Агуулгыг алгасах

Динамик шинжилгээний аргууд

Энэ хэсэгт шууд хугацааны интегралчлал ашиглан динамик бодлогыг шинжлэх аргуудыг тайлбарлана. Имплицит ба эксплицит аргын томьёоллыг доор үзүүлэв.

Хөдөлгөөний тэгшитгэлийн дискретчлэл (Нийтлэг хүрээ)

TBD (дараагийн үе шатанд гүйцээнэ).

Имплицит арга (Newmark-β арга)

Динамик бодлогын хувьд доор үзүүлсэн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг бодохын тулд шууд хугацааны интегралчлалын аргыг хэрэглэнэ.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Энд \(M\) нь массын матриц, \(C\) нь сааруулалтын матриц, \(Q\) нь дотоод хүчний вектор, \(F\) нь гадаад хүчний вектор юм. Шугаман бус шинжилгээнд ч деформациас үл хамааран массын матрицыг тогтмол гэж үзнэ.

Хугацааны алхам \(\Delta t\)-ийн турш дахь шилжилт, хурд, хурдатгалын өөрчлөлтийг Newmark-\(\beta\) аргаар Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.2}\) ба Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.3}\)-т үзүүлснээр ойролцоолно.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Энд \(\gamma\) ба \(\beta\) нь Newmark-\(\beta\) аргын параметрүүд юм.

Мэдэгдэж байгаачлан \(\gamma\) ба \(\beta\)-ийн дараах утгууд нь тус тус шугаман хурдатгалын арга болон трапецийн дүрэмд харгалзана.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (шугаман хурдатгалын арга)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (трапецийн дүрэм)

Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.2}\) ба Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.3}\)-ийг Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.1}\)-д орлуулбал дараах тэгшитгэл гарна.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Ялангуяа шугаман бодлогод \(K_L\) нь шугаман хөшүүн чанарын матриц бөгөөд \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Энэ хамаарлыг дээрх тэгшитгэлд орлуулбал дараах тэгшитгэл гарна.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Хурдатгалыг геометрийн хилийн нөхцөлөөр өгсөн байрлалд шилжилтийг Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.2}\)-оос дараах байдлаар олно.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Үүнтэй адил хурдыг өгсөн байрлалд шилжилтийг Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.6}\)-аас дараах байдлаар олно.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Энд, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) нь \(t+\Delta{t}\) хугацаан дахь зангилааны шилжилт, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) нь \(t+\Delta{t}\) хугацаан дахь зангилааны хурд, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) нь \(t+\Delta{t}\) хугацаан дахь зангилааны хурдатгал, \(i\) нь зангилааны чөлөөний зэргийн дугаар, \(s\) нь зангилааны дугаар юм. Масс ба сааруулалтын гишүүдийг дараах байдлаар боловсруулна.

Массын гишүүний боловсруулалт

Зарчмын хувьд массын матрицыг бөөгнөрүүлсэн массын матриц гэж үзнэ.

Сааруулалтын гишүүний боловсруулалт

Сааруулалтын гишүүнийг Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.8}\)-аар илэрхийлсэн Rayleigh сааруулалтаар боловсруулна.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Энд \(R_m\) ба \(R_k\) нь Rayleigh сааруулалтын параметрүүд юм.

!DYNAMIC карт дээр заасан \(R_m\) ба \(R_k\) утгуудыг бүх загварт жигд хэрэглэнэ. Материал бүрт өөр \(R_m\), \(R_k\) утга өгөхийн тулд тухайн материалын !MATERIAL блок дотор !DAMPING картыг заана. !DAMPING заасан материалд харьяалагдах элементүүдийн хувьд элементийн массын матриц \(M_i\) ба тангенциал хөшүүн чанарын матриц \(K_i\)-аас элементийн сааруулалтын матрицыг \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) гэж тооцоод глобал сааруулалтын матрицад угсарна. Энэ функц зөвхөн имплицит аргад хүчинтэй.

Эксплицит арга (Төвийн ялгаврын арга)

Эксплицит арга нь доор үзүүлсэн t хугацаан дахь хөдөлгөөний тэгшитгэлд үндэслэнэ.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

\(t + \Delta t\) ба \(t - \Delta t\) хугацаан дахь шилжилтийг \(t\) хугацааны орчим Taylor цуваагаар илэрхийлж, \(\Delta t\)-ийн 2-р эрэмбэ хүртэлх гишүүдийг үлдээвэл дараах тэгшитгэлүүд гарна.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.3}\) ба Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.4}\)-ийн ялгавар ба нийлбэрийг авбал дараах тэгшитгэлүүд гарна.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.12}\) ба Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.13}\)-ийг Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.9}\)-д орлуулбал дараах тэгшитгэл гарна.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Ялангуяа шугаман бодлогод \(Q(t) = K_L U(t)\) бөгөөд дээрх тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болно

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Хэрэв массын матриц \(M\)-ийг бөөгнөрүүлсэн массын матриц, сааруулалтын матрицыг пропорционал сааруулалтын матриц \(C = R_m M\) гэж авбал Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.15}\)-д нэгэн зэрэг тэгшитгэлийн систем бодох шаардлагагүй.

Иймээс Тэгш. \(\eqref{eq:2.5.15}\)-оос \(U(t+\Delta t)\)-ийг дараах тэгшитгэлээр олж болно.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Холбогдох сэдвүүд