Агуулгыг алгасах

Тоон интегралчлал

Дотоод виртуал ажлын дискретчлэл болон Гадаад виртуал ажил ба глобал тэгшитгэлийн угсралт-аас гарсан элементийн дотоод хүчний векторууд \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) болон элементийн хөшүүн чанарын матриц \(\boldsymbol{K}^e\) нь элементийн муж \(\Omega^e\) эсвэл \(\Omega^e_0\) дээрх интегралын хэлбэртэй байна. FrontISTR эдгээрийг Гауссын квадратураар тоон аргаар үнэлдэг.

Гауссын квадратур ба хувьсагч солих

Гауссын квадратур нь эх муж \(\Xi\) дээрх интегралыг интегралчлах цэгүүд \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) дэх интегралын функцийн утгууд ба жин \(w_i\)-ийн шугаман хослолоор ойролцоолно. Үүнийг элементийн муж \(\Omega^e\)-д хэрэглэхдээ \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) дүрслэлээр хувьсагчийг сольж

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

энд \(n_q\) нь интегралчлах цэгийн тоо, \(J_{\xi_i}\) нь хувиргалтын Якобийн тодорхойлогч юм. Эх муж \(\Xi\)-г элементийн төрөл бүрээр тодорхойлно (гексаэдрийн хувьд \([-1,1]^3\); гурвалжин, тетраэдр, шаантаг элементийн хувьд харгалзах эх дүрсүүд), харин интегралчлах цэг \(\boldsymbol{\xi}_i\) ба жин \(w_i\)-г тоон хүснэгтээр өгнө. Гадаргуугийн интегралыг мөн элементийн талыг хоёр хэмжээст эх мужаас дүрслэх замаар ижил хэлбэрээр боловсруулна.

FrontISTR-д хэрэглэдэг интегралчлах цэгийн төлөөлөх тоонуудыг доор үзүүлэв (элементийн төрлүүдтэй харгалзахыг Элементийн дугаарлалтын схем ба хэлбэрийн функцийн сан-аас үзнэ үү).

Элементийн төрөл Квадратурын дүрэм Интегралчлах цэгийн тоо
4 зангилаатай тетраэдр (tet4n) 1 цэгийн дүрэм 1
10 зангилаатай тетраэдр (tet10n) 4 цэгийн дүрэм 4
6 зангилаатай гурвалжин призм (prism6n) 2 цэгийн дүрэм 2
15 зангилаатай гурвалжин призм (prism15n) 9 цэгийн дүрэм 9
8 зангилаатай гексаэдр (hex8n) 2×2×2 Гаусс-Лежандр 8
20 зангилаатай гексаэдр (hex20n) 3×3×3 Гаусс-Лежандр 27
4 зангилаатай дөрвөн өнцөгт (quad4n) 2×2 Гаусс-Лежандр 4
8 зангилаатай дөрвөн өнцөгт (quad8n) 3×3 Гаусс-Лежандр 9
3 зангилаатай гурвалжин (tri3n) 1 цэгийн дүрэм 1
6 зангилаатай гурвалжин (tri6n) 3 цэгийн дүрэм 3

Гексаэдр, дөрвөн өнцөгт болон шугаман элементүүдэд координатын чиглэл бүр дэх Гаусс-Лежандрын дүрмийн тензор үржвэрийг хэрэглэнэ. Гурвалжин, тетраэдр болон гурвалжин призмд симплекс төрлийн геометрт тохирсон тусгай дүрмүүдийг (гурвалжны өөрийнх нь дээр полиномыг яг интегралчлах цэгийн байрлал) хэрэглэнэ.

Элементийн интегралчлалд хэрэглэх нь

Элементийн интегралчлалд натурал координат \(\boldsymbol{r}\)-ыг эх мужийн координат болгон (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) ашиглаж, физик координат руу хийх дүрслэлийг хэлбэрийн функцээр зангилааны координатыг интерполяцлах замаар өгнө. Эх байрлалыг сонгосноос (Алхамчилсан шинжилгээний хүрээ) хамааран дараах томьёоллуудыг хэрэглэнэ.

Total Lagrangian арга (эхний байрлал \(\Omega^e_0\) дээр интегралчлах): дүрслэл ба Якоби нь

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

харин элементийн дотоод хүч ба хөшүүн чанарын матрицыг дараах байдлаар ойролцоолно

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) бүгдийг интегралчлах цэг \(\boldsymbol{r}_i\) дээр үнэлнэ.

Updated Lagrangian арга (одоогийн байрлал \(\Omega^e\) дээр интегралчлах): дүрслэл ба Якоби нь

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

гэж үзвэл,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

гэсэн ойролцооллыг хэрэглэнэ.

Хоёр томьёоллын цорын ганц ялгаа нь дүрслэлд өгөх зангилааны координат \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) эсвэл \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) байх явдал; интегралчлах цэгүүд, жин болон интегралчлах цэгийн давталтын бүтэц нь нийтлэг.

Бүрэн ба бууруулсан интегралчлал

Интегралын функцийн полиномын зэргийг яг интегралчлахад хүрэлцэх тооны цэг ашиглахыг бүрэн интегралчлал, харин нэг түвшнээр цөөн интегралчлах цэг ашиглахыг бууруулсан интегралчлал гэнэ. Бууруулсан интегралчлал нь зүсэлтийн болон эзлэхүүний түгжрэлийг багасгахад хэрэглэгддэг боловч элсэн цагийн горим зэрэг хуурамч деформацийн горимыг боловсруулах шаардлагатай. Элементийн төрөл тус бүрийн интегралчлах цэгийн тоо, бүрэн эсвэл бууруулсан интегралчлалын сонголтыг Элементийн дугаарлалтын схем ба хэлбэрийн функцийн сан болон дараагийн хэсгүүд, мөн Нарийвчилсан элементийн томьёолол-д авч үзнэ.

Холбогдох сэдвүүд