Агуулгыг алгасах

Translation update pending

The Mongolian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Физик хэмжигдэхүүний тэмдэглэгээний жагсаалт

Энэ хуудсанд FrontISTR-ийн онолын гарын авлагад хэрэглэгдэх физик хэмжигдэхүүний тэмдэглэгээг жагсаав. Тэмдэглэгээний дүрмийн (вектор, тензорыг бүдүүн үсгээр тэмдэглэх, Einstein нийлбэрийн дүрэм, Voigt тэмдэглэгээ) талаар Тензорын тэмдэглэгээ ба математикийн үндэс-ийг үзнэ үү.

Конфигурац ба координатын систем

Тэмдэг Тайлбар
\(\boldsymbol{X}\) Материал цэгийн жишиг (анхны) конфигурац дахь байрлалын вектор (материал координат)
\(\boldsymbol{x}\) Материал цэгийн одоогийн конфигурац дахь байрлалын вектор (орон зайн координат)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Хөдөлгөөний дүрслэл: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Жишиг конфигурацид биеийн эзлэх муж
\(\Omega\) Одоогийн конфигурацид биеийн эзлэх муж
\(\Gamma_0\) \(\Omega_0\)-ийн хил
\(\Gamma\) \(\Omega\)-ийн хил
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Геометрийн (шилжилтийн) хил: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) гэж өгөгдөх одоогийн ба жишиг конфигурацийн хил
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Механикийн хил: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (эсвэл \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) гэж өгөгдөх одоогийн ба жишиг конфигурацийн хил
\(\boldsymbol{n}\) Одоогийн конфигурац дахь гадаргуугийн гадагш чиглэсэн нэгж нормаль вектор
\(\boldsymbol{N}\) Жишиг конфигурац дахь гадаргуугийн гадагш чиглэсэн нэгж нормаль вектор
\(t\) Хугацаа

Дүрэм: Жишиг конфигурацийн физик хэмжигдэхүүнд том үсэг эсвэл \(0\) доод индекс, одоогийн конфигурацийн физик хэмжигдэхүүнд жижиг үсэг хэрэглэнэ.

Хугацаа ба өсөлт (өсөлтийн шинжилгээ)

Тэмдэг Тайлбар
\(\Delta t\) Хугацааны өсөлт: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Хугацаа \(t\) дахь физик хэмжигдэхүүн (урд талын дээд индекс). Жишээ: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) нь хугацаа \(t\) дахь Cauchy хүчдэл
\(^{t}\Omega\) Хугацаа \(t\) дахь одоогийн конфигурацийн муж
\(^{t}\Gamma\) Хугацаа \(t\) дахь одоогийн конфигурацийн хил

Дүрэм: Өсөлтийн шинжилгээнд хугацаа \(t\) хүртэлх төлөвийг мэдэгдсэн, \(t + \Delta t\) хугацааны төлөвийг үл мэдэгдэх гэж бодно. Хугацааг тусгайлан заах шаардлагагүй бол урд талын дээд индексийг орхино. Жишиг конфигурацаар үндсэн конфигурац \(\Omega_0\)-г сонгосон томьёоллыг Total Lagrange арга, өсөлт эхлэх үеийн одоогийн конфигурац \(^{t}\Omega\)-г сонгосныг Updated Lagrange арга гэнэ.

Шилжилт, хурд, хурдатгал, биеийн хүч

Тэмдэг Тайлбар
\(\boldsymbol{u}\) Шилжилтийн вектор: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Геометрийн хил \(\Gamma_B\) дээр өгөгдсөн шилжилт
\(\delta \boldsymbol{u}\) Виртуал шилжилт (туршилтын функц): \(\Gamma_B\) дээр \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) Хурдны вектор: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Хурдатгалын вектор: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Биеийн хүч (нэгж массад)
\(\boldsymbol{t}\) Гадаргуугийн хүчний вектор (нэгж талбайд): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Механикийн хил \(\Gamma_t\) дээр өгөгдсөн гадаргуугийн хүч (Neumann өгөгдөл)

Дифференциал операторууд

Тэмдэг Тайлбар
\(\dot{(\cdot)}\) Материал хугацааны уламжлал (ижил материал цэгийг дагасан хугацааны уламжлал): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Жишиг конфигурацийн градиент (материал координат \(\boldsymbol{X}\)-ийн хувьд): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Одоогийн конфигурацийн градиент (орон зайн координат \(\boldsymbol{x}\)-ийн хувьд): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Тэгш хэмт градиент оператор: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Тайлбар: \(\nabla_X\) ба \(\nabla_x\) нь \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) хамаарлаар холбогдоно. Доод индексгүй \(\nabla\)-ийн конфигурацыг контекстоор ялгах эсвэл бага деформацийн үед ялгаа арилсан тохиолдолд хэрэглэнэ.

Деформацийн тензорууд

Тэмдэг Тайлбар
\(\boldsymbol{F}\) Деформацийн градиент тензор: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Эзлэхүүний өөрчлөлтийн харьцаа: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Баруун Cauchy-Green деформацийн тензор: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Зүүн Cauchy-Green деформацийн тензор: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Хурдны градиент тензор: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Деформацийн хурдны тензор (\(\boldsymbol{L}\)-ийн тэгш хэмт хэсэг): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Спин тензор (\(\boldsymbol{L}\)-ийн антисимметр хэсэг): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Харьцангуй деформацийн тензорууд

Тэмдэг Тайлбар
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange харьцангуй деформацийн тензор (жишиг конфигурац): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi харьцангуй деформацийн тензор (одоогийн конфигурац): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi харьцангуй деформацийн тензорын шугаман хэсэг (одоогийн конфигурацийн тэгш хэмт шилжилтийн градиент): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Бага харьцангуй деформацийн тензор (шугаман ойролцоолол): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Тайлбар: \(\boldsymbol{E}\)-г голчлон Total Lagrange аргад, \(\boldsymbol{D}\)-г голчлон Updated Lagrange аргад хэрэглэнэ.

Хүчдэлийн тензорууд

Тэмдэг Тайлбар
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy хүчдэлийн тензор (жинхэнэ хүчдэл, одоогийн конфигурац): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Нэгдүгээр Piola-Kirchhoff хүчдэлийн тензор (нэрлэсэн хүчдэл): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Хоёрдугаар Piola-Kirchhoff хүчдэлийн тензор (жишиг конфигурац, тэгш хэмтэй): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Хүчдэлийн тензоруудын хоорондын хувиргалтын хамаарал:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Дүрэм: Total Lagrange аргад \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), Updated Lagrange аргад \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) хосыг хэрэглэнэ.

Нягт ба масс

Тэмдэг Тайлбар
\(\rho\) Одоогийн конфигурац дахь массын нягт
\(\rho_0\) Жишиг конфигурац дахь массын нягт

Масс хадгалагдах хууль: \(\rho_0 = J\rho\).

Материалын тогтмолууд (шугаман уян материал)

Тэмдэг Тайлбар
\(E\) Young-ийн модуль (уртын уян модуль)
\(\nu\) Poisson-ийн харьцаа
\(\lambda\) Lamé-ийн нэгдүгээр тогтмол: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Lamé-ийн хоёрдугаар тогтмол (хяргалтын модуль): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Уян чанарын тензор (дөрөвдүгээр эрэмбэ): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), бүрэлдэхүүн \(C_{ijkl}\)
\(D\) (эсвэл \(\hat{\tilde{C}}\)) Материалын матриц (Voigt тэмдэглэгээ, 3D-д \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Изотроп шугаман уян материалын уян чанарын тензорын бүрэлдэхүүн:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Хэт уян харимхай материал

Тэмдэг Тайлбар
\(W(\boldsymbol{C})\) Уян потенциал функц (харьцангуй деформацийн энергийн нягтын функц)
\(I_1, I_2, I_3\) Баруун Cauchy-Green тензор \(\boldsymbol{C}\)-ийн үндсэн инвариантууд
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) \(\boldsymbol{C}\)-ийн бууруулсан инвариантууд (эзлэхүүний өөрчлөлтийг салгасан)
\(C_1, C_2\) Mooney-Rivlin загварын материалын тогтмолууд
\(D\) Эзлэхүүний уян чанартай холбоотой материалын тогтмол

Уян-хуванцар материал

Тэмдэг Тайлбар
\(\boldsymbol{D}^e\) Деформацийн хурдны тензорын уян бүрэлдэхүүн
\(\boldsymbol{D}^p\) Деформацийн хурдны тензорын хуванцар бүрэлдэхүүн
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Урсалтын функц
\(\kappa\) Хуванцар төлөвийг илэрхийлэх дотоод хувьсагч (изотроп хатуурлын хувьсагч)
\(\lambda^p\) Хуванцар үржүүлэгч (хуванцар харьцангуй деформацийн хурдны үржүүлэгч): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Хуванцар потенциал (холбоост урсгалын дүрэмд \(\Theta = F\))
\(\bar{\sigma}\) Эквивалент хүчдэл (жишээ нь von Mises хүчдэл)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Эквивалент хуванцар харьцангуй деформаци
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Изотроп хатуурлын функц

Нэмэлт нөхцөл: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Төгсгөлөг элементийн арга

Тэмдэг Тайлбар
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Төгсгөлөг элементийн дискретчлэлээр ойролцоолсон одоогийн ба жишиг конфигурацийн муж: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Элементийн одоогийн ба жишиг конфигурац дахь муж
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Элементийн хилийн механикийн хилд харьяалагдах хэсэг
\(\boldsymbol{r}\) Байгалийн координат (элементийн локал координат)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Зангилаа \(\alpha\)-д харгалзах байгалийн координатын цэг
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Элемент \(e\)-ийн зангилаа \(\alpha\)-д харгалзах хэлбэрийн функц
\(n_e\) Элементийг бүрдүүлэх зангилааны тоо
\(n_g\) Нийт зангилааны тоо
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Элементийн зангилаа \(\alpha\)-ийн координат ба шилжилт
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Элементийн зангилааны координат ба шилжилтийн вектор: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) гэх мэт
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Нийт зангилааны координат ба шилжилтийн вектор (зангилааны дугаар → чөлөөний зэрэг дарааллаар)
\(\boldsymbol{B}\) Харьцангуй деформаци-шилжилтийн хамаарлын матриц (B матриц)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Хэлбэрийн функцийн матриц: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) нь зангилаа \(\alpha\)-ийн хэлбэрийн функц \(N_\alpha^e\)-г диагональд байрлуулсан \(d \times d\) блок, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Элементийн хөшүүн чанарын матриц
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Элементийн хөшүүн чанарын матрицын интегралын гишүүн (жишиг ба одоогийн конфигурациар): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL арга), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL арга) Элементийн дотоод хүчний вектор
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Элементийн зангилаа \(\alpha\)-д үйлчлэх зангилааны гадаад хүч ба элементийн зангилааны гадаад хүчний вектор: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Нийт дотоод хүчний вектор ба нийт гадаад хүчний вектор: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); \(\boldsymbol{F}\) мөн адил
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Нийт зангилаа \(i_g\) дахь зангилааны дотоод ба гадаад хүч (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)-ийн зангилааны блокууд)
\(\boldsymbol{K}\) Нийт шүргэгч хөшүүн чанарын матриц: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\) блок \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\)-г \(i_g\) мөр, \(i_h\) баганад байрлуулсан матриц
\(\boldsymbol{R}_i\) Newton-Raphson давталтын үлдэгдлийн вектор: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Newton-Raphson давталтын засвар (\(i\)-р давталтад \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) шугаман тэгшитгэлийг бодож олно)
\(i_g\) Нийт зангилааны дугаар (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Элемент \(e\)-ийн локал зангилааны дугаар \(\alpha\)-д харгалзах нийт зангилааны дугаар: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Нийт зангилааны дугаар \(i_g\)-д харгалзах \((e, \alpha)\) хосуудын олонлог: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Угсралтын үйлдэлд хэрэглэнэ
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Нийт зангилааны дугаарын хос \((i_g, i_h)\)-д харгалзах \((e, \alpha, \beta)\) гурвалын олонлог; хөшүүн чанарын матрицын угсралтад хэрэглэнэ
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Элементийг бүрдүүлэгч зангилааны индексүүд
\(i, j, k, l, \ldots\) Чөлөөний зэргийн индексүүд (3D-д \(1, 2, 3\))

Өндөр гүйцэтгэлтэй ба бүтцийн элементүүд

Тэмдэг Тайлбар
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) B-bar аргаар эзлэхүүний хэсгийг засварласан харьцангуй деформаци-шилжилтийн хамаарлын матриц (эзлэхүүний бүрэлдэхүүнийг элементийн төвд үнэлсэн B матрицаар орлуулна)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) F-bar аргаар эзлэхүүний хэсгийг засварласан деформацийн градиент: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Элементийн төв \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) дээр үнэлсэн деформацийн градиентийн эзлэхүүний харьцаа: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Үл нийцэх модын элементийн дотоод чөлөөний зэргийн вектор (элементийн хил дээр тасралтгүй байдлыг албаддаггүй нэмэлт шилжилтийн модын коэффициент)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Үл нийцэх модын хэлбэрийн функц: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Бүрхүүл элементийн зузаан
\(A\) Дам нурууны элементийн хөндлөн огтлолын талбай
\(I\) Дам нурууны элементийн хөндлөн огтлолын талбайн хоёрдугаар момент (локал \(y\), \(z\) тэнхлэгийн хувьд \(I_y\), \(I_z\) гэж тэмдэглэнэ)
\(G\) Хяргалтын модуль: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
\(L\) Дам нурууны элементийн урт
\(A_s\) Дам нурууны элементийн хөндлөн огтлолын хяргалтын талбай (FrontISTR-д \(A_s = A\))
\(\Phi_y, \Phi_z\) Timoshenko дам нурууны хяргалтын деформацийн нөлөөг илэрхийлэх коэффициентууд: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\)

Холбогдох сэдвүүд