रेषीय लवचिकता¶

या प्रकरणात रेषीय लवचिक पदार्थाचा संघटक नियम (Hooke चा नियम) दिला आहे. वापर आणि इनपुट निर्देशांच्या तपशीलांसाठी कार्य-संदर्भ 03_material पहा.

घटना (रेषीय लवचिक प्रतिसाद)¶

रेषीय लवचिक पदार्थ म्हणजे असा पदार्थ ज्यात भारामुळे निर्माण होणारी विकृती पुरेशी लहान असताना प्रतिबल आणि विकृती यांच्यात रेषीय संबंध असतो आणि भार काढल्यावर सर्व विकृती मूळ अवस्थेत परतते. हा प्रतिसाद प्रत्यावर्ती आणि इतिहास-स्वतंत्र असतो. प्लास्टिसिटी किंवा क्रीपपेक्षा वेगळे, यात अवस्था दर्शविणारी अंतर्गत चले (उदा. प्लास्टिक विकृती किंवा श्यान विकृती) नसतात; प्रतिबल फक्त वर्तमान विकृतीवरून एकमेवार्थी ठरते.

लहान-विकृती क्षेत्रात Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) आणि लहान विकृती \(\boldsymbol{\varepsilon}\) वापरली जातात. मर्यादित-विकृती क्षेत्रात—मोठी घूर्णने असली तरी विकृती स्वतः लहान असलेल्या समस्यांसाठी—द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) आणि Green-Lagrange विकृती \(\boldsymbol{E}\) वापरली जाते (St.Venant-Kirchhoff पदार्थ).

संघटक नियम¶

समदिश रेषीय लवचिक पदार्थ¶

लहान-विकृती क्षेत्रातील समदिश Hooke नियम Lamé स्थिरांक \(\lambda, \mu\) वापरून

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

असा लिहिला जातो. घटक रूपात

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

आणि विकृतीशी दुहेरी संकुचन केल्यावर \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) मिळते. Lamé स्थिरांकांचा Young गुणांक \(E\) आणि Poisson गुणोत्तर \(\nu\) शी पुढील संबंध आहे:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt निरूपणात विकृती सदिश \(\hat{\varepsilon}\) आणि प्रतिबल सदिश \(\hat{\sigma}\) यांचा संबंध \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) असा लिहिला जातो. त्रिमितीय पदार्थ मॅट्रिक्स \(D\) पुढीलप्रमाणे आहे:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

अंमलबजावणीत हेच मॅट्रिक्स रूप वापरले जाते.

लंबदिश-असमदिश रेषीय लवचिक पदार्थ¶

मुख्य अक्षानुसार वेगवेगळे लवचिक स्थिरांक असलेल्या पदार्थांसाठी नऊ स्वतंत्र स्थिरांकांचा लंबदिश-असमदिश नमुना वापरला जातो: मुख्य अक्षीय Young गुणांक \(E_1, E_2, E_3\), मुख्य अक्षांमधील Poisson गुणोत्तरे \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) आणि कर्तन लवचिक गुणांक \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) मॅट्रिक्सचे स्पष्ट रूप सामान्य संदर्भग्रंथांत दिलेले आहे.

मर्यादित-विकृती क्षेत्र: St.Venant-Kirchhoff पदार्थ¶

मोठी घूर्णने असली तरी विकृती स्वतः लहान असलेल्या समस्यांसाठी द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) आणि Green-Lagrange विकृती \(\boldsymbol{E}\) यांतील रेषीय लवचिक नियम म्हणून St.Venant-Kirchhoff पदार्थ वापरला जातो:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé स्थिरांक \(\lambda, \mu\) ची व्याख्या लहान-विकृती प्रकरणासारखीच आहे. मात्र प्रतिबल आणि विकृती यांची जोडी वेगळी असल्याने हा लहान-विकृती Hooke नियमापेक्षा वेगळा संघटक नियम आहे.

हायपोइलॅस्टिक पदार्थ¶

Updated Lagrange पद्धतीत सापेक्ष Kirchhoff प्रतिबल टेन्सरचा Jaumann दर \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) आणि विकृती-दर टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) यांमधील रेषीय लवचिक नियम

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

वापरणारा हायपोइलॅस्टिक पदार्थ वापरला जातो. येथेही \(\boldsymbol{C}\) ची Lamé स्थिरांकांवरील व्याख्या वरीलप्रमाणेच असते; पण प्रतिबल-दर आणि विकृती-दर यांची जोडी वेगळी असल्याने हा स्वतंत्र संघटक नियम आहे. काल-समाकलन प्रक्रियेत अग्रगामी Euler समाकलन आणि केंद्रीय फरक सन्निकटन वापरून \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) अद्यतनित करण्याच्या तपशीलांसाठी tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex पहा.

द्विमितीय विश्लेषण आणि शेल एलिमेंटसाठी संक्षेप¶

समतल प्रतिबल (\(\sigma_{33} = 0\))¶

पातळ प्लेट किंवा शेलमधील भार दर्शविणाऱ्या समतल प्रतिबल अवस्थेत \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) असे गृहित धरून पृष्ठाबाहेरील विकृती घटक \(\varepsilon_{33}\) वगळल्यानंतरचे \(D\) वापरले जाते:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

समतल विकृती (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

जाडीची दिशा बंधित असलेल्या दीर्घ संरचनेचा छेद दर्शविणाऱ्या समतल विकृती अवस्थेत \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) असे गृहित धरले जाते:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

अक्षसममित¶

दंडगोल निर्देशांक \((r, \theta, z)\) मध्ये \(\theta\) दिशेने एकसमान समस्या हाताळणाऱ्या अक्षसममित विश्लेषणात \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) आणि \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) हे चार घटक ठेवले जातात आणि

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

मिळते.

शेल एलिमेंट (समतल प्रतिबल + आडवे कर्तन)¶

शेल एलिमेंटमध्ये पृष्ठातील प्रतिबल समतल प्रतिबल म्हणून हाताळले जाते. यासोबत आडव्या कर्तन-विकृती घटक \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) साठी कर्तन-दुरुस्ती गुणांक \(\kappa\) (सामान्यतः \(\kappa = 5/6\)) लावलेला \(\kappa\, G\) वापरला जातो. प्रत्येक एलिमेंटच्या मांडणीसाठी उच्च-कार्यक्षमता एलिमेंट मांडणी पहा. कार्य-संदर्भ 03_material मधील “शेल एलिमेंट फक्त रेषीय लवचिकतेला समर्थित आहेत” ही मर्यादा पृष्ठातील वर्तन समतल प्रतिबल म्हणून हाताळण्याच्या या सुलभीकरणावर आधारित आहे.

तापमान अवलंबित्व¶

Young गुणांक \(E\), Poisson गुणोत्तर \(\nu\) आणि रेषीय उष्ण प्रसरण गुणांक \(\alpha\) सामान्यतः तापमान \(T\) ची फलने म्हणून निर्दिष्ट करता येतात. FrontISTR मध्ये मर्यादित तापमान-बिंदूंची मालिका \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) आणि त्यांवरील मूल्ये इनपुट केली जातात. गणनेतील तापमान \(T\) साठी शेजारील बिंदूंमध्ये रेषीय अंतःक्षेपण केले जाते. श्रेणीबाहेरील तापमानासाठी (\(T < T_1\) किंवा \(T > T_n\)) जवळच्या टोकावरील \(T_1\) किंवा \(T_n\) चे मूल्य स्थिर बाह्यप्रक्षेपण म्हणून वापरले जाते.

घनता, विशिष्ट उष्मा आणि उष्णता चालकता यांसारख्या उष्णता-वहन गुणधर्मांच्या तापमान अवलंबित्वासाठी उष्ण गुणधर्म पहा. अंतःक्षेपणाचे नियम समान आहेत.