Физик хэмжигдэхүүний тэмдэглэгээний жагсаалт
Энэ хуудсанд FrontISTR-ийн онолын гарын авлагад хэрэглэгдэх физик хэмжигдэхүүний тэмдэглэгээг жагсаав. Тэмдэглэгээний дүрмийн (вектор, тензорыг бүдүүн үсгээр тэмдэглэх, Einstein нийлбэрийн дүрэм, Voigt тэмдэглэгээ) талаар Тензорын тэмдэглэгээ ба математикийн үндэс-ийг үзнэ үү.
Конфигурац ба координатын систем
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\boldsymbol{X}\) | Материал цэгийн жишиг (анхны) конфигурац дахь байрлалын вектор (материал координат) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Материал цэгийн одоогийн конфигурац дахь байрлалын вектор (орон зайн координат) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Хөдөлгөөний дүрслэл: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Жишиг конфигурацид биеийн эзлэх муж |
| \(\Omega\) | Одоогийн конфигурацид биеийн эзлэх муж |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\)-ийн хил |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\)-ийн хил |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Геометрийн (шилжилтийн) хил: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) гэж өгөгдөх одоогийн ба жишиг конфигурацийн хил |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Механикийн хил: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (эсвэл \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) гэж өгөгдөх одоогийн ба жишиг конфигурацийн хил |
| \(\boldsymbol{n}\) | Одоогийн конфигурац дахь гадаргуугийн гадагш чиглэсэн нэгж нормаль вектор |
| \(\boldsymbol{N}\) | Жишиг конфигурац дахь гадаргуугийн гадагш чиглэсэн нэгж нормаль вектор |
| \(t\) | Хугацаа |
Дүрэм: Жишиг конфигурацийн физик хэмжигдэхүүнд том үсэг эсвэл \(0\) доод индекс, одоогийн конфигурацийн физик хэмжигдэхүүнд жижиг үсэг хэрэглэнэ.
Хугацаа ба өсөлт (өсөлтийн шинжилгээ)
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\Delta t\) | Хугацааны өсөлт: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Хугацаа \(t\) дахь физик хэмжигдэхүүн (урд талын дээд индекс). Жишээ: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) нь хугацаа \(t\) дахь Cauchy хүчдэл |
| \(^{t}\Omega\) | Хугацаа \(t\) дахь одоогийн конфигурацийн муж |
| \(^{t}\Gamma\) | Хугацаа \(t\) дахь одоогийн конфигурацийн хил |
Дүрэм: Өсөлтийн шинжилгээнд хугацаа \(t\) хүртэлх төлөвийг мэдэгдсэн, \(t + \Delta t\) хугацааны төлөвийг үл мэдэгдэх гэж бодно. Хугацааг тусгайлан заах шаардлагагүй бол урд талын дээд индексийг орхино. Жишиг конфигурацаар үндсэн конфигурац \(\Omega_0\)-г сонгосон томьёоллыг Total Lagrange арга, өсөлт эхлэх үеийн одоогийн конфигурац \(^{t}\Omega\)-г сонгосныг Updated Lagrange арга гэнэ.
Шилжилт, хурд, хурдатгал, биеийн хүч
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\boldsymbol{u}\) | Шилжилтийн вектор: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Геометрийн хил \(\Gamma_B\) дээр өгөгдсөн шилжилт |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Виртуал шилжилт (туршилтын функц): \(\Gamma_B\) дээр \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Хурдны вектор: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Хурдатгалын вектор: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Биеийн хүч (нэгж массад) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Гадаргуугийн хүчний вектор (нэгж талбайд): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Механикийн хил \(\Gamma_t\) дээр өгөгдсөн гадаргуугийн хүч (Neumann өгөгдөл) |
Дифференциал операторууд
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Материал хугацааны уламжлал (ижил материал цэгийг дагасан хугацааны уламжлал): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Жишиг конфигурацийн градиент (материал координат \(\boldsymbol{X}\)-ийн хувьд): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Одоогийн конфигурацийн градиент (орон зайн координат \(\boldsymbol{x}\)-ийн хувьд): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Тэгш хэмт градиент оператор: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Тайлбар: \(\nabla_X\) ба \(\nabla_x\) нь \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) хамаарлаар холбогдоно. Доод индексгүй \(\nabla\)-ийн конфигурацыг контекстоор ялгах эсвэл бага деформацийн үед ялгаа арилсан тохиолдолд хэрэглэнэ.
Деформацийн тензорууд
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\boldsymbol{F}\) | Деформацийн градиент тензор: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Эзлэхүүний өөрчлөлтийн харьцаа: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Баруун Cauchy-Green деформацийн тензор: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Зүүн Cauchy-Green деформацийн тензор: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Хурдны градиент тензор: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Деформацийн хурдны тензор (\(\boldsymbol{L}\)-ийн тэгш хэмт хэсэг): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Спин тензор (\(\boldsymbol{L}\)-ийн антисимметр хэсэг): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Харьцангуй деформацийн тензорууд
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange харьцангуй деформацийн тензор (жишиг конфигурац): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi харьцангуй деформацийн тензор (одоогийн конфигурац): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansi харьцангуй деформацийн тензорын шугаман хэсэг (одоогийн конфигурацийн тэгш хэмт шилжилтийн градиент): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Бага харьцангуй деформацийн тензор (шугаман ойролцоолол): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Тайлбар: \(\boldsymbol{E}\)-г голчлон Total Lagrange аргад, \(\boldsymbol{D}\)-г голчлон Updated Lagrange аргад хэрэглэнэ.
Хүчдэлийн тензорууд
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy хүчдэлийн тензор (жинхэнэ хүчдэл, одоогийн конфигурац): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Нэгдүгээр Piola-Kirchhoff хүчдэлийн тензор (нэрлэсэн хүчдэл): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэлийн тензор (жишиг конфигурац, тэгш хэмтэй): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Хүчдэлийн тензоруудын хоорондын хувиргалтын хамаарал:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Дүрэм: Total Lagrange аргад \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), Updated Lagrange аргад \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) хосыг хэрэглэнэ.
Нягт ба масс
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\rho\) | Одоогийн конфигурац дахь массын нягт |
| \(\rho_0\) | Жишиг конфигурац дахь массын нягт |
Масс хадгалагдах хууль: \(\rho_0 = J\rho\).
Материалын тогтмолууд (шугаман уян материал)
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(E\) | Young-ийн модуль (уртын уян модуль) |
| \(\nu\) | Poisson-ийн харьцаа |
| \(\lambda\) | Lamé-ийн нэгдүгээр тогтмол: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Lamé-ийн хоёрдугаар тогтмол (хяргалтын модуль): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Уян чанарын тензор (дөрөвдүгээр эрэмбэ): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), бүрэлдэхүүн \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (эсвэл \(\hat{\tilde{C}}\)) | Материалын матриц (Voigt тэмдэглэгээ, 3D-д \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Изотроп шугаман уян материалын уян чанарын тензорын бүрэлдэхүүн:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Хэт уян харимхай материал
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Уян потенциал функц (харьцангуй деформацийн энергийн нягтын функц) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Баруун Cauchy-Green тензор \(\boldsymbol{C}\)-ийн үндсэн инвариантууд |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\)-ийн бууруулсан инвариантууд (эзлэхүүний өөрчлөлтийг салгасан) |
| \(C_1, C_2\) | Mooney-Rivlin загварын материалын тогтмолууд |
| \(D\) | Эзлэхүүний уян чанартай холбоотой материалын тогтмол |
Уян-хуванцар материал
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Деформацийн хурдны тензорын уян бүрэлдэхүүн |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Деформацийн хурдны тензорын хуванцар бүрэлдэхүүн |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Урсалтын функц |
| \(\kappa\) | Хуванцар төлөвийг илэрхийлэх дотоод хувьсагч (изотроп хатуурлын хувьсагч) |
| \(\lambda^p\) | Хуванцар үржүүлэгч (хуванцар харьцангуй деформацийн хурдны үржүүлэгч): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Хуванцар потенциал (холбоост урсгалын дүрэмд \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Эквивалент хүчдэл (жишээ нь von Mises хүчдэл) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Эквивалент хуванцар харьцангуй деформаци |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Изотроп хатуурлын функц |
Нэмэлт нөхцөл: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Төгсгөлөг элементийн арга
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Төгсгөлөг элементийн дискретчлэлээр ойролцоолсон одоогийн ба жишиг конфигурацийн муж: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Элементийн одоогийн ба жишиг конфигурац дахь муж |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Элементийн хилийн механикийн хилд харьяалагдах хэсэг |
| \(\boldsymbol{r}\) | Байгалийн координат (элементийн локал координат) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Зангилаа \(\alpha\)-д харгалзах байгалийн координатын цэг |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Элемент \(e\)-ийн зангилаа \(\alpha\)-д харгалзах хэлбэрийн функц |
| \(n_e\) | Элементийг бүрдүүлэх зангилааны тоо |
| \(n_g\) | Нийт зангилааны тоо |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Элементийн зангилаа \(\alpha\)-ийн координат ба шилжилт |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Элементийн зангилааны координат ба шилжилтийн вектор: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) гэх мэт |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Нийт зангилааны координат ба шилжилтийн вектор (зангилааны дугаар → чөлөөний зэрэг дарааллаар) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Харьцангуй деформаци-шилжилтийн хамаарлын матриц (B матриц) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Хэлбэрийн функцийн матриц: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) нь зангилаа \(\alpha\)-ийн хэлбэрийн функц \(N_\alpha^e\)-г диагональд байрлуулсан \(d \times d\) блок, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Элементийн хөшүүн чанарын матриц |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Элементийн хөшүүн чанарын матрицын интегралын гишүүн (жишиг ба одоогийн конфигурациар): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL арга), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL арга) | Элементийн дотоод хүчний вектор |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Элементийн зангилаа \(\alpha\)-д үйлчлэх зангилааны гадаад хүч ба элементийн зангилааны гадаад хүчний вектор: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Нийт дотоод хүчний вектор ба нийт гадаад хүчний вектор: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); \(\boldsymbol{F}\) мөн адил |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Нийт зангилаа \(i_g\) дахь зангилааны дотоод ба гадаад хүч (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)-ийн зангилааны блокууд) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Нийт шүргэгч хөшүүн чанарын матриц: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\) блок \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\)-г \(i_g\) мөр, \(i_h\) баганад байрлуулсан матриц |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newton-Raphson давталтын үлдэгдлийн вектор: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newton-Raphson давталтын засвар (\(i\)-р давталтад \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) шугаман тэгшитгэлийг бодож олно) |
| \(i_g\) | Нийт зангилааны дугаар (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Элемент \(e\)-ийн локал зангилааны дугаар \(\alpha\)-д харгалзах нийт зангилааны дугаар: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Нийт зангилааны дугаар \(i_g\)-д харгалзах \((e, \alpha)\) хосуудын олонлог: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Угсралтын үйлдэлд хэрэглэнэ |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Нийт зангилааны дугаарын хос \((i_g, i_h)\)-д харгалзах \((e, \alpha, \beta)\) гурвалын олонлог; хөшүүн чанарын матрицын угсралтад хэрэглэнэ |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Элементийг бүрдүүлэгч зангилааны индексүүд |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Чөлөөний зэргийн индексүүд (3D-д \(1, 2, 3\)) |
Өндөр гүйцэтгэлтэй ба бүтцийн элементүүд
| Тэмдэг | Тайлбар |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar аргаар эзлэхүүний хэсгийг засварласан харьцангуй деформаци-шилжилтийн хамаарлын матриц (эзлэхүүний бүрэлдэхүүнийг элементийн төвд үнэлсэн B матрицаар орлуулна) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar аргаар эзлэхүүний хэсгийг засварласан деформацийн градиент: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Элементийн төв \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) дээр үнэлсэн деформацийн градиентийн эзлэхүүний харьцаа: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Үл нийцэх модын элементийн дотоод чөлөөний зэргийн вектор (элементийн хил дээр тасралтгүй байдлыг албаддаггүй нэмэлт шилжилтийн модын коэффициент) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Үл нийцэх модын хэлбэрийн функц: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Бүрхүүл элементийн зузаан |
| \(A\) | Дам нурууны элементийн хөндлөн огтлолын талбай |
| \(I\) | Дам нурууны элементийн хөндлөн огтлолын талбайн хоёрдугаар момент |
| \(G\) | Хяргалтын модуль: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Холбогдох сэдвүүд