Skip to content

रेषीय लवचिक स्थिर विश्लेषण (प्रास्ताविक)

येथे लहान विरूपण सिद्धांतावर आधारित लवचिक स्थिर विश्लेषणाची मांडणी दिली आहे. प्रतिबल-विकृती संबंधासाठी रेषीय लवचिकता गृहित धरली आहे. हा अध्याय परिमित घटक पद्धतीने संरचनात्मक विश्लेषणाची संपूर्ण रूपरेषा समजण्यासाठी प्रास्ताविक स्वरूपाचा असून एका अध्यायात स्वतंत्रपणे वाचता येईल अशा प्रकारे मांडलेला आहे.

आभासी कार्य तत्त्वाची सामान्य मांडणी (सद्य विन्यास, प्रारंभिक विन्यास आणि लहान विरूपणाकडे संक्षेप) आभासी कार्याचे तत्त्व येथे, रेषीय लवचिक संघटक नियमाचा तपशील रेषीय लवचिकता येथे, टेन्सर संकेतन व Voigt निरूपणाचे नियम टेन्सर संकेतन आणि गणितीय मूलतत्त्वे येथे, परिमित विरूपणाची सामान्य मांडणी गती, विरूपण आणि विकृती येथे, आणि अरेषीय समस्येची सोडवण पद्धत स्पर्शरेषीय दृढता आव्यूह येथे पहा.

मूलभूत समीकरणे

लहान विरूपण आणि रेषीय लवचिकता गृहित धरल्यास घन यांत्रिकीची सीमामूल्य समस्या समतोल समीकरण, यांत्रिक सीमाशर्त आणि भौमितिक सीमाशर्त (मूलभूत सीमाशर्त) यांनी बनते (आकृती 2.1.1 पहा):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

येथे \(\boldsymbol{\sigma}\) हा Cauchy प्रतिबल, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) हे एकक घनफळावरील वस्तुबल, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) हे पृष्ठबल (निर्धारित मूल्य), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) हे निर्धारित विस्थापन आणि \(S_t, S_u\) अनुक्रमे यांत्रिक व भौमितिक सीमा आहेत.

घन यांत्रिकीतील सीमामूल्य समस्या (लहान विरूपण समस्या)

आकृती 2.1.1 घन यांत्रिकीतील सीमामूल्य समस्या (लहान विरूपण समस्या)

विकृती-विस्थापन संबंध सममित प्रवणता ऑपरेटर वापरून

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

आणि रेषीय लवचिक संघटक समीकरण

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

असे मिळते (\(\boldsymbol{C}\) हा चौथ्या क्रमाचा लवचिकता टेन्सर आहे).

आभासी कार्याचे तत्त्व

आभासी कार्य तत्त्वाचे सामान्य रूप (सद्य विन्यास, प्रारंभिक विन्यास आणि लहान विरूपणाकडे संक्षेप) आभासी कार्याचे तत्त्व येथे एकत्रित केले आहे. लहान विरूपण आणि रेषीय लवचिकता गृहित धरल्यास दुर्बल रूप पुढीलप्रमाणे आहे.

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

संघटक समीकरण \eqref{eq:2.1.5} ठेवून Voigt निरूपण मध्ये \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) असे लिहिल्यास विविक्तीकरणासाठी थेट वापरता येणारे रूप

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

मिळते (\(D\) हा रेषीय लवचिकता मधील लवचिकता आव्यूह आहे). समीकरण \eqref{eq:2.1.10} आणि समीकरण \eqref{eq:2.1.7} हे खाली विविक्त केले जाणारे आभासी कार्य तत्त्व आहे.

विविक्तीकरण आणि संपूर्ण समीकरणाची जुळणी

आभासी कार्य तत्त्वाचे समीकरण \( \eqref{eq:2.1.10} \) प्रत्येक परिमित घटकासाठी विविक्त केल्यास पुढील समीकरण मिळते.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

प्रत्येक घटकात, घटक बनवणाऱ्या नोडचे विस्थापन वापरून विस्थापन क्षेत्र पुढीलप्रमाणे अंतर्वेशन केले जाते.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

या वेळी विकृती समीकरण \(\eqref{eq:2.1.4}\) वापरून पुढीलप्रमाणे मिळते.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.12}\) आणि \(\eqref{eq:2.1.13}\) हे समीकरण \(\eqref{eq:2.1.11}\) मध्ये ठेवल्यास पुढील समीकरण मिळते.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.14}\) पुढीलप्रमाणे संक्षिप्त करता येते.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

येथे समीकरण \(\eqref{eq:2.1.16}\) आणि \(\eqref{eq:2.1.17}\) मध्ये परिभाषित आव्यूह व सदिशांचे घटक प्रत्येक परिमित घटकासाठी स्वतंत्रपणे गणून एकत्रित करता येतात.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.15}\) कोणत्याही आभासी विस्थापन \(\delta \boldsymbol{U}\) साठी सत्य ठरते, म्हणून पुढील समीकरण मिळते.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

दुसरीकडे, विस्थापन सीमाशर्त समीकरण \(\eqref{eq:2.1.3}\) पुढीलप्रमाणे लिहिले जाते.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

निर्बंध समीकरण \(\eqref{eq:2.1.19}\) च्या अधीन समीकरण \(\eqref{eq:2.1.18}\) सोडवल्याने नोडीय विस्थापन \(\boldsymbol{U}\) निश्चित करता येते.

संबंधित विषय