Агуулгыг алгасах

Хүчдэл ба хадгалагдах хуулиуд

Энэ бүлэгт хүчдэлийн тензоруудын тодорхойлолт, харилцан хамаарал, мөн масс, импульс ба өнцгийн импульс хадгалагдах хуулиудаас гарах тэнцвэрийн тэгшитгэл болон хүчдэлийн тэгш хэмийг нэгтгэн авч үзнэ. Гурван төрлийн хүчдэлийн тензор (Cauchy хүчдэл \(\boldsymbol{\sigma}\), нэгдүгээр Piola-Kirchhoff хүчдэл \(\boldsymbol{P}\), хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэл \(\boldsymbol{S}\)) нь лавлах гадаргуу ба хүчний векторыг аль конфигурацид авч үзэж байгаагаар ялгаатай. Конфигурац, хөдөлгөөн ба деформацийн градиентийн тодорхойлолтыг Хөдөлгөөн, деформаци ба харьцангуй деформаци, тэмдэглэгээний жагсаалтыг Физик хэмжигдэхүүний тэмдэглэгээний жагсаалт-аас үзнэ үү.

Cauchy хүчдэлийн тензор

Одоогийн конфигурацийн \(\boldsymbol{x}\) цэг дээрх үл ялиг гадаргууд (талбай \(d\Gamma\), гадагш чиглэсэн нэгж нормаль \(\boldsymbol{n}\)) үйлчлэх хүчийг \(d\boldsymbol{f}\) гэж, хүчдэлийн вектор \(\boldsymbol{t}\)-ыг нэгж талбайд ногдох хүч \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) гэж тодорхойлно. \(\boldsymbol{t}\) нь байрлал \(\boldsymbol{x}\) болон нормаль \(\boldsymbol{n}\)-оос хоёулангаас нь хамаарна. Үл ялиг тетраэдрт импульс хадгалагдах хуулийг хэрэглэвэл \(\boldsymbol{t}\) нь \(\boldsymbol{n}\)-ийн хувьд шугаман бөгөөд хоёрдугаар эрэмбийн тензор \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) оршин

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

дурын \(\boldsymbol{n}\)-ийн хувьд биелнэ (Cauchy-ийн хүчдэлийн теорем). Энэ тензор \(\boldsymbol{\sigma}\)-г Cauchy хүчдэлийн тензор гэж нэрлэх бөгөөд одоогийн конфигурацийн геометрт тулгуурласан нэгж талбайд ногдох хүч гэсэн утгаар жинхэнэ хүчдэл гэж мөн нэрлэнэ. Бүрэлдэхүүн \(\sigma_{ij}\) нь одоогийн конфигурацид \(x_j\) координатын тэнхлэгт перпендикуляр үл ялиг гадаргуугийн нэгж талбайд үйлчлэх хүчний \(x_i\) бүрэлдэхүүнийг илэрхийлнэ.

Доор өгүүлэх өнцгийн импульс хадгалагдах хуулиар Cauchy хүчдэл нь тэгш хэмтэй тензор

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

бөгөөд гурван хэмжээстэд бие даасан зургаан бүрэлдэхүүнтэй (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Voigt тэмдэглэгээгээр хүчдэлийг векторчлохдоо энэхүү тэгш хэмийг ашиглана (Тензорын тэмдэглэгээ ба математикийн үндэс-ийг үзнэ үү). Cauchy хүчдэлийг FrontISTR-ийн Updated Lagrange аргын геометрийн шугаман бус шинжилгээ болон бага деформацийн шинжилгээний хүчдэлийн гаралтад хэрэглэнэ.

Нэгдүгээр ба хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэл

Их деформацийн үед хүчдэлийг жишиг конфигурацийн гадаргуу ба векторт тулгуурлан илэрхийлэх нь олонтаа тохиромжтой байдаг тул хоёр төрлийн Piola-Kirchhoff хүчдэлийн тензор-ыг нэвтрүүлнэ. Жишиг конфигурацийн үл ялиг гадаргуугийн талбайг \(d\Gamma_0\), гадагш чиглэсэн нэгж нормалийг \(\boldsymbol{N}\) гэж авна.

Нэгдүгээр Piola-Kirchhoff хүчдэл (нэгдүгээр PK хүчдэл, нэрлэсэн хүчдэл) \(\boldsymbol{P}\)-г одоогийн конфигурацийн хүч \(d\boldsymbol{f}\)-г жишиг конфигурацийн үл ялиг гадаргууд үйлчлүүлэх үеийн хүчдэлийн тензор гэж

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

тодорхойлно. Nanson-ийн томьёо \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) болон Cauchy-ийн хүчдэлийн теоремоос Cauchy хүчдэлтэй холбогдох

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

хамаарлыг олно. Нэгдүгээр PK хүчдэл нь ерөнхийдөө тэгш хэмгүй тензор юм.

Хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэл (хоёрдугаар PK хүчдэл) \(\boldsymbol{S}\)-г одоогийн конфигурацийн хүч \(d\boldsymbol{f}\)-г \(\boldsymbol{F}^{-1}\)-ээр жишиг конфигурацид буцаан хувиргаад жишиг конфигурацийн үл ялиг гадаргууд үйлчлүүлэх үеийн хүчдэлийн тензор гэж

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

тодорхойлно. Хүчний вектор ба үйлчлэх гадаргуу хоёул жишиг конфигурацийн хэмжигдэхүүнээр илэрхийлэгдэх тул хатуу биеийн эргэлтэд инвариант бөгөөд тэгш хэмтэй тензор байна. Нэгдүгээр PK хүчдэлтэй хамаарал болон Cauchy хүчдэлтэй хувиргах томьёо нь

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

юм. Хоёрдугаар PK хүчдэл нь хэт уян харимхай харьцангуй деформацийн энергийн функц \(W(\boldsymbol{C})\)-ээс \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) гэж гардаг бөгөөд Total Lagrange аргад Green-Lagrange харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{E}\)-тэй ажил-хосолсон \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) хос болгон хэрэглэнэ.

Лавлах конфигурац ба тэгш хэмийг доорх хүснэгтэд харуулав. Бага деформацийн хязгаарт (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) гурван төрлийн хүчдэл давхцана.

Хүчдэлийн тензор Лавлах гадаргуу Хүчний вектор Тэгш хэм Хэрэглээ
Cauchy хүчдэл \(\boldsymbol{\sigma}\) Одоогийн конфигурац \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) Одоогийн конфигурац \(d\boldsymbol{f}\) Тэгш хэмтэй Updated Lagrange арга, бага деформацийн шинжилгээ
Нэгдүгээр PK хүчдэл \(\boldsymbol{P}\) Жишиг конфигурац \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) Одоогийн конфигурац \(d\boldsymbol{f}\) Ерөнхийдөө тэгш хэмгүй Жишиг конфигурац дахь тэнцвэрийн тэгшитгэл
Хоёрдугаар PK хүчдэл \(\boldsymbol{S}\) Жишиг конфигурац \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) Жишиг конфигурац \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) Тэгш хэмтэй Total Lagrange арга, хэт уян харимхай чанар

Масс, импульс хадгалагдах хууль ба тэнцвэрийн тэгшитгэл

Одоогийн конфигурацийн массын нягтыг \(\rho\), жишиг конфигурацийн массын нягтыг \(\rho_0\) гэвэл масс хадгалагдах хууль \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) нь эзлэхүүний элементийн хувиргалт \(dv = J\, dV\)-аар локал хэлбэр

\[ \rho_0 = J \rho \]

болно.

Нэгж массад ногдох биеийн хүчийг \(\boldsymbol{g}\), хурдатгалыг \(\boldsymbol{a}\) гэж авъя. Импульс хадгалагдах хуульд (Euler-ийн хөдөлгөөний нэгдүгээр хууль) Cauchy-ийн хүчдэлийн теорем ба Gauss-ийн дивергенцийн теоремыг хэрэглэвэл одоогийн конфигурац дахь локал тэнцвэрийн тэгшитгэл (хөдөлгөөний тэгшитгэл)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

гарна. Nanson-ийн томьёо ба \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\)-г ашиглан интегралыг жишиг конфигурацид дахин бичвэл жишиг конфигурац дахь локал хэлбэр

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

гарна. Хоёр хэлбэр нь хүчдэлийн хувиргалтын хууль ба \(\rho_0 = J\rho\)-оор эквивалент. Инерцийн гишүүнийг үл тооцвол

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

нь статик тэнцвэрийн тэгшитгэл бөгөөд FrontISTR-ийн статик шинжилгээний (шугаман ба шугаман бус) эхлэх тэгшитгэл болно.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль ба хүчдэлийн тэгш хэм

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг (Euler-ийн хөдөлгөөний хоёрдугаар хууль) импульс хадгалагдах хуулиас гарсан тэнцвэрийн тэгшитгэлтэй хослуулбал Cauchy хүчдэлийн тензорын тэгш хэм

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

гарч, гурван хэмжээстэд зургаан бие даасан бүрэлдэхүүнтэй байна. \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) хувиргалтын хоёр талыг транспозиц хийж, \(\boldsymbol{F}\) урвуу матрицтай гэдгийг ашиглавал хоёрдугаар PK хүчдэл мөн тэгш хэмтэй

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

бөгөөд мөн зургаан бие даасан бүрэлдэхүүнтэй. Харин нэгдүгээр PK хүчдэл \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ерөнхийдөө тэгш хэмгүй бөгөөд зөвхөн \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) хамаарал (өөрөөр хэлбэл \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) тэгш хэмтэй) биелж, бие даасан бүрэлдэхүүний тоо 9 байна.

Эдгээр тэгш хэм нь Voigt тэмдэглэгээгээр хүчдэлийг зургаан бүрэлдэхүүнт вектор болгон илэрхийлэх үндэс болдог. Voigt тэмдэглэгээний дүрэм ба материалын матрицын байгуулалтыг Тензорын тэмдэглэгээ ба математикийн үндэс болон Шугаман уян чанар-аас үзнэ үү.

Холбогдох сэдвүүд