Агуулгыг алгасах

Тензор тэмдэглэгээ ба математик үндэс

Энэ бүлэгт FrontISTR-ийн онолын гарын авлагын дараагийн бүлгүүдэд ашиглагдах тензор тэмдэглэгээ, индексийн тэмдэглэгээ болон Voigt тэмдэглэгээний дүрмүүдийг нэгтгэнэ. Энд зөвхөн физик хэмжигдэхүүний тодорхойлолтоос үл хамаарах цэвэр тэмдэглэгээний дүрмүүд-ийг тайлбарлана. Үргэлжилсэн орчны хөдөлгөөнтэй холбоотой байрлалаас (эхний/одоогийн байрлал) хамаарах тэмдэглэгээний дүрэм, тухайлбал том ба жижиг үсгийн ялгаа, материал ба орон зайн уламжлалын ялгааг байрлалын ойлголтыг танилцуулсан Хөдөлгөөн, деформаци ба харьцангуй деформаци-д тайлбарласан.

Тензор тэмдэглэгээ

Вектор ба тензорыг тод үсгээр тэмдэглэх

Хэвлэлийн тэмдэглэгээний дүрмээр скаляр хэмжигдэхүүн болон вектор, тензорын бүрэлдэхүүнүүд-ийг ердийн үсгээр (жишээ нь \(\rho\), \(x_i\)), харин вектор ба тензор хэмжигдэхүүнийг бүхэлд нь тод үсгээр (жишээ нь \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)) бичнэ.

Эйнштейний нийлбэрийн дүрэм

Өөрөөр заагаагүй бол Эйнштейний нийлбэрийн дүрмийг хэрэглэнэ: нэг гишүүнд ижил индекс хоёр удаа гарвал тухайн индексээр нийлбэр авна. Жишээлбэл,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

мөн \(\boldsymbol{A}\) ба \(\boldsymbol{B}\) тензоруудын үржвэр \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\)-ийн \(i,j\) бүрэлдэхүүн нь

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Индексийн дүрмээр \(i, j, k, l, \ldots\)-г нэмэлт тайлбаргүй индекс болгон хэрэглэвэл чөлөөний зэрэгтэй холбоотой индексүүдийг (гурван хэмжээстэд \(1, 2, 3\)), харин жижиг грек үсэг \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\)-г индекс болгон хэрэглэвэл элементийг бүрдүүлэгч зангилаатай холбоотой индексүүдийг илэрхийлнэ.

Дотоод үржвэр, транспоз ба тензор үржвэр

Тензор \(\boldsymbol{A}\)-ийн транспозыг \(\boldsymbol{A}^T\) гэж тэмдэглэнэ. Хоёрдугаар эрэмбийн \(\boldsymbol{A}\) ба \(\boldsymbol{B}\) тензорын дотоод үржвэрийг (давхар агшилт)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Векторууд \(\boldsymbol{a}\) ба \(\boldsymbol{b}\)-ийн дотоод үржвэр нь \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), тэдгээрийн тензор үржвэр нь \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) байна.

Voigt тэмдэглэгээ

Хүчдэл ба харьцангуй деформаци нь чөлөөний зэргийн хувьд тэгш хэмт хоёрдугаар эрэмбийн тензорууд бөгөөд тэдгээрийн шугаман хамаарлыг илэрхийлэх коэффициентүүд дөрөвдүгээр эрэмбийн тензор үүсгэнэ. Эдгээрийг программд шууд боловсруулах нь тооцооллын өртөг болон кодчиллын хувьд (олон хэмжээст массив, гүн давхарласан давталт) сул талтай. Иймээс ерөнхий төгсгөлөг элементийн программууд тэгш хэмийг ашиглаж хүчдэл ба харьцангуй деформацийг багана вектор, дөрөвдүгээр эрэмбийн уян харимхайн тензорыг хоёр хэмжээст матриц болгон шахаж дүрсэлдэг. Үүнийг Voigt тэмдэглэгээ гэнэ.

Цаашид тензор хэмжигдэхүүн \(\boldsymbol{A}\)-ийн матриц эсвэл вектор дүрслэлийг эх тензороос ялгахын тулд \(\hat{A}\) гэж тэмдэглэнэ.

Хүчдэл ба харьцангуй деформацийн вектор дүрслэл

Тэгш хэмт хүчдэлийн тензор \(\boldsymbol{\sigma}\) болон харьцангуй деформацийн тензор \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ын хувьд хоёр хэмжээстэд

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

гурван хэмжээстэд,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

дээр үзүүлсэнчлэн багана вектороор боловсруулна. Вариац, дифференциал зэрэг үүсмэл хэмжигдэхүүнд мөн ижил дүрэм үйлчилнэ. Харьцангуй деформацийн талын зүсэлтийн бүрэлдэхүүнд 2 үржүүлэгч ордог (хүчдэлийн талд орохгүй) гэдгийг анхаарна уу. Энэ тэгш бус байдлын ачаар тензорын дотоод үржвэрийг векторын дотоод үржвэрээр товч илэрхийлж болно

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Хэрэгжүүлэлтэд зүсэлтийн харьцангуй деформацийн бүрэлдэхүүн дэх 2 үржүүлэгчийг алдаатай боловсруулахад амархан тул "хүчдэлд байхгүй / харьцангуй деформацид байна" гэсэн дүрмийг үргэлж анхаарна. Эхний байрлалын хэмжигдэхүүнүүдэд (хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэл \(\boldsymbol{S}\) ба Green-Lagrange харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{E}\)) яг ижил Voigt дүрмийг хэрэглэнэ.

Дөрөвдүгээр эрэмбийн тензорын матриц дүрслэл

Хүчдэл ба харьцангуй деформацийн шугаман хамаарал \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (бүрэлдэхүүн хэлбэрээр \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\))-д \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ын тэгш хэмийг ашиглавал

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Гурван хэмжээстэд \(\tilde{C}\)-г 6×6 материалын матриц \(\hat{\tilde{C}}\) хэлбэрээр байрлуулснаар эх тензорын хамаарлыг

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Цаашид энэ гарын авлагад өөрөөр заагаагүй бол материалын матрицыг \(D\) (эсвэл \(\hat{C}\)) гэж тэмдэглэнэ. Изотроп шугаман уян харимхайн тодорхой бүрэлдэхүүнүүдийг Шугаман уян харимхай чанар-аас үзнэ үү.

Дифференциал операторын дүрэм

Тэгш хэмт градиент оператор

Вектор орон \(\boldsymbol{u}\)-ийн тэгш хэмт градиент оператор \(\nabla_S\)-г

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Бүрэлдэхүүн хэлбэрээр \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Хязгааргүй бага деформацийн харьцангуй деформаци \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\)-г энэ оператороор товч илэрхийлж болно. Төгсгөлөг деформацид градиентыг аль байрлалын (эхний/одоогийн) хувьд авч байгааг ялгах талаар Хөдөлгөөн, деформаци ба харьцангуй деформаци-д авч үзсэн.

Материал хугацааны уламжлал

\(A\) хэмжигдэхүүний материал хугацааны уламжлалыг (ижил материал цэгийг дагасан хугацааны уламжлал) дээрх цэгээр \(\dot{A}\) гэж тэмдэглэнэ:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Хурд ба хурдатгал мөн энэ дүрмийг дагана.

Холбогдох сэдвүүд