सॉल्वर आणि पूर्वशर्तीकरण¶

FrontISTR च्या रेषीय सॉल्वरमध्ये थेट किंवा पुनरावृत्ती पद्धत निवडली जाते आणि पुनरावृत्ती पद्धतीत पूर्वशर्तीकरण एकत्र करून रेषीय समीकरण सोडवले जाते. MPC प्रक्रिया पद्धत आणि संपर्क स्वातंत्र्य-अंश विलोपन हे बहुबिंदू निर्बंध किंवा संपर्क निर्बंध असलेली रेषीय प्रणाली कोणत्या स्वरूपात हाताळायची ते ठरवणारे सहाय्यक पर्याय आहेत.

कार्याचा आढावा¶

सॉल्वर आणि पूर्वशर्तीकरण पुढील पर्यायांनी बनतात. प्रथम रेषीय सॉल्वर म्हणून पुनरावृत्ती किंवा थेट पद्धत निवडा आणि फक्त पुनरावृत्ती पद्धत निवडल्यास पूर्वशर्तीकरण त्यासोबत वापरा.

वर्ग	मुख्य पर्याय	भूमिका
पुनरावृत्ती पद्धत	`CG`, `BiCGSTAB`, `GMRES`, `GPBiCG`, `GMRESR`, `GMRESREN`	मोठे विरळ आव्यूह स्मृती-कार्यक्षमतेने सोडवते.
पुनरावृत्ती पद्धतीसाठी पूर्वशर्तीकरण	SSOR, कर्ण स्केलिंग, BILU, AMG, SAINV, RIF	पुनरावृत्ती पद्धतीचे अभिसरण सुधारते; थेट पद्धतीत वापरले जात नाही.
थेट पद्धत	`MUMPS`, `MKL`	विघटनाने रेषीय समीकरण मजबूतपणे सोडवते.
MPC प्रक्रिया पद्धत	पेनल्टी पद्धत, स्पष्ट स्वातंत्र्य-अंश विलोपन	बहुबिंदू निर्बंध रेषीय प्रणालीत लागू करते.
संपर्क स्वातंत्र्य-अंश विलोपन	स्वयंचलित, नेहमी सक्षम	SLAGRANGE संपर्काने जोडले जाणारे संपर्क स्वातंत्र्य अंश कसे हाताळायचे ते बदलते.
सहाय्यक कार्ये	कंडीशन संख्या अंदाज, आव्यूह डंप, लॉग आउटपुट	डीबगिंग, अभिसरण तपासणी आणि कार्यक्षमता मूल्यांकनास मदत करतात.

समांतर कार्यान्वयनात प्रदेश विभाजनाद्वारे MPI समांतरता आणि OpenMP थ्रेड समांतरता एकत्र वापरता येते. मोठ्या प्रमाणातील समांतर विश्लेषणात पुनरावृत्ती पद्धत मानक पर्याय आहे; अधिक मजबूत सोडवण आवश्यक असल्यास संबंधित लायब्ररी लिंक केलेल्या वातावरणात थेट पद्धत वापरली जाते.

सॉल्वर आणि पूर्वशर्तीकरण निवडणे¶

प्रथम पुनरावृत्ती आणि थेट पद्धतीपैकी एक निवडा; पुनरावृत्ती पद्धत निवडल्यास त्यानंतर पूर्वशर्तीकरण निवडा.

निर्णय निकष	शिफारस केलेली दिशा
समस्या आकार	लहान ते मध्यम समस्यांसाठी थेट पद्धत स्थिर आणि हाताळण्यास सोपी असते. मोठ्या समस्यांसाठी पुनरावृत्ती पद्धत स्मृती-कार्यक्षम असते.
आव्यूह सममितता	सममित धन-निश्चित समस्यांसाठी `CG` विचारात घ्या. असममित समस्यांसाठी `BiCGSTAB`, `GMRES`, `GPBiCG` इत्यादी विचारात घ्या.
समांतर वातावरण	MPI समांतरतेत पुनरावृत्ती पद्धत आणि प्रदेश विभाजन एकत्र वापरा. OpenMP समांतरतेतील पूर्वशर्तीकरणासाठी मल्टीकलर समर्थित SSOR विचारात घ्या.
पूर्वशर्तीकरण (पुनरावृत्ती पद्धत निवडल्यास)	प्रथम पूर्वनिर्धारित SSOR वापरून पहा, नंतर AMG विचारात घ्या. अभिसरण चांगले असल्यास हलकी SSOR, तर गुंतागुंतीच्या मोठ्या समस्यांसाठी AMG पूर्वशर्तीकरण योग्य ठरते. AMG हे Trilinos-ML अंमलबजावणी किंवा HEC-MW मधील अंगभूत SA-AMG या रूपात उपलब्ध आहे; बिल्ड संरचनेनुसार निवडा.
संपर्क/MPC	संपर्क किंवा बहुबिंदू निर्बंध असलेल्या विश्लेषणात MPC प्रक्रिया पद्धत आणि संपर्क स्वातंत्र्य-अंश विलोपनाची निवड अभिसरण आणि मजबुतीवर परिणाम करते.
बाह्य लायब्ररी	`MUMPS`, `MKL` आणि AMG (Trilinos-ML) या संबंधित लायब्ररी लिंक केलेल्या बिल्डमध्ये उपलब्ध असतात. AMG (SA-AMG) हे LAPACK सक्षम केलेल्या बिल्डमध्ये उपलब्ध असते.

मानक विश्लेषणात अभिसरण निकष, कमाल पुनरावृत्ती संख्या आणि पूर्वशर्तीकरणाचा कर्ण सुधारणा गुणांक यांसारखी प्राचले पूर्वनिर्धारित मूल्यांवर पुरेशी कार्य करतात. अभिसरण मंद असल्यास किंवा गणना विचलित झाल्यासच पुनरावृत्ती पद्धत, पूर्वशर्तीकरण, MPC प्रक्रिया पद्धत आणि संपर्क स्वातंत्र्य-अंश विलोपन या क्रमाने पुनर्विचार करा. प्राचल मूल्ये आणि स्वरूपासाठी कीवर्ड संदर्भातील !SOLVER पहा.

पुनरावृत्ती पद्धती¶

पुनरावृत्ती पद्धत मोठ्या विरळ आव्यूहासाठी आव्यूह-सदिश गुणाकार आणि पूर्वशर्तीकरण पुन्हा पुन्हा करून उत्तर अद्ययावत करते. FrontISTR मध्ये पुढील पुनरावृत्ती पद्धती निवडता येतात.

पुनरावृत्ती पद्धत	उपयोगाची दिशा	टीप
`CG`	सममित धन-निश्चित समस्या	संरचनात्मक आणि उष्णता वहन विश्लेषणासाठी मानक पर्याय.
`BiCGSTAB`	असममित समस्या	संपर्क किंवा युग्मित समस्येत असममितता जास्त असल्यास विचारात घ्यावा.
`GMRES`	असममित समस्या	Krylov उपअवकाशाचा आकार निर्दिष्ट करून वापरला जातो.
`GPBiCG`	असममित समस्या	`BiCGSTAB` परिवारातील सुधारित पद्धत.
`GMRESR`	असममित समस्या, प्रगत उपयोग	`GMRES` नेस्टेड पद्धतीने वापरणारा पर्याय.
`GMRESREN`	असममित समस्या, प्रगत उपयोग	`GMRESR` परिवारातील पुनरावर्ती आवृत्ती.

CG साठी आव्यूह सममित धन-निश्चित असणे गृहित आहे. घर्षण संपर्क, असममित निर्बंध प्रक्रिया किंवा युग्मित परिणामामुळे असममितता मोठी असल्यास BiCGSTAB, GMRES, GPBiCG इत्यादी विचारात घ्या. GMRES मध्ये Krylov उपअवकाशाचा आकार वाढवल्यास कधी कधी अभिसरण सुधारते, परंतु स्मृती वापरही वाढतो.

METHOD2 निर्दिष्ट केल्यास CG विचलित किंवा अपयशी झाल्यावर पर्यायी पुनरावृत्ती पद्धतीवर स्विच करता येते. हे CG मुख्य सॉल्वर असताना फॉलबॅक आहे आणि इतर सेटिंग मूल्ये व डेटा ओळी मुख्य सॉल्वरप्रमाणेच वापरल्या जातात.

CG, BiCGSTAB, GPBiCG आणि PipeCG अवशेष सदिश पुनरावृत्ती संबंधाने अद्ययावत करतात; त्यामुळे पुनरावृत्ती वाढत गेल्यावर पूर्णांकन त्रुटी साचतात आणि वास्तविक अवशेषापासून तफावत निर्माण होते. हे टाळण्यासाठी, ठरावीक पुनरावृत्ती अंतराने अवशेष सदिश उजव्या बाजूवरून आणि आव्यूह-सदिश गुणाकारावरून पुन्हा गणला जातो. हा अंतराल RECOMPUTE_RESIDUAL ने निर्दिष्ट करता येतो. अंतराल वाढवल्यास आव्यूह-सदिश गुणाकार कमी होतात, परंतु पुनरावृत्ती संबंधाने मिळणारा अवशेष वास्तविक अवशेषापासून दूर जाऊन अजून अभिसरित न झालेल्या उत्तराला अभिसरित मानण्याचा धोका वाढतो. उलट, अंतराल खूप कमी केल्यास आव्यूह-सदिश गुणाकार वाढण्याबरोबरच पुनरावृत्ती संबंधाने राखलेला अवशेष आणि सहाय्यक सदिश यांतील संबंध बिघडू शकतो आणि अभिसरण स्वतःच खराब होऊ शकते. प्रत्येक सोडवणूक पद्धतीचे डीफॉल्ट मूल्य हा समतोल लक्षात घेऊन ठरवलेले आहे; ते बदलल्यास अभिसरण इतिहास आणि अंतिम सापेक्ष अवशेष तपासा.

पूर्वशर्तीकरण¶

पूर्वशर्तीकरण ही पुनरावृत्ती पद्धतीचे अभिसरण सुधारण्यासाठी गुणांक आव्यूह रूपांतरित करणारी प्रक्रिया असून केवळ पुनरावृत्ती पद्धत निवडल्यावर लागू होते. थेट पद्धतीत पूर्वशर्तीकरण वापरले जात नाही. समान पुनरावृत्ती पद्धतीतही पूर्वशर्तीकरणाच्या निवडीनुसार अभिसरणापर्यंतच्या पुनरावृत्तींची संख्या आणि गणना वेळ लक्षणीय बदलू शकतात.

पूर्वशर्तीकरण	वैशिष्ट्य	उपयोगाची दिशा
SSOR	मानक पूर्वशर्तीकरण; मल्टीकलर ऑर्डरिंग समर्थित.	प्रथम वापरून पाहण्याचा पर्याय; संरचनात्मक विश्लेषणात व्यापक वापर.
कर्ण स्केलिंग	कर्ण घटक वापरणारे हलके पूर्वशर्तीकरण.	गणना खर्च कमी ठेवायचा असल्यास.
BILU	ब्लॉक-आधारित अपूर्ण LU विघटन.	SSOR ने अभिसरण कठीण असलेल्या समस्यांसाठी.
AMG (Trilinos-ML)	बाह्य Trilinos-ML लायब्ररी वापरणारे बीजगणितीय मल्टिग्रिड.	मोठ्या समस्या किंवा स्तरित त्रुटी घटक प्रधान असलेल्या समस्यांसाठी पर्याय.
AMG (SA-AMG)	HEC-MW मधील अंगभूत Smoothed Aggregation प्रकारचे बीजगणितीय मल्टिग्रिड.	वरीलप्रमाणे; बाह्य लायब्ररी न जोडता AMG वापरण्याचा पर्याय.
SAINV	Sparse Approximate Inverse.	संपर्क समस्या किंवा वितरित वातावरणातील विशेष पूर्वशर्तीकरणासाठी.
RIF	Robust Incomplete Factorization.	अपूर्ण विघटन परिवारातील दुसरा पर्याय.

SSOR हा मानक पर्याय असून OpenMP समांतरतेत मल्टीकलर ऑर्डरिंग आवृत्ती वापरली जाते. कर्ण स्केलिंग हलके असले तरी अभिसरण सुधारणा समस्येवर अवलंबून असते. BILU हे ब्लॉक-आधारित अपूर्ण LU विघटन म्हणून अंमलात आणलेले असून सामान्य DOF आव्यूहांनाही समर्थित करते. BILU परिवारात पुनरावृत्ती पद्धत विचलित झाल्यास कर्ण सुधारणा गुणांक SIGMA_DIAG आपोआप वाढवून पुन्हा प्रयत्न करण्याचा मार्ग आहे; मूल्य निर्दिष्ट करण्यासाठी कीवर्ड संदर्भ पहा.

AMG (बीजगणितीय मल्टिग्रिड)च्या दोन अंमलबजावण्या आहेत: बाह्य Trilinos-ML लायब्ररी वापरणारी अंमलबजावणी आणि HEC-MW मधील अंगभूत SA-AMG. या स्वतंत्र अंमलबजावण्या असून आवश्यक बिल्ड संरचना आणि उपलब्ध पर्याय वेगवेगळे आहेत.

Trilinos-ML वापरणाऱ्या AMG साठी बिल्डवेळी ML सक्षम असणे आवश्यक आहे. गुळगुळीतकारक, मल्टिग्रिड सायकल, कोर्सनिंग पद्धत आणि इतर सेटिंग्ज निर्दिष्ट करता येतात; तपशीलवार मूल्यांसाठी कीवर्ड संदर्भ पहा.

SA-AMG हा Smoothed Aggregation प्रकारचा बीजगणितीय मल्टिग्रिड पूर्वशर्तीकारक आहे आणि त्याला Trilinos-ML ची आवश्यकता नाही. मात्र तो अंतर्गत LAPACK वापरतो, त्यामुळे LAPACK सक्षम बिल्ड आवश्यक आहे; LAPACK नसलेल्या बिल्डमध्ये तो निवडल्यास विश्लेषण सुरू न करताच प्रोग्राम थांबतो. स्थूल-जाळी सोडवणुकीसाठी MUMPS सक्षम बिल्डमध्ये MUMPS वापरता येतो; अन्यथा अंगभूत घन-आव्यूह थेट पद्धत वापरली जाते.

SA-AMG मुख्यतः सममित धन-निश्चित प्रणाली (CG) लक्षात घेऊन तयार केलेला आहे, परंतु घर्षण संपर्कामुळे निर्माण होणाऱ्या असममित संक्षिप्त प्रणालींनाही (BiCGSTAB, GMRES इत्यादी) समर्थन देतो. तो प्रत्येक नोडवरील 1 (उष्णता वहन), 2 (समतलीय), 3 (घन), 6 (शेल) स्वातंत्र्य अंशांना समर्थन देतो, परंतु नोडनुसार स्वातंत्र्य अंशांची संख्या बदलणाऱ्या आव्यूहांना समर्थन देत नाही. स्थूल-जाळी सॉल्वर, मल्टिग्रिड सायकल, गुळगुळीतकारकाची कोटी आणि इतर पर्याय निर्दिष्ट करता येतात; मानक विश्लेषणासाठी पूर्वनिर्धारित मूल्ये वापरता येतात. मूल्ये आणि सिंटॅक्ससाठी कीवर्ड संदर्भ पहा. GPU (OpenACC) सक्षम बिल्डमध्ये पूर्वशर्तीकारक लागू करण्याचा टप्पा GPU वर चालतो.

संपर्क समस्या किंवा MPC असलेल्या समांतर विश्लेषणात SAINV वापरताना प्रदेश विभाजनातील ओव्हरलॅप खोली अभिसरणावर परिणाम करू शकते.

थेट पद्धती¶

थेट पद्धतीत गुणांक आव्यूहाचे विघटन करून रेषीय समीकरण सोडवले जाते. पुनरावृत्ती संख्येवर अवलंबून नसल्याने ती मजबूत असते आणि संपर्क किंवा निर्बंध असलेल्या विश्लेषणासाठी स्थिर पर्याय ठरते. मात्र समस्या आकार वाढल्यास स्मृती वापर वाढतो.

थेट पद्धत	समांतर वातावरण	उपयोग
`MUMPS`	MPI समांतर	वितरित-स्मृती वातावरणात विरळ आव्यूह थेट पद्धतीने सोडवते.
`MKL`	Intel MKL / OpenMP	Intel MKL ची थेट पद्धत; अंतर्गत Intel PARDISO चालते. अनेक MPI प्रक्रियांमध्ये Cluster MKL मार्ग वापरला जातो. `DIRECTmkl` हे `MKL` चे पर्यायी नाव आहे.

थेट पद्धत सममित आणि असममित दोन्ही आव्यूहांसाठी वापरता येते. MUMPS आणि MKL वापरण्यासाठी संबंधित लायब्ररी बिल्डवेळी लिंक केलेल्या असणे आवश्यक आहे. लायब्ररी नसल्यास ते वापरता येत नाहीत; आवश्यक अवलंबित्वे आणि CMake पर्यायांसाठी बिल्ड मार्गदर्शिका पहा.

FrontISTR मध्ये बाह्य लायब्ररी न वापरणारा अंतर्गत थेट-पद्धत मार्गही आहे, परंतु सामान्य विश्लेषणात थेट पद्धत निवडताना MUMPS किंवा MKL विचारात घ्या.

थेट पद्धतीत पूर्वशर्तीकरण लागू होत नाही. !SOLVER मध्ये पूर्वशर्तीकरण निर्दिष्ट केले असले तरी थेट-पद्धत मार्गात ते वापरले जात नाही.

MPC प्रक्रिया पद्धत¶

MPC प्रक्रिया पद्धत बहुबिंदू निर्बंधांनी जोडलेले स्वातंत्र्य अंश रेषीय समीकरणात लागू करण्याची पद्धत आहे. इनपुट निर्बंध समीकरण समान असले तरी प्रक्रिया पद्धतीनुसार गुणांक आव्यूहाचे गुणधर्म आणि अभिसरण बदलतात.

MPC प्रक्रिया पद्धत	स्थान	पूर्वनिर्धारित उपयोग
पेनल्टी पद्धत	निर्बंध समीकरणाला मोठी दृढता जोडून अंदाजे समाधान करते.	थेट पद्धतीसाठी पूर्वनिर्धारित.
स्पष्ट स्वातंत्र्य-अंश विलोपन	निर्बंधित स्वातंत्र्य अंश काढून संक्षिप्त रेषीय प्रणाली सोडवते.	पुनरावृत्ती पद्धतीसाठी पूर्वनिर्धारित.

थेट पद्धतीत पेनल्टी पद्धत पूर्वनिर्धारित आहे आणि पुनरावृत्ती पद्धतीत स्पष्ट स्वातंत्र्य-अंश विलोपन पूर्वनिर्धारित आहे. पूर्वी निवडता येणारी MPC-CG पद्धत काढून टाकली आहे; MPCMETHOD=2 निर्दिष्ट केल्यास इशारा दिला जातो आणि संबंधित पूर्वनिर्धारित पद्धत वापरली जाते.

स्पष्ट स्वातंत्र्य-अंश विलोपनात, मोडल विश्लेषण आणि स्पष्ट पद्धतीच्या गतिशील विश्लेषणात वापरले जाणारे केंद्रित वस्तुमानही कडकपणा मॅट्रिक्सप्रमाणे त्याच रूपांतरणाने संक्षिप्त केले जाते. संक्षिप्त वस्तुमान मॅट्रिक्स सर्वसाधारणपणे कर्णीय नसल्यामुळे, त्याच्या ओळींच्या बेरजा केंद्रित वस्तुमान म्हणून वापरल्या जातात. निर्बंध समीकरणातील गुणांकांची बेरीज 1 असलेल्या जोडणी किंवा अंतर्वेशन निर्बंधांमध्ये, अधीन स्वातंत्र्य-अंशाचे वस्तुमान गुणांकांच्या प्रमाणात प्रधान स्वातंत्र्य-अंशांमध्ये वाटले जाते.

MPC प्रक्रिया पद्धत !SOLVER च्या MPCMETHOD ने स्पष्टपणे निर्दिष्ट करता येते. मूल्यांचा अर्थ आणि स्वरूपासाठी कीवर्ड संदर्भ पहा.

संपर्क स्वातंत्र्य-अंश विलोपन¶

संपर्क स्वातंत्र्य-अंश विलोपन हे SLAGRANGE संपर्काने जोडलेले संपर्क स्वातंत्र्य अंश रेषीय सॉल्वरकडे पाठवण्यापूर्वी संक्षिप्त करून हाताळते. संपर्क स्वातंत्र्य अंश काढल्यास पुनरावृत्ती पद्धतीने हाताळल्या जाणाऱ्या रेषीय प्रणालीचे गुणधर्म सुधारू शकतात.

पूर्वनिर्धारित स्वयंचलित मोडमध्ये पुनरावृत्ती पद्धतीत संपर्क स्वातंत्र्य-अंश विलोपन केले जाते, तर थेट पद्धतीत केले जात नाही. थेट पद्धतीत संपर्क स्वातंत्र्य अंशांसह विस्तारित प्रणाली तशीच हाताळण्याचा मार्ग उपलब्ध आहे.

CONTACT_ELIM स्पष्टपणे निर्दिष्ट केल्यास थेट पद्धतीतही संपर्क स्वातंत्र्य-अंश विलोपन करता येते. संपर्क प्रकार, संपर्क जोडी आणि संपर्क अल्गोरिदमच्या इनपुट निवडीसाठी संपर्क आणि एम्बेडिंग पृष्ठ पहा.

सहाय्यक कार्ये¶

सॉल्वरचे अभिसरण आणि कार्यक्षमता तपासण्यासाठी कंडीशन संख्या अंदाज, आव्यूह डंप आणि लॉग आउटपुट वापरता येतात. सामान्य विश्लेषणात ही आवश्यक नसतात; डीबगिंग किंवा कार्यक्षमता मूल्यांकनासाठी त्यांना सक्षम करा.

कार्य	उपयोग	टीप
कंडीशन संख्या अंदाज	`CG` आणि `GMRES` मध्ये कंडीशन संख्येचा निर्देशक आउटपुट करतो.	LAPACK सक्षम बिल्डमध्ये उपलब्ध.
आव्यूह डंप	सॉल्वरकडे जाणारा आव्यूह आणि उजवी बाजू फाइलमध्ये साठवतो.	Matrix Market, CSR आणि BSR स्वरूप समर्थित.
`DUMPEXIT`	आव्यूह डंपनंतर विश्लेषण समाप्त करतो.	केवळ आव्यूह बाहेर काढून बाहेरून पडताळायचा असल्यास.
`ITERLOG`	पुनरावृत्ती पद्धतीचा अभिसरण इतिहास आउटपुट करतो.	अवशेषातील बदल तपासण्यासाठी.
`TIMELOG`	सॉल्वर गणना वेळ आउटपुट करतो.	`VERBOSE` मध्ये सविस्तर विभागणी आउटपुट होते.
`STEPLOG`	पायरी माहिती आउटपुट करतो.	विश्लेषण प्रक्रिया तपासण्यासाठी.
`LOGLEVEL`	AMG पूर्वशर्तीकारकाच्या स्तररचनेसारखी निदान माहिती आउटपुट करतो.	तो `ITERLOG` आणि `TIMELOG` यांपासून स्वतंत्रपणे निर्दिष्ट केला जातो. मूल्य वाढवल्यास आउटपुटचे प्रमाण वाढते.

आव्यूह डंप हे विश्लेषणात तयार झालेला गुणांक आव्यूह बाह्य साधनात तपासण्यासाठी आहे. DUMPEXIT सक्षम केल्यास आव्यूह आणि उजवी बाजू साठवल्यानंतर विश्लेषण संपते. कंडीशन संख्या अंदाज हे CG आणि GMRES मध्ये उपलब्ध प्रायोगिक कार्य असून अभिसरण निदानासाठी वापरले जाते.