अरेषीय पुनरावृत्ती आणि काल-समाकलन¶

FrontISTRचे विश्लेषण प्रत्येक स्टेपच्या वाढ-नियंत्रणात अरेषीय पुनरावृत्ती आणि काल समाकलन एकत्र वापरून पुढे जाते. हे पृष्ठ बाहेरील स्टेप नियंत्रण आणि आतील रेषीय सॉल्वर यांच्यामधील पुनरावृत्ती रचना हाताळते: Newton-Raphson पुनरावृत्ती, संपर्क पुनरावृत्ती, गतिशील विश्लेषणाचे काल समाकलन, तसेच क्षणिक उष्णता वहनातील काल प्रगती आणि अरेषीय पुनरावृत्ती.

कार्याचा आढावा¶

स्टेपमध्ये होणारे अरेषीय समाधान आणि काल समाकलन हे बाहेरून आत अनेक अंतर्भूत लूप्समध्ये रचलेले असतात. प्रत्येक स्तराची भूमिका पुढीलप्रमाणे आहे.

स्तर	भूमिका	मुख्य संदर्भ पृष्ठ
स्टेप लूप	संपूर्ण विश्लेषण अनेक स्टेप्समध्ये विभागून सीमा अटी, भार, संपर्क आणि घटक सक्रियता बदलतो.	स्टेप नियंत्रण
सबस्टेप लूप	एक स्टेप कालवाढींमध्ये विभागून निश्चित वाढ किंवा स्वयंचलित वाढ/cutbackद्वारे पुढे जातो.	स्टेप नियंत्रण
काल-समाकलन स्थिती प्रगती	गतिशील विश्लेषण आणि क्षणिक उष्णता वहनात मागील स्थितीपासून पुढील वेळेची स्थिती मिळवतो.	हे पृष्ठ
संपर्क-स्थिती शोध लूप	संपर्क विश्लेषणात संपर्क स्थिती (स्टिक/विभक्ती) बदल शोधून दृढता मॅट्रिक्सची रचना अद्ययावत करतो.	हे पृष्ठ
वर्धित Lagrange बाह्य पुनरावृत्ती	`ALAGRANGE` संपर्कात संपर्क-निर्बंध अचूकता टप्प्याटप्प्याने सुधारतो.	हे पृष्ठ
Newton पुनरावृत्ती	अरेषीय समतोल समीकरण Newton-Raphson पद्धतीने पुनरावृत्तीने सोडवतो.	हे पृष्ठ
रेषीय युगपत-समीकरण समाधान	प्रत्येक Newton पुनरावृत्तीत स्पर्शिका दृढता मॅट्रिक्सवर आधारित रेषीय प्रणाली सोडवतो.	सॉल्वर आणि प्रीकंडिशनर

विश्लेषण प्रकारानुसार या स्तरांपैकी किती वापरले जातील ते बदलते.

विश्लेषण प्रकार	काल समाकलन	संपर्क-स्थिती शोध	बाह्य पुनरावृत्ती	Newton पुनरावृत्ती
रेषीय स्थिर	—	—	—	—
अरेषीय स्थिर (संपर्क नाही)	—	—	—	आहे
अरेषीय स्थिर (`SLAGRANGE` संपर्क)	—	आहे	—	आहे
अरेषीय स्थिर (`ALAGRANGE` संपर्क)	—	आहे	आहे	आहे
गतिशील अव्यक्त	Newmark-β	—	—	आहे (अरेषीय असल्यास)
गतिशील स्पष्ट	केंद्रीय फरक	—	—	—
वारंवारता प्रतिसाद	मोड अध्यारोपण	—	—	—
क्षणिक उष्णता वहन	Crank-Nicolson / Backward Euler	—	—	आहे (पदार्थ तापमान-अवलंबी असल्यास)
स्थिर उष्णता वहन	—	—	—	आहे (पदार्थ तापमान-अवलंबी असल्यास)

संपर्क प्रकार आणि अल्गोरिदम निवडीसाठी संपर्क आणि अंतःस्थापन पहा. या पृष्ठात निवडलेला अल्गोरिदम पुनरावृत्ती लूप म्हणून कसा रचला जातो ते वर्णन केले आहे.

समाधान पद्धत कशी निवडावी¶

पुनरावृत्तीची रचना विश्लेषण प्रकार (विश्लेषण प्रकार), अरेषीयतेचे अस्तित्व (भूमितीय अरेषीयता, पदार्थ अरेषीयता, संपर्क) आणि संपर्क अल्गोरिदम (SLAGRANGE किंवा ALAGRANGE) यांवरून आपोआप ठरते. वापरकर्ता प्रत्यक्ष समायोजित करतो ते पुनरावृत्ती संख्येची कमाल मर्यादा आणि अभिसरण निकष.

समायोजनासाठी मार्गदर्शक तत्त्वे पुढीलप्रमाणे आहेत.

मानक विश्लेषणासाठी पुनरावृत्तीची पूर्वनिर्धारित कमाल संख्या सामान्यतः पुरेशी असते. अभिसरण कठीण असलेल्या समस्येत “कमाल पुनरावृत्ती गाठली, अभिसरण झाले नाही” असा संदेश आल्यास प्रथम cutback (स्टेप नियंत्रण) वापरा; तरीही सुधारणा न झाल्यासच कमाल संख्या वाढवा.
अभिसरण निकष विश्लेषण स्थैर्य आणि गणन काल यांचा समतोल पाहून ठरवा. निकष कठोर केल्यास समतोल अचूकता वाढते पण पुनरावृत्ती अधिक लागतात. संपर्क किंवा Lagrange गुणक असलेल्या विश्लेषणात अवशिष्ट निकषांसोबत विस्थापन-वाढ किंवा Lagrange निकष वापरल्यास स्थैर्य सुधारू शकते.
गतिशील काल-समाकलन प्राचल (Newmark-β गुणांक) मानक मूल्यांपासून सुरू करा; कंपन प्रतिसादाचे संख्यात्मक डॅम्पिंग बदलायचे असल्यास समायोजित करा.
क्षणिक उष्णता वहनात तापमान बदल गुळगुळीत असल्यास Crank-Nicolson, आणि तीव्र बदल किंवा दीर्घकालीन स्थैर्य महत्त्वाची असल्यास Backward Euler निवडा.

स्थिर विश्लेषणातील Newton-Raphson पुनरावृत्ती¶

अरेषीय स्थिर विश्लेषणात भूमितीय किंवा पदार्थ अरेषीयता असलेले समतोल समीकरण Newton-Raphson पद्धतीने पुनरावृत्तीने सोडवले जाते. प्रत्येक पुनरावृत्ती पुढीलप्रमाणे चालते.

सध्याच्या समाधानावर अवशिष्ट सदिश \(\boldsymbol{R}\) मोजा.
स्पर्शिका दृढता मॅट्रिक्स \(\boldsymbol{K}_T\) संयोजित करा.
रेषीय प्रणाली \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) सोडवून विस्थापन दुरुस्ती \(\Delta \boldsymbol{u}\) मिळवा.
समाधान \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) या सूत्राने अद्ययावत करा.
अभिसरण निकषांशी तुलना करा; अभिसरित असल्यास पुनरावृत्ती संपवा, अन्यथा पायरी 1कडे परत जा.

रेषीय प्रणाली समाधान (स्टेप 3) रेषीय सॉल्वर करतो. सॉल्वर/प्रीकंडिशनर निवडीसाठी सॉल्वर आणि प्रीकंडिशनर पहा.

पुनरावृत्तीचे नियंत्रण !STEPमधील स्टेप-नियंत्रण प्राचलांनी केले जाते. मुख्य नियंत्रण मूल्ये पुढीलप्रमाणे आहेत.

भूमिका	प्राचल
पुनरावृत्ती संख्येची कमाल मर्यादा. मर्यादा गाठून अभिसरण न झाल्यास cutback लागू होतो.	`MAXITER`
सापेक्ष अवशिष्ट नॉर्मवर आधारित अभिसरण निकष.	`CONVERG`
विस्थापन-दुरुस्ती नॉर्म गुणोत्तरावर आधारित अभिसरण निकष; अवशिष्ट निकषांसोबत वापरल्यास स्थैर्य सुधारते.	`CONVERG_DDISP`
अवशिष्ट नॉर्मसाठी अपसरण मर्यादा; हे ओलांडल्यावर पुनरावृत्ती थांबवली जाते.	`MAXRES`

स्टेप नियंत्रणमध्ये स्वयंचलित वाढ/cutbackच्या निर्णयासाठी वापरली जाणारी Newton पुनरावृत्ती संख्या म्हणजे येथे वर्णन केलेली Newton पुनरावृत्ती. कमी पुनरावृत्ती लागलेल्या सबस्टेपनंतर स्वयंचलित वाढ कालवाढ वाढवते, तर अधिक पुनरावृत्ती लागल्यास कालवाढ कमी करते.

स्थिर विश्लेषणातील संपर्क पुनरावृत्ती¶

संपर्क विश्लेषणात संपर्क पृष्ठभागाची स्टिक/विभक्ती/स्लिप अवस्था पुनरावृत्तीदरम्यान बदलते; म्हणून Newton पुनरावृत्ती संपर्क-स्थिती अद्ययावत करण्याच्या प्रक्रियेसोबत रचली जाते. रचना संपर्क समाधान अल्गोरिदमनुसार बदलते.

दोन्ही अल्गोरिदममध्ये सर्वात बाहेर संपर्क-स्थिती शोध लूप असतो. प्रत्येक फेरीत आतील Newton पुनरावृत्ती अभिसरित झाल्यावर संपर्क स्थिती (स्टिक/विभक्ती) पुन्हा मोजली जाते; स्थिती बदलल्यास दृढता मॅट्रिक्सची रचना अद्ययावत करून आतील पुनरावृत्ती पुन्हा चालवली जाते. संपर्क स्थिती मागील फेरीसारखीच राहते आणि संपर्क अभिसरण निकष (संपर्क बल/Lagrange गुणक निकष) पूर्ण झाल्यावर लूप संपतो. कमाल फेरी संख्या !STEPमधील MAXCONTITERने दिली जाते.

SLAGRANGE संपर्कात मानक Lagrange गुणक पद्धतीने संपर्क DOF रेषीय प्रणालीत समाविष्ट होतात आणि संपर्क-स्थिती शोध लूपच्या थेट आत Newton पुनरावृत्ती असलेली दोन-स्तरीय रचना होते. वर्धित Lagrange पुनरावृत्ती नसते.

ALAGRANGE संपर्कात संपर्क-स्थिती शोध लूपच्या आत वर्धित Lagrange पुनरावृत्ती आणि तिच्या आत Newton पुनरावृत्ती अशी तीन-स्तरीय रचना असते. प्रत्येक वर्धित Lagrange पुनरावृत्तीत संपर्क निर्बंध दंड पद आणि Lagrange गुणक यांच्या संयोजनाने पुन्हा मोजला जातो, ज्यामुळे निर्बंधाची अचूकता टप्प्याटप्प्याने सुधारते. वर्धित Lagrange पुनरावृत्तीची कमाल संख्या !CONTACT_ALGOमधील AUGITERने दिली जाते.

संपर्क पुनरावृत्ती नियंत्रण मूल्ये पुढीलप्रमाणे आहेत.

भूमिका	निर्देश
संपर्क-स्थिती शोध लूपची कमाल संख्या; `SLAGRANGE` आणि `ALAGRANGE` दोन्हीसाठी.	`!STEP` मधील `MAXCONTITER`
वर्धित Lagrange पुनरावृत्तीची कमाल संख्या; फक्त `ALAGRANGE`साठी.	`!CONTACT_ALGO` मधील `AUGITER`
Lagrange गुणक दुरुस्तीसाठी अभिसरण निकष; संपर्क विश्लेषणात अवशिष्ट निकषांसोबत वापरले जाते.	`!STEP` मधील `CONVERG_LAG`

स्टेप नियंत्रणमधील स्वयंचलित-वाढ निर्णयात पाहिली जाणारी संपर्क पुनरावृत्ती संख्या म्हणजे संपर्क-स्थिती अद्यतने समाविष्ट असलेल्या येथे वर्णन केलेल्या पुनरावृत्ती. स्टिक/विभक्ती वारंवार बदलणाऱ्या विश्लेषणात संपर्क पुनरावृत्ती वाढतात आणि स्वयंचलित वाढ/cutbackवरही परिणाम होतो. संपर्क प्रकार, जोडीची व्याख्या आणि अल्गोरिदम निवडीसाठी संपर्क आणि अंतःस्थापन, तसेच संपर्क DOF असलेली रेषीय प्रणाली सोडवण्यासाठी सॉल्वर आणि प्रीकंडिशनर पहा.

गतिशील विश्लेषणाचे काल समाकलन (अव्यक्त)¶

अव्यक्त गतिशील विश्लेषणात Newmark-β पद्धतीने प्रत्येक काल-स्टेपवर पुढील वेळेचे विस्थापन, वेग आणि त्वरण परस्पर जोडून गती समीकरणासोबत \(t + \Delta t\) स्थिती मिळवली जाते. काल-स्टेप \(\Delta t\)वरील स्थैर्य मर्यादा तुलनेने सैल असल्यामुळे कमी-वारंवारता घटक प्रधान असलेला संरचनात्मक प्रतिसाद कार्यक्षमपणे सोडवता येतो.

काल-समाकलन प्राचल पुढील दोन आहेत.

प्राचल	भूमिका
\(\beta\)	विस्थापन काल-अंतर्वेशनाशी संबंधित गुणांक.
\(\gamma\)	वेग काल-अंतर्वेशनाशी संबंधित गुणांक.

\(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\) हे संयोजन सरासरी-त्वरण पद्धत म्हणून ओळखले जाते; ते बिनशर्त स्थिर आणि संख्यात्मक डॅम्पिंग नसलेली मानक निवड आहे. संख्यात्मक डॅम्पिंग आणायचे असल्यास \(\gamma\) हे \(1/2\)पेक्षा मोठे घ्या. प्राचल संयोजने, स्थैर्य आणि त्रुटी गुणधर्मांच्या गणितीय तपशीलासाठी सिद्धांत मॅन्युअल पहा.

भूमितीय/पदार्थ अरेषीयता किंवा संपर्क असल्यास प्रत्येक काल-स्टेपमध्ये Newton पुनरावृत्ती केली जाते; प्रत्येक पुनरावृत्तीत रेषीय प्रणाली सोडवून स्थिती अद्ययावत केली जाते. अभिसरण निकषांसाठी स्थिर विश्लेषणाप्रमाणे CONVERG इत्यादी वापरले जातात. संपर्क असलेल्या गतिशील विश्लेषणात स्थिर विश्लेषणातील संपर्क पुनरावृत्तीसारखीच पुनरावृत्ती रचना काल-स्टेपमध्ये समाविष्ट होते.

गतिशील विश्लेषणाचा काल-स्टेप !STEPच्या काल-अटीने मूलतः नियंत्रित होतो. निश्चित वाढीत !STEPचे DTIME काल-स्टेप आणि ETIME स्टेप कालावधी म्हणून निर्दिष्ट केले जातात. !DYNAMICमधील n_step आणि t_delta हे !STEP वगळल्यास किंवा पश्च-सुसंगततेसाठी पूर्वनिर्धारित मूल्ये म्हणून वापरले जातात. अरेषीय अव्यक्त पद्धतीत !STEPचे INC_TYPE=AUTO स्वयंचलित वाढ आणि cutback सक्रिय करते आणि Newton/संपर्क पुनरावृत्तीनुसार काल-स्टेप वाढवते किंवा कमी करते. निश्चित असो किंवा स्वयंचलित, काल-स्टेप अभिसरण आणि आवश्यक अचूकता दोन्ही लक्षात घेऊन सेट करा.

गतिशील विश्लेषणाचे काल समाकलन (स्पष्ट)¶

स्पष्ट गतिशील विश्लेषणात केंद्रीय फरक पद्धतीने मागील वेळेच्या विस्थापन, वेग आणि त्वरणावरून पुढील स्थिती थेट मोजली जाते. युगपत समीकरणे सोडवावी लागत नसल्यामुळे प्रति-स्टेप संगणकीय खर्च कमी असतो. अरेषीयता असली तरी प्रत्येक काल-स्टेप हा Newton पुनरावृत्ती नसलेला एक-टप्पा अद्ययावत असतो.

काल-स्टेपवर प्रणालीच्या किमान नैसर्गिक आवर्तकालावर आधारित स्थैर्याची वरची मर्यादा (CFL अट) असते. ही मर्यादा ओलांडल्यास संख्यात्मक समाधान अपसृत होते; म्हणून अव्यक्त पद्धतीप्रमाणे मोठा काल-स्टेप घेता येत नाही. आघात, तरंग प्रसार किंवा उच्च-वेग संपर्कासारख्या, मुळातच लहान काल-स्टेप आवश्यक असलेल्या घटनांमध्ये स्पष्ट पद्धत फायदेशीर ठरते.

संपर्क असल्यास Forward वाढ Lagrange पद्धतीने संपर्क निर्बंध हाताळला जातो. स्पष्ट एक-टप्पा अद्ययावताशी सुसंगत प्रकारे संपर्क बल मोजले जाते.

वारंवारता-प्रतिसाद विश्लेषणाची समाधान पद्धत¶

वारंवारता-प्रतिसाद विश्लेषण मोड अध्यारोपण पद्धतीने आवर्ती स्थिर-स्थिती प्रतिसाद थेट वारंवारता क्षेत्रात शोधते. उत्तेजन वारंवारता बदलत प्रतिसाद मोजला जातो; काल-इतिहास पुनरावृत्तीने अनुसरण करण्याची गरज नसते. अरेषीय पुनरावृत्ती किंवा काल समाकलन केले जात नाही.

हे विश्लेषण चालवण्यासाठी त्याच प्रणालीवर आधी मोडल विश्लेषण करून आवश्यक नैसर्गिक मोड काढलेले असावेत. फक्त रेषीय मॉडेल समर्थित आहे; भूमितीय किंवा पदार्थ अरेषीयता सक्रिय असल्यास हे चालवता येत नाही. विश्लेषण-प्रकार संबंधासाठी विश्लेषण प्रकार पहा.

क्षणिक उष्णता वहनातील काल प्रगती आणि अरेषीय पुनरावृत्ती¶

क्षणिक उष्णता वहनाचा स्वतंत्र काल लूप !HEATमध्ये पूर्ण होतो. संरचनात्मक विश्लेषणातील !STEP आणि !AUTOINC_PARAMपेक्षा वेगळ्या मार्गाने काल-स्टेप नियंत्रित होतो; पदार्थ गुणधर्म तापमान-अवलंबी असल्यास प्रत्येक काल-स्टेपमध्ये अरेषीय पुनरावृत्ती केली जाते.

काल-समाकलन योजना !HEATमधील \(\beta\) प्राचलाने निवडली जाते.

\(\beta\)	योजना	वैशिष्ट्य
0.5	Crank-Nicolson	द्वितीय-क्रम अचूकता; तापमान बदल गुळगुळीत असलेल्या समस्यांसाठी योग्य.
1.0	Backward Euler	प्रथम-क्रम अचूकता; बिनशर्त स्थिर, दीर्घकालीन विश्लेषण किंवा तीव्र तापमान बदलात स्थैर्य राखणे सोपे.

काल-स्टेप प्रारंभिक काल-स्टेप, किमान काल-स्टेप आणि एका स्टेपमधील कमाल तापमान बदल यांच्या संयोजनाने अनुकूलपणे नियंत्रित केला जातो. प्रत्येक काल-स्टेपच्या गणनेनंतर तापमान बदल DELTMXपेक्षा जास्त असल्यास काल-स्टेप कमी करून पुनर्गणना केली जाते. काल-स्टेप किमान DTMINपेक्षा कमी झाल्यास विश्लेषण थांबते.

पदार्थ गुणधर्म तापमान-अवलंबी असल्यास प्रत्येक काल-स्टेपमध्ये अरेषीय पुनरावृत्ती चालतात. त्यांचे नियंत्रण पुढीलप्रमाणे आहे.

भूमिका	प्राचल
अरेषीय पुनरावृत्तीची कमाल संख्या.	`!HEAT` मधील `ITMAX`
अभिसरण निकष.	`!HEAT` मधील `EPS`

स्थिर उष्णता वहनात काल-स्टेप वापरला जात नाही; पदार्थ तापमान-अवलंबी असल्यास फक्त अरेषीय पुनरावृत्ती केली जाते. उष्णता-वहन काल नियंत्रण संरचनात्मक !STEPपासून स्वतंत्र असल्यामुळे काल-स्टेप बदलताना !HEAT निर्देश तपासा.