लवचिक-प्लास्टिकता¶

या अध्यायात FrontISTR मध्ये वापरल्या जाणाऱ्या इलॅस्टोप्लास्टिक संघटनात्मक नियमांची चौकट वर्णन केली आहे. वापरातील फरक आणि इनपुट निर्दिष्ट करण्याच्या तपशीलांसाठी कार्यविषयक विभागातील 03_material पहा.

घटना (प्लास्टिक विकृती)¶

TBD (पुढील टप्प्यात मजकूर तयार केला जाईल).

संघटनात्मक नियमांची चौकट¶

FrontISTR मध्ये संबंधित प्रवाह नियमावर आधारित इलॅस्टोप्लास्टिक संघटनात्मक समीकरण वापरले जाते. तसेच, हे संघटनात्मक समीकरण Kirchhoff प्रतिबलाच्या Jaumann दर आणि विकृती-दर टेन्सर यांच्यातील संबंध दर्शवते आणि विकृती विश्लेषणासाठी updated Lagrange पद्धत वापरली जाते.

इलॅस्टोप्लास्टिक पदार्थाची यील्ड अट पुढीलप्रमाणे दिली आहे असे गृहीत धरू.

प्रारंभिक यील्ड अट:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

पुढील यील्ड अट:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

येथे,

\(F\): यील्ड फलन
\(\sigma_{y_0}\): प्रारंभिक यील्ड प्रतिबल
\(\sigma_y\): पुढील यील्ड प्रतिबल
\(\sigma\): प्रतिबल टेन्सर
\(e\): लघु विकृती टेन्सर
\(e^p\): प्लास्टिक विकृती टेन्सर
\(\overline{e}^p\): समतुल्य प्लास्टिक विकृती

यील्ड प्रतिबल आणि समतुल्य प्लास्टिक विकृती यांचा संबंध हा एक-अक्षीय स्थितीतील प्रतिबल-प्लास्टिक विकृती संबंधाशी जुळतो असे गृहीत धरले आहे.

एक-अक्षीय स्थितीतील प्रतिबल-प्लास्टिक विकृती संबंध

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

येथे \(H'\) हा विकृती-कठीणीकरण गुणांक आहे.

समतुल्य प्रतिबल-समतुल्य प्लास्टिक विकृती संबंध

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

पुढील यील्ड फलन सामान्यतः तापमान आणि प्लास्टिक विकृती कार्याचे फलन असते; परंतु येथे साधेपणासाठी ते फक्त समतुल्य प्लास्टिक विकृती \(\overline{e}^p\) चे फलन आहे असे गृहीत धरले आहे. प्लास्टिक विकृती सुरू असताना \(F = 0\) सतत पूर्ण होत असल्यामुळे पुढील समीकरण पूर्ण झाले पाहिजे.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

येथे \(\dot{F}\) हे \(F\) चे काल-अवकल दर्शवते. यापुढे कोणत्याही \(A\) राशीचे काल-अवकल \(\dot{A}\) ने दर्शवले आहे.

आता प्लास्टिक विभव \(\Theta\) अस्तित्वात आहे असे गृहीत धरून, प्लास्टिक विकृतीचा दर पुढीलप्रमाणे व्यक्त केला आहे.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

येथे \(\dot{\lambda}\) हा गुणांक आहे.

पुढे प्लास्टिक विभव \(\Theta\) हा यील्ड फलन \(F\) च्या समान आहे असे मानून, पुढील संबंधित प्रवाह नियम गृहीत धरला आहे.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

हे समीकरण सुसंगतता अटीत प्रतिस्थापित केल्यास पुढील समीकरण मिळते.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

येथे \(D\) हा प्रत्यास्थ मॅट्रिक्स आहे आणि,

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

इलॅस्टोप्लास्टिक प्रतिबल-विकृती संबंध पुढीलप्रमाणे लिहिता येतो.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

इलॅस्टोप्लास्टिक पदार्थाचे यील्ड फलन \(F\) ज्ञात असल्यास, या समीकरणातून त्याचे संघटनात्मक समीकरण मिळते.

यील्ड फलने¶

खाली FrontISTR मध्ये वापरली जाणारी इलॅस्टोप्लास्टिक यील्ड फलने दिली आहेत.

Von Mises यील्ड फलन¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

येथे \(J_2\) हा विचलनात्मक प्रतिबल टेन्सरचा दुसरा अपरिवर्तनीय आहे.

Mohr-Coulomb यील्ड फलन¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

येथे \(\sigma_1, \sigma_3\) हे अनुक्रमे कमाल आणि किमान प्रधान प्रतिबल, \(c\) ही आसंजन शक्ती आणि \(\phi\) हा अंतर्गत घर्षण कोन आहे.

Drucker-Prager यील्ड फलन¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

येथे पदार्थ स्थिरांक \(\alpha\) आणि \(\sigma_y\) हे पदार्थाच्या आसंजन शक्ती व घर्षण कोनावरून पुढीलप्रमाणे मोजले जातात.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]