Агуулгыг алгасах

Геометрийн хилийн нөхцлийн боловсруулалт

Newton-Raphson арга нь итераци бүрд \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) шугаман тэгшитгэлийг боддог боловч геометрийн хилийн нөхцөл (шилжилтийн хязгаарлалт) энэ тэгшитгэлд хараахан тусгагдаагүй байна. Энэ бүлэгт шилжилтийн хязгаарлалт \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) үйлчилдэг чөлөөний зэрэгт итерацийн дараах шилжилтийг өгөгдсөн утгад хүргэхийн тулд хөшүүн чанарын матриц \(\boldsymbol{K}\) ба үлдэгдлийн вектор \(\boldsymbol{R}\)-ийг хэрхэн өөрчлөхийг үзүүлнэ. Олон цэгийн хязгаарлалт (MPC) болон контакттай холбоотой шугаман бус хязгаарлалтыг тусад нь боловсруулна; Олон цэгийн хязгаарлалт болон Контакт-ыг үзнэ үү.

Шилжилтийн хязгаарлалтыг үл мэдэгдэх хувьсагч хэвээр хадгалах бодлого

Геометрийн хилийн нөхцөлтэй зангилааны шилжилт нь үл мэдэгдэх хувьсагч биш бөгөөд өгөгдсөн утга \(\bar{u}_i\)-д тогтоогдоно. Эдгээр чөлөөний зэргийг тогтмол гэж үзэн \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) шугаман тэгшитгэлээс хасаж болох боловч FrontISTR нь хязгаарлагдсан чөлөөний зэргийг бусад чөлөөний зэрэгтэй ижил байдлаар засварын вектор \(d\boldsymbol{u}\)-т хадгалж, \(\boldsymbol{K}\) ба \(\boldsymbol{R}\)-ийг өөрчлөх замаар хязгаарлалтыг хэрэгжүүлдэг.

Энэ аргаар хязгаарлалт байгаа эсэхээс үл хамааран коэффициентийн матрицын хэмжээ ба чөлөөний зэргийн дараалал өөрчлөгдөхгүй тул хувьсагчийг хасаж, сул мөр ба баганыг дахин багцлах шаардлагагүй. Коэффициентийн матрицыг сийрэг матриц хэлбэрээр хадгалдаг хэрэгжилтэд ийм дахин багцлалт төвөгтэй тул FrontISTR нь коэффициентийн матриц ба баруун талыг шинэчлэх замаар л хязгаарлалтыг хэрэгжүүлэх сүүлийн аргыг ашигладаг.

Newton-Raphson засварын зорилтот утга

Шилжилтээр хязгаарлагдсан чөлөөний зэрэг \(i\)-ийн хувьд Newton-Raphson итерациар олдсон засвар \(du_i\)-ийг

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1-р итераци}) \\ 0 & (\text{2-р болон дараагийн итераци}) \end{cases} \]

гэж авна. Засвар энэ утгыг авахын тулд \(\boldsymbol{K}\) ба \(\boldsymbol{R}\)-ийг өөрчилнө. Ингэснээр 1-р итерацид шилжилтийн өсөлт өгөгдсөн утга \(\bar{u}_i\)-д хүрч, 2-р итерациас хойш засвар \(0\) болж өгөгдсөн утга хадгалагдана.

Матриц ба үлдэгдлийн векторыг өөрчлөх журам

Өмнөх хэсгийн зорилтот утгыг \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) шугаман тэгшитгэлийн хэлбэрийг хадгалан дараах 2 өөрчлөлтөөр хэрэгжүүлнэ.

  1. \(i\) мөрийг диагональчлах: \(du_i\)-ийн коэффициент болох диагональ гишүүн \(K_{ii}\)-ийг \(1\)-ээр, бусад бүх коэффициент \(K_{ij}\ (j \not= i)\)-ийг \(0\)-ээр сольж, баруун талыг \(R_i \to d\bar{u}_i\) болгоно. Ингэснээр \(i\) мөрийн тэгшитгэл \(du_i = d\bar{u}_i\) болно.
  2. \(j(\not= i)\) мөрүүдээс шилжүүлэх: \(j(\not= i)\) мөр бүрд \(K_{ji} \not= 0\) бол \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) гишүүнийг баруун тал руу шилжүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл баруун талаас \(K_{ji} d\bar{u}_i\)-ийг хасаж, \(du_i\)-ийн коэффициент \(K_{ji}\)-ийг \(0\) болгоно.

Бүрэлдэхүүн хэсгийн хэлбэрээр өөрчлөлтийн өмнөх ба дараах тэгшитгэлүүд дараах байдлаар харгалзана.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Өөрчилсөн коэффициентийн матриц ба баруун талыг харгалзан \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) гэж тэмдэглэе. Эцэст нь бодох шугаман тэгшитгэл нь

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Хэрэв олон хязгаарлагдсан чөлөөний зэрэг байвал дээрх 1 ба 2-р өөрчлөлтийг хязгаарлагдсан чөлөөний зэрэг \(i\) бүрд дараалан хэрэглэнэ.

Сийрэг матрицын хэрэгжилт дэх боловсруулалтын хүрээ

Хэрэгжилтэд коэффициентийн матриц \(\boldsymbol{K}\)-ийг сийрэг матриц хэлбэрээр хадгална. Тиймээс өмнөх хэсгийн 2-р журмын \(j(\not= i)\) мөрүүдийн боловсруулалтыг зөвхөн \(i\) баганад тэгээс ялгаатай утгатай мөрүүдэд, өөрөөр хэлбэл хязгаарлагдсан чөлөөний зэрэг \(i\)-тэй элементээр холбогдсон зангилааны чөлөөний зэрэгт гүйцэтгэнэ. Холбоогүй чөлөөний зэрэгт \(K_{ji} = 0\) тул гишүүнийг шилжүүлэх нь баруун талыг өөрчлөхгүй. Энэ хязгаарлалт нь нийт зангилааны тоотой харьцуулахад зөвхөн локал үйлдлээр хязгаарлалтын боловсруулалтыг дуусгах боломж олгоно.

Холбогдох сэдвүүд