Агуулгыг алгасах

Виртуал ажлын зарчим

Хүчдэл ба хадгалалтын хуулиуд-д гаргасан тэнцвэрийн тэгшитгэл ба хилийн нөхцөлд тулгуурлан үргэлжилсэн орчны механикийн хилийн утгын бодлогын сул хэлбэр болох виртуал ажлын зарчим-ыг гаргана. Төгсгөлөг элементийн дискретчлэл энэ сул хэлбэрээс эхэлдэг. Энэ бүлэгт одоогийн байрлалын хэлбэрийг (Cauchy хүчдэл ба Almansi харьцангуй деформацийн шугаман хэсгээр илэрхийлсэн) болон эхний байрлалын хэлбэрийг (хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэл ба Green-Lagrange харьцангуй деформациар илэрхийлсэн) хоёуланг нь үзүүлж, тэдгээрийн эквивалент чанарыг харуулаад бага деформацид буурахыг батална.

Тэнцвэрийн тэгшитгэл ба хилийн нөхцөл

\(\boldsymbol{g}\)-г үргэлжилсэн орчинд нэгж масс тутамд үйлчлэх эзлэхүүний хүч гэж авч, одоогийн байрлалд \(\Omega\) мужийг эзлэх биеийг авч үзье. Хил \(\Gamma\)-г шилжилт \(\bar{\boldsymbol{u}}\) өгөгдсөн геометрийн хил \(\Gamma_B\) болон таталт \(\bar{\boldsymbol{t}}\) өгөгдсөн механикийн хил \(\Gamma_t\) болгон \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) гэж хуваана. Статик бодлогод Хүчдэл ба хадгалалтын хуулиуд-д үзүүлсэн импульсийн хадгалалтын хуулиас инерцийн гишүүнийг хасаж тэнцвэрийн тэгшитгэлийг олно:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{дотор} \ \Omega \]

Хилийн нөхцөл нь

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{дээр} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{дээр} \ \Gamma_B \]

Цаашид виртуал ажлын зарчмыг тэнцвэрийн тэгшитгэл болон механикийн хилийн нөхцөл \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\)-ийн сул хэлбэр болгон гаргана. Геометрийн хилийн нөхцөл \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)-г турших функцийн сонголтоор оруулна.

Одоогийн байрлал дахь сул хэлбэр

Сул хэлбэрт үл мэдэгдэх шилжилтийн зөвшөөрөгдөх орон болон турших функцийн орныг тус тус

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{дээр} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{дээр} \ \Gamma_B \} \]

Энд \(d\) нь орон зайн хэмжээс, \(H^1(\Omega)\) нь функц өөрөө болон түүний нэгдүгээр сул уламжлал квадрат интегралчлагдах Соболевын орон, \(\delta\) нь вариацыг тэмдэглэнэ. Одоогийн байрлалын дүрслэлд \(\Omega\) нь деформацид орсон байрлал; бодит тоон шийдэлд үүнийг эхний байрлал эсвэл мэдэгдэж буй завсрын байрлал руу буцаан дүрслэнэ.

Тэнцвэрийн тэгшитгэлийг жин \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)-ээр үржүүлж, Гауссын дивергенцийн теорем болон механикийн хилийн нөхцөлийг хэрэглэвэл одоогийн байрлал дахь виртуал ажлын дараах зарчим гарна.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Энд \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) нь Almansi харьцангуй деформацийн тензорын шугаман хэсэг бөгөөд

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Түүний вариац нь \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Иймээс \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) бүхний хувьд виртуал ажлын тэгшитгэлийг хангах \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\)-г хайна. Зүүн тал нь дотоод хүчний виртуал ажил, баруун тал нь өгөгдсөн таталт ба эзлэхүүний хүчнээс үүсэх гадаад хүчний виртуал ажил юм.

Энэ тэгшитгэл деформацид орсон (одоогийн байрлалын) муж дээр бичигдсэн тул бодит шийдлийн процедур анхны байрлал \(\Omega_0\) (эхний байрлал) эсвэл мэдэгдэж буй завсрын байрлалыг эхний байрлал болгон дахин сонгож, тэгшитгэлийг өсөлтийн хэлбэрт дахин бичээд шийднэ. Эхний байрлалын тодорхой сонголт (Total Lagrange / Updated Lagrange) болон өсөлтийн задлалыг Алхамчилсан шинжилгээний хүрээ-аас үзнэ үү.

Анхны байрлал дахь сул хэлбэр

Эхний байрлалд \(\Omega_0\) мужийг эзлэх, хил \(\Gamma_0\) нь \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) гэж хуваагдсан биеийг авч үзье. Одоогийн байрлалын дүрслэлийг эхний байрлал руу буцаан дүрслэхэд хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэл \(\boldsymbol{S}\) ба Green-Lagrange харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{E}\) гэсэн ажлын хос хүчдэл-харьцангуй деформаци гарна. Тэгвэл анхны байрлал дахь виртуал ажлын зарчим

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Энд \(\rho_0\) нь эхний байрлал дахь массын нягт бөгөөд массын хадгалалтын хамаарал \(\rho_0 = J\rho\)-оор энэ нь одоогийн байрлал дахь эзлэхүүний хүчний дүрслэлтэй эквивалент.

Одоогийн ба анхны байрлалын дүрслэлийн эквивалент чанар

Хоёр дүрслэл дэх дотоод хүчний виртуал ажил нь деформацийн градиент \(\boldsymbol{F}\) болон эзлэхүүний харьцаа \(J = \det \boldsymbol{F}\)-аар хийх хувиргалтаар давхцана; өөрөөр хэлбэл,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Гадаад хүчний гишүүд мөн массын хадгалалт ба таталтын хувиргалтаар эквивалент. Иймээс одоогийн байрлал дахь болон анхны байрлал дахь виртуал ажлын тэгшитгэл нь нэг зарчмыг өөр өөр байрлалд илэрхийлсэн хэлбэрүүд юм. Эхний байрлалыг лавлах шийдлийн арга Total Lagrange аргад, харин одоогийн байрлалыг (өмнөх нийлэлсэн байрлалыг) лавлах шийдлийн арга Updated Lagrange аргад харгалзана.

Бага деформацид бууруулах нь

Бага деформацийн \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) ба \(J \approx 1\) таамгийн дор одоогийн ба эхний байрлалын ялгаа арилж, хоёрдугаар PK хүчдэл Cauchy хүчдэлтэй давхцаж (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), Green-Lagrange харьцангуй деформаци болон Almansi харьцангуй деформацийн шугаман хэсэг хоёулаа хязгааргүй бага харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{\varepsilon}\) болж буурна.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Тэгвэл виртуал ажлын зарчим Cauchy хүчдэл \(\boldsymbol{\sigma}\) ба хязгааргүй бага харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-аар илэрхийлсэн дараах сул хэлбэрт буурна:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{дээр} \ \Gamma_B \]

Энэ нь бага деформацийн шугаман уян статик шинжилгээний дискретчлэлд шууд хэрэглэгдэх сул хэлбэр юм (Шугаман уян статик шинжилгээ (Оршил ба хавсралт) энэ хэлбэрээс эхэлж глобал тэгшитгэл \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)-ийг угсрах замаар элементийн хөшүүн чанар \(\boldsymbol{K}^e\)-г байгуулахыг үзүүлдэг).

Шугаман уян бүтцийн хууль \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\)-г орлуулж, Voigt тэмдэглэгээ-гээр \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) гэж бичвэл сул хэлбэр

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

гэсэн хэлбэртэй болно.

Холбогдох сэдвүүд