хугацааны доод индекс \(_{n+1}\)-ийг дахин хэрэглэж, нийт зангилааны векторыг илэрхийлэх дээд индекс \(^n\)-ийг орхивол бодох тэгшитгэл нь

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

болно. Хугацаа \(t_{n+1}\) дахь зангилааны шилжилт \(\boldsymbol{u}_{n+1}\)-ийг олох дискретчилсэн хилийн утгын бодлого нь энэхүү шилжилтийн шугаман бус тэгшитгэлийг геометрийн хилийн нөхцөлтэй хамт бодох бодлогод шилжинэ. Тэгшитгэлийг шугамчлах ба шүргэгч хөшүүн чанарын матрицыг байгуулахыг Шүргэгч хөшүүн чанарын матриц, давталтын шийдлийн аргыг Newton-Raphson арга-д тайлбарласан.

Холбогдох сэдвүүд