Агуулгыг алгасах

Давтамжийн хариу үйлдлийн шинжилгээ

Бодлогын томьёолол

Давтамжийн хариу үйлдлийн шинжилгээ нь гадаад хүч хугацааны хувьд гармоник өөрчлөгдөх үед системийн тогтсон төлөвийн хариу үйлдлийн амплитуд ба фазын давтамжийн домэйн дахь утгыг үнэлнэ. Сааруулалттай ба сааруулалтгүй үед хөдөлгөөний үндсэн тэгшитгэлийг өөрөөр боловсруулдаг тул энэ бүлэг эхлээд сааруулалтгүй чөлөөт чичиргээнээс хувийн хэлбэрүүдийг гаргаж, дараа нь тэдгээрийг модаль суурь болгон ашиглан сааруулалттай гармоник хариу үйлдлийг задлана.

Сааруулалтгүй чөлөөт чичиргээ ба хувийн хэлбэрүүд

Сааруулалтыг үл тоомсорловол хөдөлгөөний тэгшитгэл нь

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Шилжилтийг хувийн хэлбэр бүрээр задлавал

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Үүнийг Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.1}\)-д орлуулбал

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Энэ нь ерөнхийлсөн хувийн утгын бодлого юм. Шилжүүлсэн урвуу итераци ба Lanczos арга зэрэг тоон бодолтын аргуудыг Модаль шинжилгээ-д авч үзсэн. Энэ хэсэгт дараагийн гармоник хариу үйлдлийн задлалд ашиглагдах хувийн давтамж ба хувийн хэлбэрүүдийн шинж чанарыг тоймлон тайлбарлана.

Хувийн давтамж бодит байх чанар

Хувийн давтамж бодит гэдгийг дараах байдлаар харуулж болно. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) гэж авъя. Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.3}\)-ийн комплекс хосмогийг авбал Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.4}\) гарна.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

\(\overline{U}_J^T\)-ээр үржүүлбэл

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.5}\)-оос,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Массын матриц симметр эерэг тодорхой тул тэг биш хувийн векторын хувьд

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Иймээс,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Тэгэхээр \(\omega_j^2 = \lambda_j\) нь бодит.

Хувийн хэлбэрүүдийн ортогональ чанар ба нормчлол

2 өөр хэлбэрийг авч үзье.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Эндээс

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

мөн хувийн утгууд өөр үед,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Иймээс өөр өөр хувийн хэлбэрүүд массын матрицын хувьд ортогональ байна. Ижил хэлбэрийн хувьд Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.12}\)-т үзүүлсэнчлэн массын матрицын хувьд нормчилбол дараагийн боловсруулалт хялбар болно.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Сааруулалттай гармоник хариу үйлдэл

Дараа нь сааруулалттай давтамжийн хариу үйлдлийн шинжилгээний томьёоллыг үзүүлнэ. Хөдөлгөөний үндсэн тэгшитгэлийг Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.13}\)-аар өгнө.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Сааруулалтын гишүүнийг Rayleigh төрөл гэж үзэж Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.14}\)-өөр илэрхийлнэ.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Модаль шинжилгээнээс олсон хувийн векторуудыг ашиглан t хугацаан дахь шилжилтийн векторыг Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.15}\)-аар задлаж болно.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Гадаад хүчний гишүүн дараах гармоник хэлбэртэй гэж үзье

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Дараа нь \(b_{j}(t)\)-г тодорхойлно. Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.13}\) дахь хөдөлгөөний тэгшитгэл албадмал чичиргээний хэлбэртэй тул,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

байна. Задралын коэффициент \(b_{j}(t)\)-ийн бодит ба хуурмаг хэсгийг тус тус Тэгш.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) болон \(\eqref{eq:2.6.19}\)-өөр өгнө.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Ингэснээр хүссэн гармоник хариу үйлдлийн коэффициентуудыг олно.

Холбогдох сэдвүүд