Хөдөлгөөн, деформаци ба харьцангуй деформаци¶

Эхний ба одоогийн байрлал¶

Байрлалын тодорхойлолт¶

Физик хэмжигдэхүүнийг аль үеийн хэлбэрт тулгуурлан дүрслэхийг ялгахын тулд энэ гарын авлагад хоёр төрлийн байрлалыг хэрэглэнэ.

Эхний байрлал (reference configuration): шинжилгээ эхлэх үеийн (хугацаа \(0\)) деформацид ороогүй хэлбэр бөгөөд анхны байрлал гэж мөн нэрлэнэ. Эхний байрлал дахь цэгийг материал координат \(\boldsymbol{X}\)-оор, эзлэхүүнийг \(V\)-ээр, гадаргууг \(S\)-ээр тэмдэглэнэ.
Одоогийн байрлал (current configuration): \(t\) хугацаан дахь деформацид орсон хэлбэр. Одоогийн байрлал дахь цэгийг орон зайн координат \(\boldsymbol{x}\)-оор, эзлэхүүнийг \(v\)-ээр, гадаргууг \(s\)-ээр тэмдэглэнэ.

Хөдөлгөөнийг эдгээр хоёр байрлалын хоорондох \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) дүрслэлээр илэрхийлж, шилжилтийг \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) гэж тодорхойлно.

Байрлалаас хамаарах тэмдэглэгээ (том/жижиг үсэг)¶

Физик хэмжигдэхүүн аль байрлалд харьяалагдахыг тэмдэглэгээний том, жижиг үсгээр ялгана.

Эхний байрлалд харьяалагдах хэмжигдэхүүнийг том үсгээр тэмдэглэнэ (жишээ нь \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Одоогийн байрлалд харьяалагдах хэмжигдэхүүнийг жижиг үсгээр тэмдэглэнэ (жишээ нь \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Нэгдүгээр Piola-Kirchhoff хүчдэл \(\boldsymbol{P}\) зэрэг хоёр байрлалыг дамнасан хэмжигдэхүүнд уламжлалт тэмдэглэгээг хэрэглэж, шаардлагатай үед эх бичвэрт тодорхой дурдана.
Бага деформацийн онолд хоёр байрлалын ялгаа арилдаг тул зөвхөн жижиг үсгийн тэмдэглэгээ (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\))-г хэрэглэнэ.

Эхний ба одоогийн байрлалын градиент¶

Орон зайн уламжлалыг аль байрлалын хувьд авч байгаагаас хамааран тэмдэглэгээ ба утга нь ялгаатай.

Эхний байрлалын градиент \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): материал координатын хувьд авах градиент. Жишээ: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Одоогийн байрлалын градиент \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): орон зайн координатын хувьд авах градиент. Жишээ: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Тэдгээр нь \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) хамааралтай. Хугацааны уламжлалын тэмдэглэгээний (материал хугацааны уламжлал \(\dot{(\cdot)}\)) талаар Тензор тэмдэглэгээ ба математик үндэс-ыг үзнэ үү.

Хөдөлгөөний дүрслэл¶

Хөдөлгөөний дүрслэл ба материал/орон зайн дүрслэл¶

Үргэлжилсэн орчныг хугацаа \(0\) дахь байрлал \(\boldsymbol{X}\)-оор тэмдэглэсэн материал цэгүүдийн олонлог гэж үзвэл, хөдөлгөөнийг материал цэг \(\boldsymbol{X}\) бүрийг хугацаа \(t\) дахь байрлал \(\boldsymbol{x}\)-тай нь холбох \(\phi\) дүрслэлээр илэрхийлнэ:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Эхний байрлалыг анхны байрлал гэж авах нөхцөлд \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) байна.

Хараат бус хувьсагчийн сонголтоор хоёр төрлийн дүрслэлийг ялгана.

Материал дүрслэл (Lagrangian дүрслэл): физик хэмжигдэхүүнийг \((\boldsymbol{X}, t)\)-ийн функцээр илэрхийлнэ. Хатуу биеийн механикт эхний байрлал тогтмол хэлбэрээр өгөгддөг тул энэ нь байгалийн сонголт юм.
Орон зайн дүрслэл (Eulerian дүрслэл): физик хэмжигдэхүүнийг \((\boldsymbol{x}, t)\)-ийн функцээр илэрхийлнэ. Шингэний механикт энэ нь стандарт дүрслэл юм.

FrontISTR-ийн бүтцийн шинжилгээ үндсэндээ материал дүрслэлд тулгуурладаг боловч Updated Lagrange аргад одоогийн байрлалыг шинэ эхний байрлал болгон ашигладаг тул орон зайн дүрслэлийн хэмжигдэхүүнийг мөн хэрэглэнэ.

Шилжилт, хурд ба хурдатгал¶

Өмнөх хэсэгт дурдсанаар шилжилт \(\boldsymbol{u}\)-г \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) гэж тодорхойлно. Түүний хэмжээнд ямар нэг таамаг тавихгүй тул төгсгөлөг деформацийг хамарна. Хурд ба хурдатгалын векторыг материал цэгийг тогтмол байлгах үеийн \(\boldsymbol{u}\)-ийн материал хугацааны уламжлалаар тодорхойлно:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Эдгээр тэгшитгэлээр хурд ба хурдатгалыг тодорхойлно.

Деформацийн градиент ба деформацийн тензорууд¶

Деформацийн градиент тензор¶

Төгсгөлөг деформацийн үргэлжилсэн орчны механикийн үндсэн хэмжигдэхүүн нь деформацийн градиент тензор \(\boldsymbol{F}\) юм. Энэ нь эхний байрлал дахь хязгааргүй бага шугаман элемент \(d\boldsymbol{X}\)-ыг одоогийн байрлал дахь хязгааргүй бага шугаман элемент \(d\boldsymbol{x}\) руу дүрслэх шугаман дүрслэл бөгөөд хөдөлгөөний дүрслэлийн материал координатын хувьд авсан градиентаар тодорхойлогдоно:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Ингэж тодорхойлоход (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) деформацид ороогүй төлөвт \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) байна. \(\boldsymbol{F}\)-г харьцангуй деформаци ба хүчдэлийг тодорхойлох, мөн байрлалуудын хооронд физик хэмжигдэхүүнийг хувиргахад өргөн хэрэглэнэ.

Эзлэхүүний харьцаа¶

Эхний байрлал дахь хязгааргүй бага эзлэхүүн \(dV\)-д харгалзах одоогийн байрлал дахь хязгааргүй бага эзлэхүүн \(dv\)-ийн харьцааг эзлэхүүний харьцаа \(J\) гэнэ:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Үргэлжилсэн орчны урвуу дүрслэгдэх нөхцөлд \(J > 0\) шаардлагатай. Массын хадгалалтыг \(\rho_0 = J\rho\) гэж илэрхийлнэ.

Баруун ба зүүн Cauchy-Green деформацийн тензорууд¶

Деформацийн градиент \(\boldsymbol{F}\) нь хатуу биеийн эргэлтийг агуулдаг тул деформацийн өөрийн хэмжүүрт хатуу биеийн эргэлтийг арилгасан хэмжигдэхүүнийг ашиглана. Баруун Cauchy-Green деформацийн тензор \(\boldsymbol{C}\) (эхний байрлал) болон зүүн Cauchy-Green деформацийн тензор \(\boldsymbol{b}\) (одоогийн байрлал)-ыг

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Аль аль нь тэгш хэмт тензор бөгөөд ижил өөрийн утгатай (гол суналтын квадратууд). Хэт уян харимхай материалын харьцангуй деформацийн энергийн функцийн үндсэн инвариантуудыг эдгээр тензороор илэрхийлнэ.

Харьцангуй деформацийн тензорууд¶

Green-Lagrange харьцангуй деформацийн тензор¶

Эхний байрлалд харьяалсан харьцангуй деформацийн хэмжүүр болох Green-Lagrange харьцангуй деформацийн тензор \(\boldsymbol{E}\)-г

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Энэ нь эхний байрлал дахь хязгааргүй бага векторуудын дотоод үржвэрийн өөрчлөлтийг илэрхийлэх тэгш хэмт тензор бөгөөд хатуу биеийн эргэлтэд инвариант, деформацид ороогүй төлөвт \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) байна. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\)-г ашиглавал

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Энэ нь харьцангуй деформацийг шилжилтийн градиентийн нэгдүгээр ба хоёрдугаар эрэмбийн гишүүдийн нийлбэрээр илэрхийлнэ; хоёрдугаар эрэмбийн гишүүн геометрийн шугаман бус чанарыг илэрхийлдэг. Total Lagrange аргад үүнийг ажлын хос \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) болгон хэрэглэнэ.

Almansi харьцангуй деформацийн тензор¶

Одоогийн байрлалд харьяалсан харьцангуй деформацийн хэмжүүр болох Almansi харьцангуй деформацийн тензор \(\boldsymbol{e}\)-г

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Энэ нь Green-Lagrange харьцангуй деформацитай \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back) хамааралтай.

Хязгааргүй бага харьцангуй деформацийн тензор¶

Шилжилтийн градиент бага (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)) үед Green-Lagrange харьцангуй деформацийн хоёрдугаар эрэмбийн гишүүнийг үл тооцож болно. Энэ үед хоёр байрлалын ялгаа арилдаг тул орон зайн координатаар бичсэн градиент бүхий хязгааргүй бага харьцангуй деформацийн тензор \(\boldsymbol{\varepsilon}\) болж буурна:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR энэ харьцангуй деформацийн хэмжүүрийг шугаман статик шинжилгээ, модаль шинжилгээ, давтамжийн хариу үйлдлийн шинжилгээ болон шугаман динамик шинжилгээнд хэрэглэнэ. Төгсгөлөг деформацийн шинжилгээнд Total Lagrange аргад \(\boldsymbol{E}\), Updated Lagrange аргад одоогийн байрлалд харьяалсан деформацийн хурдны тензор \(\boldsymbol{D}\)-г хэрэглэнэ.