3 хэмжээст хатуу элементийн хэлбэрийн функцууд¶

Энэ бүлэгт Хэлбэрийн функц ба төгсгөлөг элементийн ойролцоо-д танилцуулсан хэлбэрийн функц \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)-ийн FrontISTR-ийн тасралтгүй орчны шинжилгээнд ашиглагддаг гурван хэмжээст хатуу элементүүдэд зориулсан натурал координатын систем болон ил хэлбэрүүдийг нэгтгэн үзүүлнэ. Зургаан элементийн төрөл нь нэгдүгээр/хоёрдугаар зэргийн тетраэдр (341/342), нэгдүгээр/хоёрдугаар зэргийн гурвалжин призм (351/352), нэгдүгээр/хоёрдугаар зэргийн гексаэдр (361/362) юм. HEC-MW торны формат дахь зангилааны дараалал ба нүүрний дугаарыг функцийн лавлахын Элементийн сан-аас үзнэ үү.

Эдгээр хэлбэрийн функц болон Якобийн детерминантаас элементийн интегралыг байгуулах журам нь Тоон интегралчлал-ыг дагана. 361-д зориулсан B-bar, F-bar болон incompatible томьёолол, мөн дам нуруу ба бүрхүүлийн элементийн хэлбэрийн функцуудыг Дэвшилтэт элементийн томьёоллууд-д тайлбарласан.

Натурал координатын систем ба дотоод зангилааны дараалал¶

Хэлбэрийн функцуудыг элемент бүрийн натурал координат \(\boldsymbol{r}\) дээр тодорхойлно. Гурван хэмжээст хатуу элементүүд элементийн хэлбэрээс хамааран дараах гурван натурал координатын системийг ашиглана.

Гексаэдр (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Тетраэдр (341/342): эзлэхүүний координат \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), энд \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\)-г бие даасан хувьсагч гэж авбал \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Гурвалжин призм (351/352): суурийн гурвалжны эзлэхүүний координат \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\))-ыг тэнхлэгийн координат \(\zeta \in [-1, 1]\)-тай хослуулж \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)-г үүсгэнэ. Туслах хэмжигдэхүүн \(a = 1 - \xi - \eta\)-г суурийн гурав дахь эзлэхүүний координат болгон ашиглана.

Нэгдүгээр зэргийн элементүүдийн хувьд HEC-MW оролтын формат ба дотоод формат дахь элементийн зангилааны дугаарлалт ижил. Хоёрдугаар зэргийн элементүүдэд дунд талын зангилааны дарааллын дүрэм өөр. FrontISTR нь HEC-MW форматыг оролтоор хүлээн авдаг (булангийн зангилааг элементийг тойруулан жагсаагаад дараа нь дунд талын зангилааг 1-2, 2-3, … ирмэгийн дарааллаар жагсаана), харин элементийн сангийн хэлбэрийн функцууд өөр зангилааны дарааллыг таамаглан хэрэгжсэн.

Хоёр форматын ялгааг торны оролтын дараа шууд дуудагддаг hecmw2fstr_mesh_conv шийдэж, элемент бүрийн зангилааг дахин эрэмбэлнэ. Гурван хэмжээст хатуу элементүүдээс дараах хоёр төрлийг хөрвүүлнэ.

Элементийн төрөл	Хөрвүүлэлтийн хүснэгт	Тайлбар
342 (хоёрдугаар зэргийн тетраэдр)	`Table342`	10 зангилааг \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) болгон дахин эрэмбэлнэ
352 (хоёрдугаар зэргийн гурвалжин призм)	`Table352`	15 зангилааг \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) болгон дахин эрэмбэлнэ

Дахин эрэмбэлэлт элементийн холболтыг хадгалдаг массив дээр шууд хийгддэг тул дараагийн бүх элементийн сангийн дуудлага FrontISTR-ийн дотоод зангилааны дарааллыг ашиглана. Хоёрдугаар зэргийн гексаэдр элемент 362-ын хувьд HEC-MW оролт ба FrontISTR дотоод формат дахь дунд талын зангилааны дараалал ижил учраас хөрвүүлэлтийн хүснэгт байхгүй. Үр дүн гаргах үед урвуу хөрвүүлэлт fstr2hecmw_mesh_conv бичихийн өмнө HEC-MW зангилааны дарааллыг сэргээнэ. Иймээс хэрэглэгч оролт, гаралт хоёуланд HEC-MW форматыг л анхаарахад хангалттай. Доорх хэлбэрийн функцууд дахь зангилааны дугаар нь хөрвүүлсэн FrontISTR дотоод форматыг ашиглана.

Нэгдүгээр зэргийн элементийн хэлбэрийн функцууд¶

Нэгдүгээр зэргийн тетраэдр элемент (341)-ийн хэлбэрийн функцууд нь эзлэхүүний координатууд өөрсдөө байна:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Нэгдүгээр зэргийн гурвалжин-призм элемент (351)-ийн хэлбэрийн функцууд нь суурийн гурвалжны шугаман хэлбэрийн функцууд (\(a, \xi, \eta\)) ба тэнхлэгийн шугаман хэлбэрийн функцууд (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\))-ын үржвэр байна:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Нэгдүгээр зэргийн гексаэдр элемент (361)-ийн хэлбэрийн функцууд нь гурван координатын чиглэл дэх шугаман хэлбэрийн функцуудын тензор үржвэр байна:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Энд \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) нь \(\alpha\) зангилааны натурал координатын утгууд (бүрэлдэхүүн бүр \(\pm 1\)) юм.

Хоёрдугаар зэргийн элементийн хэлбэрийн функцууд¶

Хоёрдугаар зэргийн тетраэдр элемент (342)-ийн хэлбэрийн функцууд дөрвөн булангийн зангилаа ба зургаан дунд талын зангилаанд хуваагдана:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Дунд талын зангилаа 5–10 нь харгалзан 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, 3-4 ирмэгүүдийн дунд цэгт харгалзана.

Хоёрдугаар зэргийн гурвалжин-призм элемент (352) нь зургаан булангийн зангилаа, гурвалжин нүүрэн дээрх зургаан дунд талын зангилаа, тэнхлэгийн ирмэг дээрх гурван дунд талын зангилаанаас бүрдэнэ:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Дунд талын зангилаа 7–9 нь доод гурвалжны (\(\zeta = -1\)) ирмэгийн дунд цэгүүдэд, 10–12 нь дээд гурвалжны (\(\zeta = +1\)) ирмэгийн дунд цэгүүдэд, 13–15 нь тэнхлэгийн ирмэгүүдийн дунд цэгүүдэд харгалзана.

Хоёрдугаар зэргийн гексаэдр элемент (362) нь Serendipity бүлгийн 20 зангилаатай элемент юм. \(\alpha\) зангилааны натурал координатын утгыг \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) гэж авъя. Булангийн зангилаанд (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), бүрэлдэхүүн бүр \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Дунд талын зангилаанд (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), гурван натурал координатын нэг нь \(0\), нөгөө хоёр нь \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\) бүхий зангилаа (\(\xi\) чиглэлтэй ирмэг) дараах хэлбэртэй:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Ирмэгийн чиглэл нь \(\eta\) эсвэл \(\zeta\) тэнхлэг байх дунд талын зангилаанд харгалзах натурал координатыг квадрат гишүүнээр арилган ижил байдлаар өгнө.

Холбогдох сэдвүүд¶

Хэлбэрийн функц ба төгсгөлөг элементийн ойролцоо — хэлбэрийн функц \(N_\alpha^e\)-ийн математик тодорхойлолт
Хэлбэрийн функцийн орон зайн уламжлал — хэлбэрийн функцийн глобал координатын уламжлал ба Якобиан
Тоон интегралчлал — интегралын цэг, жин, элементийн ойролцоо интеграл
Дэвшилтэт элементийн томьёоллууд — B-bar, F-bar, incompatible элемент, бүрхүүл, дам нуруу
Элементийн сан (Функцууд) — HEC-MW формат дахь зангилааны дараалал ба нүүрний дугаар
Физик хэмжигдэхүүний тэмдэглэгээний жагсаалт