Агуулгыг алгасах

Шилжилтийн дулаан дамжилтын шинжилгээ

Төгсгөлөг элементийн аргаар хатуу биетийн дулаан дамжилтыг шинжлэх хугацааны дискретчлэл болон итерацийн шийдлийн аргыг үзүүлнэ. Континуум дахь үндсэн тэгшитгэл ба хилийн нөхцлийг Дулаан дамжилтын тэгшитгэл-ээс үзнэ үү.

Дискретчилсэн тэгшитгэл (эхлэх цэг)

Дулаан дамжилтын тэгшитгэлийг (Дулаан дамжилтын тэгшитгэл (gov_he_main)) Galerkin аргаар дискретчилбэл,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

Энд,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Энд \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) нь харгалзан дулаан дамжилтын матриц (хилийн хувь нэмрийн конвекц ба цацрагийн гишүүдийг багтаана), массын матриц, дулааны ачааллын вектор, хэлбэрийн функцийн матриц юм. Материалын шинж чанарын тэмдэглэгээ (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) гэх мэт)-ийн тодорхойлолтыг Дулаан дамжилтын тэгшитгэл-д өгсөн.

Хугацааны дискретчлэл ба итерацийн шийдэл

Тэгшитгэл \(\eqref{eq:2.4.8}\) нь шугаман бус бөгөөд шилжилтийн тэгшитгэл юм. Одоо хугацаагаар арагш Эйлерийн аргаар дискретчилж, \(t=t_0\) хугацаан дахь температур мэдэгдсэн үед \(t=t_0+\Delta t\) хугацаан дахь температурыг дараах тэгшитгэлээр тооцъё.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Энд тэгшитгэл \(\eqref{eq:2.4.13}\)-ийг ойролцоогоор хангах температурын вектор \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\)-ийг сайжруулж, өндөр нарийвчлалтай шийд \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\)-ийг олохыг авч үзнэ.

Үүний тулд эхлээд температурын векторыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Дулаан дамжилтын матриц ба температурын векторын үржвэр, массын матриц зэргийг дараах байдлаар ойролцоолно.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Тэгшитгэл \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), \(\eqref{eq:2.4.16}\)-ийг \(\eqref{eq:2.4.13}\)-д орлуулж, хоёрдугаар болон түүнээс дээш эрэмбийн гишүүдийг орхивол дараах тэгшитгэлийг авна.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Цаашлаад зүүн талын коэффициентийн матрицыг дараах тэгшитгэлээр ойролцоогоор үнэлнэ.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Энд \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) нь шүргэгч хөшүүн чанарын матриц юм.

Эцэст нь дараах тэгшитгэлийг ашиглан итерацийн тооцоо хийснээр \(t=t_0+\Delta t\) хугацаан дахь температурыг тооцож болно.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Ялангуяа тогтвортой төлөвийн шинжилгээнд дараах тэгшитгэлээр итерацийн тооцоо хийнэ.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Шилжилтийн шинжилгээнд хугацааны өсөлт \(\Delta t\)-ийг сонгохдоо хугацааны дискретчлэлд далд аргыг ашигладаг тул ерөнхийдөө түүний хэмжээнд тогтвортой байдлын хязгаарлалт тавигдахгүй. Гэвч хугацааны өсөлт \(\Delta t\) хэт том бол итерацийн тооцооны нийлэлтэд шаардагдах итерацийн тоо нэмэгдэнэ. Ерөнхийдөө хугацааны өсөлт \(\Delta t\) хэт том бол итерацийн тоо нэмэгдэнэ. Хэрэгжилтэд үлдэгдлийн векторын хэмжээг хянаж, нийлэлт удаан бол \(\Delta t\)-ийг багасгаж, итерацийн тоо цөөн бол \(\Delta t\)-ийг нэмэгдүүлэх автомат өсөлтийн удирдлага ашиглана (→ дэлгэрэнгүйг Алхамын удирдлага-аас үзнэ үү).

Холбогдох сэдвүүд