Нарийвчилсан элементийн томьёолол¶

3D хатуу элементийн томьёолол-д үзүүлсэн шилжилтэд суурилсан стандарт томьёоллыг бараг шахагддаггүй материал эсвэл гулзайлтаар давамгайлсан нимгэн ханатай бүтцэд хэрэглэхэд түгжрэл (эзлэхүүний түгжрэл эсвэл зүсэлтийн түгжрэл) гэж нэрлэгдэх хэт хиймэл хөшүүн чанар үүсдэг. Үүнээс зайлсхийхийн тулд FrontISTR нь B матриц эсвэл деформацийн градиентийн зөвхөн эзлэхүүний хэсгийг сольдог B-bar ба F-bar аргууд; дотоод чөлөөний зэрэгтэй үл тохирох элементүүд; даралтыг бие даасан үл мэдэгдэх орон гэж үздэг u-p холимог элементүүд; мөн хавтан ба дам нурууны бүтцэд зориулсан MITC бүрхүүл ба дам нурууны элементүүдийг өгдөг.

Энэ бүлэгт эдгээр нарийвчилсан болон бүтцийн элементүүдийн томьёоллыг элемент тус бүрээр тоймлон тайлбарлана.

B-bar арга¶

8 зангилаатай шугаман гексаэдр элементийг бараг шахагддаггүй материалд ашиглахад нэг элемент доторх харьцангуй деформацийн орон тогтмол эзлэхүүний хязгаарлалттай зөрчилдөж, эзлэхүүний түгжрэл гэж нэрлэгдэх хэт хөшүүн чанар үүсч болно. B-bar арга нь эзлэхүүний тэлэлтэд хувь нэмэр оруулдаг B матрицын бүрэлдэхүүнийг элементийн төвд үнэлсэн утгаар солих замаар энэ хэт хязгаарлалтыг сулруулна [Hughes1980].

Элементийн төв \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) дээр хэлбэрийн функцийн орон зайн уламжлалаас тооцсон B матрицыг \(\bar{\boldsymbol{B}}\), интегралчлах цэг \(\boldsymbol{r}\) дээрх ердийн B матрицыг \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) гэж авъя. \(\alpha\) зангилаа ба \(i\) чөлөөний зэргийн шилжилт-харьцангуй деформацийн хамааралд эзлэхүүний харьцангуй деформацийн бүрэлдэхүүнүүд \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\)-ийг дараах хэмжээг нэмэх замаар өөрчилнө

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Зүсэлтийн бүрэлдэхүүнүүд \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\)-д ердийн \(\boldsymbol{B}\)-г хэрэглэнэ. Гарсан B-bar матрицыг ашиглан элементийн хөшүүн чанар болон дотоод хүчний векторыг угсарна.

FrontISTR энэ томьёоллыг 8 зангилаатай шугаман гексаэдр элементэд (элементийн ID 361; Элементийн дугаарлалтын систем-ыг үзнэ үү) тусгайлан өгдөг бөгөөд бага деформаци, Total Lagrange болон Updated Lagrange томьёололд хэрэглэж болно.

F-bar арга¶

Төгсгөлөг деформацид эзлэхүүний өөрчлөлт деформацийн градиент \(\boldsymbol{F}\)-ээр шугаман бусаар оролцоно. F-bar арга [deSouzaNeto1996] нь деформацийн градиентийн түвшинд B-bar аргатай төстэй эзлэхүүний түгжрэлийн боловсруулалтыг хэрэглэнэ.

Элементийн төв \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) дээр үнэлсэн деформацийн градиентийн эзлэхүүний харьцааг \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), интегралчлах цэг дээрх эзлэхүүний харьцааг \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) гэж авъя. Интегралчлах цэг дээрх деформацийн градиентийг

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Ингэснээр \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) болж, элемент даяарх эзлэхүүний харьцаа элементийн төвийн утгатай таарна. Сольсон \(\bar{\boldsymbol{F}}\)-г хүчдэл үнэлэх болон харьцангуй деформаци-шилжилтийн матриц байгуулахад ашиглах бөгөөд элементийн шүргэгч хөшүүн чанарт энэ солилттой холбоотой нэмэлт гишүүд орно.

FrontISTR F-bar аргыг 8 зангилаатай шугаман гексаэдр элементэд тусгайлан хэрэгжүүлсэн бөгөөд бага деформаци болон Total Lagrange / Updated Lagrange шугаман бус геометрт хэрэглэж болно.

Үл тохирох элементүүд¶

8 зангилаатай шугаман гексаэдр элементэд гулзайлтад шаардлагатай харьцангуй деформацийн горим дутагддаг тул гулзайлтаар давамгайлсан бодлогод гулзайлтын түгжрэл үзүүлдэг. Үл тохирох элементүүд [Taylor1976] энэ дутагдлыг нөхөхийн тулд элементийн дотор нэмэлт шилжилтийн горимууд оруулна.

Элементийн зангилааны шилжилт \(\boldsymbol{u}^e\)-ээс гадна зөвхөн элемент дотор орших үл тохирох горимын чөлөөний зэрэг \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\)-г элемент бүрт 3 чиглэл × 3 горимоор оруулж, шилжилтийн орныг

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Натурал координат \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)-ын хувьд үл тохирох хэлбэрийн функцуудыг \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) гэж авна. Тэд элементийн зааг дээр тасралтгүй байдлыг баталгаажуулахгүй боловч гулзайлтын горимтой холбоотой харьцангуй деформацийг дахин гаргах чадвартай дотоод орон зайг нэмдэг.

Элементийн хөшүүн чанарыг эхлээд гадаад чөлөөний зэрэг/дотоод чөлөөний зэргийн блок хэлбэрээр угсарна

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Энэ хэлбэрээр угсарсны дараа статик конденсацаар \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\)-г ашиглан дотоод чөлөөний зэргийг арилгаж, зөвхөн гадаад чөлөөний зэргийг агуулсан элементийн хөшүүн чанарыг

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

гэж олж глобал угсралтад дамжуулна.

FrontISTR үл тохирох элементийг 8 зангилаатай шугаман гексаэдр элементэд (C3D8IC) тусгайлан хэрэгжүүлсэн бөгөөд бага деформаци, Total Lagrange болон Updated Lagrange томьёололд хэрэглэж болно.

U-P холимог элементүүд¶

B-bar ба F-bar аргууд шилжилтэд суурилсан хүрээнд эзлэхүүний бүрэлдэхүүнийг засдаг бол u-p холимог (U-P) элемент нь даралт \(\lambda\)-г шилжилтээс үл хамаарах үл мэдэгдэх орон болгон оруулсан холимог томьёолол [Bathe1996] хэрэглэнэ. Пуассоны харьцаа 0.5-д маш ойр резин төст материал эсвэл хуванцар деформацийн дараах металл зэрэг бараг шахагддаггүй материалд тогтмол эзлэхүүний хязгаарлалтыг зөвхөн шилжилтийн орноор хэрэгжүүлэхэд эзлэхүүний түгжрэл үүсдэг; даралтыг бие даасан хувьсагч болгох нь энэ хязгаарлалтыг сулруулна.

Хүчдэлийг девиатор ба даралтын бүрэлдэхүүн болгон

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Энд \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) нь уян харимхайн матрицаас эзлэхүүний модуль \(K\)-д пропорционал эзлэхүүний хэсгийг хасаж гаргасан девиатор уян харимхайн матриц. Даралт \(\lambda\) ба эзлэхүүний харьцангуй деформаци \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) нь шахагдах чанар \(\alpha^{-1} = 1/K\)-ээр дамжин хязгаарлалтын дагуу

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Шилжилт \(\boldsymbol{u}\) ба даралт \(\lambda\)-г үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн болгон дискретчилбэл элементийн холбоост систем

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

энд \(\mathbf{K}_{uu}\) нь девиатор уян харимхайн хувь нэмэр болон төгсгөлөг деформацийн үед геометрийн хөшүүн чанарыг агуулна; \(\mathbf{K}_{up}\) нь эзлэхүүний харьцангуй деформаци ба даралтыг холбоно; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) нь даралтын тогтворжуулалтын гишүүн (\(\boldsymbol{N}_p\) нь даралтын хэлбэрийн функц). Даралтын чөлөөний зэрэг элемент доторх тул

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

энэ хэлбэрээр статик конденсац хийж, зөвхөн гадаад (шилжилтийн) чөлөөний зэргийг агуулсан үр дүнгийн хөшүүн чанарыг глобал угсралтад дамжуулна.

FrontISTR U-P элементийг 8 зангилаатай шугаман гексаэдр элементэд тусгайлан хэрэгжүүлсэн бөгөөд элемент бүрт нэг даралтын чөлөөний зэрэгтэй (элемент дотор тогтмол). Үүнийг бага деформаци, Total Lagrange болон Updated Lagrange томьёололд хэрэглэж болно. Updated Lagrange-д девиатор хүчдэлийг объектив хүчдэлийн хурд (Jaumann/Hughes-Winget төрөл)-аар шинэчилж, дараа нь статик конденсацаар олсон утгыг ашиглан даралт \(\lambda\,\boldsymbol{I}\)-г өгнө.

Бүрхүүл элементүүд¶

Reissner-Mindlin хавтан/бүрхүүлийн онолд суурилсан бүрхүүл элементүүдийг нимгэн ханатай хавтан ба бүрхүүл бүтцэд хэрэглэнэ. Зузаан багасах тусам бага эрэмбийн шилжилтэд суурилсан хавтан/бүрхүүл элементүүд эзлэхүүний түгжрэлтэй төстэй механизмаар хөндлөн зүсэлтийн харьцангуй деформацийг хэт үнэлж (зүсэлтийн түгжрэл), гулзайлтын горимын хөшүүн чанарыг хэт ихэсгэдэг. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) арга [Dvorkin1984] [Bathe1986] нь элементийн урьдчилан тогтоосон tying цэгүүдэд зөвхөн зүсэлтийн харьцангуй деформацийн бүрэлдэхүүнийг дахин сорьж, тэдгээр утгыг элемент даяар буцаан интерполяцлах замаар энэ асуудлыг зайлсхийдэг.

MITC бүрхүүл элементийн зангилаанууд дунд гадаргуу дээр байрлаж, зангилаа бүр зургаан чөлөөний зэрэгтэй: гурван шилжилтийн бүрэлдэхүүн ба дунд гадаргуугийн нормаль координатын системийн гурван эргэлтийн бүрэлдэхүүн. Элементийн хөшүүн чанарыг дунд гадаргуугийн натурал координат болон зузааны чиглэлд гурван хэмжээст Гауссын интегралчлалаар үнэлж, зузаан \(h\)-г бүтцийн хуулийг үнэлэх үед элементийн шинж чанар болгон өгнө.

FrontISTR нь нэг дунд гадаргуугийн давхаргаар дүрслэгдэх MITC3 (элементийн ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), мөн зузааны дагуу хоёр давхаргад зангилаа байрласан MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 зангилаа, зангилаа бүрт 3 DOF) болон MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 зангилаа, зангилаа бүрт 3 DOF) давхаргат бүрхүүл элементүүдийг өгдөг. Давхаргат бүрхүүл элементэд зангилааны чөлөөний зэрэг зөвхөн гурван шилжилтийн бүрэлдэхүүнээс бүрдэх бөгөөд эргэлтийн чөлөөний зэрэгт харгалзах гулзайлтын горимыг хоёр давхаргын байрлалаар илэрхийлнэ.

Дам нурууны элементүүд¶

Дам ба рамын бүтцийн шугаман гишүүдийг дам нурууны элементээр дискретчилнэ. FrontISTR нь зүсэлтийн деформацийг тооцдог Timoshenko дам нурууны томьёоллыг ашиглаж, гулзайлт ба зүсэлтийг хоёуланг нь шилжилтийн болон эргэлтийн чөлөөний зэргийн функцээр илэрхийлнэ.

Дам нурууны зангилаа бүр зургаан чөлөөний зэрэгтэй: гурван шилжилтийн бүрэлдэхүүн ба дам нурууны тэнхлэг болон хөндлөн тэнхлэгүүдийн эргэн тойрны гурван эргэлтийн бүрэлдэхүүн. Элементийн хөшүүн чанарыг дам нурууны тэнхлэгийн дагуу нэг хэмжээст тоон интегралчлалаар үнэлнэ. Хөндлөн огтлолын талбай \(A\) болон гулзайлт, мушгиралтын чиглэлийн талбайн хоёрдугаар момент \(I\)-г дам нурууны огтлолын шинж чанар болгон өгч, материалын Юнгийн модуль \(E\) ба зүсэлтийн модуль \(G\)-тэй хамт тэнхлэгийн, гулзайлтын, мушгиралтын болон зүсэлтийн хөшүүн чанарыг тодорхойлно.

FrontISTR нь 2 зангилаатай шулуун дам нурууны элемент (элементийн ID 611) болон 3 зангилаагаар дүрслэгдсэн 4 зангилаатай тетраэдр хатуу бие-дам нурууны холимог элемент (641, холимог чөлөөний зэрэгт) өгдөг.

Холбогдох сэдвүүд¶

3D хатуу элементийн томьёолол — Стандарт томьёололтой харьцуулах
Элементийн дугаарлалтын систем ба хэлбэрийн функцийн сан — Элементийн төрлийн ID
Элементийн сан (Функцийн лавлах) — Элемент бүрийг сонгох заавар