अतिलवचिकता¶

या अध्यायात FrontISTR समर्थित अतिलवचिक संघटक नियमांचा विचार केला आहे. त्यांचा वापर आणि इनपुट निर्दिष्ट करण्याच्या तपशीलासाठी कार्य-संदर्भातील 03_material पहा.

घटना (मोठ्या विरूपणातील प्रत्यावर्ती प्रतिसाद)¶

TBD (पुढील टप्प्यात मजकूर पूर्ण केला जाईल).

संघटक नियमाची चौकट¶

समदिश अतिलवचिक पदार्थातील लवचिक संभाव्य ऊर्जा ही प्रतिबलरहित प्रारंभिक अवस्थेपासूनच्या समदिश प्रतिसादातून मिळते. ती उजव्या Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(C\) चे मुख्य अपरिवर्तक \((I_1, I_2, I_3)\) किंवा घनफळ बदल काढून टाकलेल्या विरूपण टेन्सरचे मुख्य अपरिवर्तक \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) यांचे फलन म्हणून, म्हणजे \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) किंवा \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) असे व्यक्त करता येते.

अतिलवचिक पदार्थाचा संघटक संबंध दुसरा Piola-Kirchhoff प्रतिबल आणि Green-Lagrange विकृती यांच्या संबंधाने परिभाषित केला जातो आणि त्याच्या विरूपण विश्लेषणासाठी Total Lagrange पद्धत वापरली जाते.

लवचिक संभाव्य ऊर्जा \(W\) ज्ञात असल्यास दुसरा Piola-Kirchhoff प्रतिबल आणि प्रतिबल-विकृती संबंध पुढीलप्रमाणे गणता येतात.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

खाली FrontISTR मध्ये वापरल्या जाणाऱ्या अतिलवचिक मॉडेलची लवचिक संभाव्य ऊर्जा \(W\) दिली आहे.

Neo-Hookean अतिलवचिक मॉडेल¶

Neo-Hookean अतिलवचिक मॉडेल हे समदिश रेषीय नियम (Hooke नियम) मोठ्या विरूपण समस्यांसाठी लागू होईल अशा प्रकारे विस्तारित केलेले मॉडेल आहे. त्याची लवचिक संभाव्य ऊर्जा पुढीलप्रमाणे आहे.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

येथे \(C_{10}\) आणि \(D\) हे पदार्थ स्थिरांक आहेत.

Mooney-Rivlin अतिलवचिक मॉडेल¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

येथे \(C_{10}\), \(C_{01}\) आणि \(D\) हे पदार्थ स्थिरांक आहेत.

Mooney-Rivlin विषमदिश अतिलवचिक मॉडेल¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

येथे \(C_{10}\), \(C_{01}\) आणि \(D\) हे समदिश मॉडेलशी समान पदार्थ स्थिरांक आहेत, तर \(C_{42}\) आणि \(C_{43}\) हे केवळ विषमदिशतेसाठीचे पदार्थ स्थिरांक आहेत.

Arruda-Boyce अतिलवचिक मॉडेल¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

येथे \(\mu_0\), \(\lambda_m\) आणि \(D\) हे पदार्थ स्थिरांक आहेत.