Модаль шинжилгээ¶

Ерөнхийлсөн өөрийн утгын бодлого¶

Тасралтгүй орчны чөлөөт чичиргээний шинжилгээнд оронг орон зайн хувьд дискретчилж, Зураг 2.3.1-д үзүүлсэн шиг бөөгнөрсөн масстай олон чөлөөний зэрэгт систем болгон загварчилна. Сааруулалтгүй чөлөөт чичиргээний бодлогын захирах тэгшитгэл (хөдөлгөөний тэгшитгэл) нь:

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Энд $u$ нь ерөнхийлсөн шилжилтийн вектор, $M$ нь массын матриц, $K$ нь хөшүүн чанарын матриц. $\omega$-г хувийн өнцгийн давтамж, $a$ ба $b$-г хоёулаа зэрэг тэг биш дурын тогтмолууд, $x$-г вектор гэж аваад дараах функцийг тодорхойлъё.

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

гэж тодорхойлъё. Энэ илэрхийллийн хоёрдугаар уламжлал:

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

$\eqref{eq:2.3.2}$ болон $\eqref{eq:2.3.3}$ тэгшитгэлийг $\eqref{eq:2.3.1}$ тэгшитгэлд орлуулбал

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

дээрх тэгшитгэл гарна.

Тривиал бус чичиргээний хувьд $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ нь адилтгалаар тэг биш байна.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Иймээс дээрх хамаарал биелнэ. $\lambda=\omega^2$ гэж тавибал

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

дээрх тэгшитгэл гарна.

$\lambda$ скалярыг өөрийн утга, $x$ векторыг өөрийн вектор гэж нэрлэх бөгөөд $\eqref{eq:2.3.5}$ тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх бодлогыг ерөнхийлсөн өөрийн утгын бодлого гэнэ.

Хувийн өнцгийн давтамж $\omega$-г $\lambda=\omega^2$ өөрийн утгаас олж, харгалзах өөрийн вектор $x$ нь горимын хэлбэрийг илэрхийлнэ.

Сааруулалтгүй чөлөөт чичиргээний олон чөлөөний зэрэгт системийн жишээ

Зураг 2.3.1 Сааруулалтгүй чөлөөт чичиргээний олон чөлөөний зэрэгт системийн жишээ

Матрицын шинж чанар ба таамаглал¶

Өмнөх хэсэгт гаргасан ерөнхийлсөн өөрийн утгын $Kx=\lambda Mx$ бодлогын хувьд энэ гарын авлагад матрицуудыг тэгш хэмтэй гэж үзнэ. Комплекс матрицын хувьд энэ нь Эрмитийн матриц, бодит матрицын хувьд тэгш хэмт матрицтай харгалзана.

$k_{ij}$-г $K$ матрицын $ij$ элемент гэе. Эрмитийн шинж чанарыг

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

дээрх тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. Энд $\bar{k}_{ji}$ нь $k_{ji}$-ийн комплекс хосмог юм. Бодит матрицын хувьд энэ хамаарал $k_{ij}=k_{ji}$ болно.

Бодит тэгш хэмт $H$ матриц нь дурын тэг биш $x$ векторын хувьд

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

дээрх тэнцэтгэл бишийг хангаж байвал эерэг тодорхой байна. Энэ тохиолдолд $H$-ийн бүх өөрийн утга эерэг.

Бүтцийн өөрийн утгын бодлогод массын матриц $M$-г ерөнхийдөө эерэг тодорхой гэж үздэг. Харин хөшүүн чанарын матриц $K$ нь хязгаарлалтаас хамааран эерэг хагас тодорхой байж болох бөгөөд хатуу биеийн горимд харгалзах тэг өөрийн утгуудтай байж болно.

Шилжилттэй урвуу итераци¶

Төгсгөлөг элементийн бүтцийн шинжилгээнд практикт бүх өөрийн утга ерөнхийдөө шаардлагагүй; олон тохиолдолд зөвхөн хэдэн бага эрэмбийн өөрийн утга хангалттай. HEC-MW нь том хэмжээний бодлогод зориулагдсан бөгөөд матрицууд нь том, маш сийрэг (олон тэг элементтэй) байдаг. Иймээс энэ шинжийг харгалзан бага эрэмбийн горимын өөрийн утгуудыг үр ашигтай тооцох нь чухал.

$\sigma$ шилжилтийн хувьд $-\sigma$ нь өөрийн утга биш бөгөөд $K+\sigma M$ нь сингуляр бус бол $\eqref{eq:2.3.5}$ тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргаж болно.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Энэ хувиргалт нь өөрийн вектор $x$-г өөрчлөхгүй бөгөөд өөрийн утга $\lambda$-г $1/(\lambda+\sigma)$ болгон дүрслэнэ.

Иймээс $\lambda$ нь $-\sigma$-д ойртох тусам хувиргасан өөрийн утгын абсолют утга ихсэнэ. Бүтцийн өөрийн утгын бодлогод $\lambda \geq 0$, $\sigma \geq 0$ тул хамгийн бага өөрийн утга абсолют утгаараа хамгийн их өөрийн утгад дүрслэгдэнэ. Энэ шинжийг ашиглан абсолют утга ихтэй өөрийн утгад эхэлж нийлэх хандлагатай итерацийн аргыг $\eqref{eq:2.3.8}$ тэгшитгэлд хэрэглэвэл бага эрэмбийн өөрийн утгуудыг өсөх дарааллаар үр ашигтай олж болно.

Энэ аргыг шилжилттэй урвуу итераци гэнэ.

Хязгаарлалттай шинжилгээнд FrontISTR $\sigma = 0$ гэж тохируулах бөгөөд $\eqref{eq:2.3.8}$ тэгшитгэл нь $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, өөрөөр хэлбэл шилжилтгүй урвуу итераци болно. Хязгаарлалтгүй чөлөөт-чөлөөт шинжилгээнд $K$ нь хатуу биеийн горимд харгалзах тэг өөрийн утгуудтай учраас сингуляр байдаг; $\sigma$-д эерэг утга өгөхөд $K+\sigma M$ регулярчлагдана. $\sigma$-ийн утгыг !EIGEN доторх SIGMA-аар заана.

Lanczos арга¶

Ашиглах үндэслэл (Jacobi аргатай харьцуулах)¶

Сонгодог аргуудаас Jacobi арга өргөн мэдэгддэг.

Энэ арга матриц жижиг, нягт үед үр дүнтэй. Гэвч HEC-MW-ийн боловсруулдаг матрицууд том, сийрэг тул Jacobi аргыг ашиглахгүй; оронд нь итерацийн Lanczos аргыг хэрэглэнэ.

Алгоритм ба онцлог¶

1950-аад онд C. Lanczos-ийн санал болгосон энэ арга нь матрицыг гурван диагональ хэлбэрт бууруулах алгоритм бөгөөд дараах онцлогтой.

Энэ нь итерацийн арга бөгөөд матрицыг сийрэг хэвээр хадгалан тооцоог гүйцэтгэж чадна.
Үйлдлүүд нь голчлон матриц-векторын үржвэрээс тогтдог тул параллель тооцоололд сайн тохирно.
Төгсгөлөг элементийн тортой холбоотой геометрийн домен задлалд сайн тохирно.
Олох өөрийн утгын тоо эсвэл горимын мужийг хязгаарласнаар үр ашигтай тооцоо хийж болно.

Lanczos арга нь эхний вектороос эхэлж, ортогональ векторуудыг дараалан байгуулан Krylov дэд орны суурийг олно.

Хязгаарлагдмал нарийвчлалтай арифметикт тоймлолтын алдаанаас болж векторууд ортогональ чанараа алдаж болно. Энэ нөлөөг багасгахын тулд FrontISTR-ийн хэрэгжүүлэлт вектор бүрийг өмнө нь олсон Lanczos-ийн суурийн векторуудтай дахин ортогоналчилна.

Геометрийн тайлбар (Krylov дэд орон)¶

$\eqref{eq:2.3.8}$ тэгшитгэлд дараах хувьсагчийн солилтыг оруулбал

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

бодлогыг

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

дээрх тэгшитгэл гарна.

Дурын тэг биш $q_0$ векторын хувьд

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

эдгээр векторын үүсгэх орон,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

-г Krylov дэд орон гэнэ.

Lanczos арга энэ Krylov дэд орны суурийг дараалан байгуулна.

FrontISTR нь массын матриц $M$-тай холбоотой дараах дотоод үржвэрийг

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

суурийг ортонормчлоход ашиглана. Дараах зургууд дахь дотоод үржвэр $\langle x,y\rangle$ болон норм $\|x\|$-ыг FrontISTR-ийн тооцоонд энэхүү $M$-дотоод үржвэр болон түүнд харгалзах $M$-норм

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

гэж тус тус ойлгоно.

Зураг 2.3.2-т үзүүлсэнчлэн $A$ матрицаар тодорхойлогдох шугаман хувиргалтыг дурын $q_0$ векторт хэрэглэнэ.

$$q_0$-д $A$ матрицаар хийсэн шугаман хувиргалт$

Зураг 2.3.2 $q_0$-д $A$ матрицаар хийсэн шугаман хувиргалт

Хувиргасан векторыг өөртэй нь болон анхны вектороор үүсэх орон дотор ортогоналчилна. Тодруулбал, Зураг 2.3.3-т үзүүлсэн Gram-Schmidt-ийн ортогоналчлалыг хийнэ. Үүссэн векторыг $r_1$ гэвэл түүнийг нормчилж $q_1$-г олно.

$q_0\)-д ортогональ вектор: \(q_1$

Зураг 2.3.3 $q_0$-д ортогональ вектор: $q_1$

Ижил аргаар $q_1$-ээс $q_2$-г олно. Энд $q_2$ нь Зураг 2.3.4-т үзүүлсэнчлэн $q_1$ болон $q_0$-ийн аль алинд ортогональ.

$q_1\) ба $q_0$-д ортогональ вектор: \(q_2$

Зураг 2.3.4 $q_1$ ба $q_0$-д ортогональ вектор: $q_2$

Ийнхүү Lanczos арга Krylov дэд орны ортонорм суурийг дараалан байгуулна. Онолын хувьд өөрийн утгын бодлогын тэгш хэм нь энэ итерацийг хамгийн сүүлийн суурийн векторуудыг агуулсан гурван гишүүнт рекуррент хамаарлаар илэрхийлэх боломж олгодог.

Харин FrontISTR-ийн хэрэгжүүлэлт нь хязгаарлагдмал нарийвчлалтай арифметикаас үүсэх ортогональ чанарын алдагдлыг багасгахын тулд вектор бүрийг өмнө олсон Lanczos-ийн суурийн векторуудтай $M$-дотоод үржвэрээр дахин ортогоналчилна.

Гурван диагональ хэлбэрт оруулах¶

FrontISTR-ийн Lanczos итерацид суурийн векторуудыг өмнөх хэсэгт тайлбарласан $M$-дотоод үржвэрийн хувьд ортонормчилдог тул

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

дээрх хамаарал биелнэ.

$\eqref{eq:2.3.10}$ тэгшитгэлийн $A$ матрицыг ашиглавал онолын Lanczos итераци

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

дээрх гурван гишүүнт рекуррент хамаарлаар илэрхийлэгдэнэ.

Эхлээд $\alpha_i$-г дараах байдлаар тодорхойлно.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Дараа нь түр үлдэгдлийг

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

гэж тодорхойлно.

Хязгаарлагдмал нарийвчлалтай арифметикаас үүсэх ортогональ чанарын алдагдлыг багасгахын тулд FrontISTR-ийн хэрэгжүүлэлт $\tilde{r}_{i+1}$-г өмнө олсон Lanczos-ийн суурийн векторуудтай $M$-дотоод үржвэрээр дахин ортогоналчилна. Дахин ортогоналчилсны дараах үлдэгдлийг $r_{i+1}$ гэвэл

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

дээрх хамаарлууд биелнэ.

Lanczos итерациар олсон $m$ суурийн векторыг

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

гэж нэгтгэе. Тэгвэл хязгаарлагдмал тооны Lanczos итерацийн дараа

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

дээрх хамаарал биелнэ.

Энд $e_m$ нь $m$-дэх бүрэлдэхүүн нь 1, бусад бүрэлдэхүүн нь тэг байх $m$ хэмжээст нэгж вектор бөгөөд

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

нь тэгш хэмт гурван диагональ матриц юм.

Иймээс гурван диагональ $T_m$ матрицын өөрийн утгуудыг тооцоолсноор анхны том хэмжээний өөрийн утгын бодлогын өөрийн утгуудыг ойролцоолж болно.

Холбогдох сэдвүүд¶

Давтамжийн хариу үйлдлийн шинжилгээ — модаль шинжилгээний үр дүнг ашигласан давтамжийн хариу
Шинжилгээний төрлүүд — модаль шинжилгээний функцийн тойм