क्रीप¶

या प्रकरणात FrontISTR मध्ये वापरलेले क्रीप संरचना-समीकरण वर्णिले आहे. वापरातील फरक आणि इनपुट निर्देशनाच्या तपशीलांसाठी फंक्शन विभागातील 03_material पहा.

क्रीप घटना आणि विकृतीचे बेरीज-विभाजन¶

स्थिर प्रतिबल असताना कालावधीवर अवलंबून असलेले विस्थापन ही "क्रीप" म्हणून ओळखली जाणारी घटना आहे.

वर वर्णन केलेले श्यान-लवचिक वर्तनही एका प्रकारच्या रेषीय क्रीप घटनेप्रमाणे मानता येते. येथे काही अरेषीय क्रीप प्रकारांचे वर्णन केले आहे. सामान्यतः ही घटना तत्क्षणी निर्माण होणाऱ्या विकृतीत जोडून संरचना-समीकरण तयार केले जाते, आणि एखादा स्थिर भार कायम असताना साठणारी विकृती क्रीप विकृती \(\varepsilon^c\) मानली जाते. क्रीपचा विचार करणाऱ्या संरचना-समीकरणात सामान्यतः प्रतिबल आणि एकूण क्रीप विकृतीचे फलन म्हणून परिभाषित केलेला क्रीप विकृती दर \(\dot{\varepsilon}^c\) वापरला जातो.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

तत्क्षणी निर्माण होणारी विकृती लवचिक विकृती \(\varepsilon^e\) असल्यास, एकूण विकृती क्रीप विकृती जोडून पुढीलप्रमाणे व्यक्त होते.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

येथे,

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

असे आहे (\(c\) हा लवचिकता गुणांक टेन्सर आहे).

Norton नियम¶

क्रीप संरचना-समीकरणाच्या विशिष्ट रूपासाठी FrontISTR पुढील Norton मॉडेल वापरते. या संरचना-समीकरणात समतुल्य क्रीप विकृती दर \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) हा Mises प्रतिबल \(q\) आणि वेळ \(t\) यांचे फलन म्हणून पुढीलप्रमाणे व्यक्त केला जातो.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

येथे \(A\), \(m\), \(n\) हे पदार्थ स्थिरांक आहेत.

काल-समाकलन आणि प्रतिबल अद्ययावत करणे¶

प्लास्टिक पदार्थांप्रमाणेच, क्रीप दर्शवणाऱ्या संरचना-समीकरणासाठी संख्यात्मक विश्लेषणातील काल-समाकलन पद्धत निर्दिष्ट करावी लागते. क्रीपचा विचार केल्यावर संरचना-समीकरण पुढीलप्रमाणे आहे:

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

येथे \(\beta_{n+\theta}\) पुढीलप्रमाणे आहे:

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

तसेच क्रीप विकृती वाढ \(\Delta \varepsilon^c\) पुढील साध्या अरेषीय समीकरणाने दिली जाते:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

असे मानले जाते.

Newton-Raphson पद्धतीतील पुनरावृत्ती गणनेत प्रारंभिक मूल्य \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) आणि परिमित घटक पद्धतीतून मिळालेली विकृती वाढ वापरून, पुनरावृत्ती उत्तर आणि वाढीव उत्तर पुढीलप्रमाणे दिले जातात.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

येथे,

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

असे मानले जाते. अवशेष \(R\) हा \(\mathbf{0}\) होईपर्यंत पुनरावृत्ती उकल करताना प्रतिबल \(\sigma_{n+1}\) आणि स्पर्शरेषीय गुणांक

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

वापरले जातात.

क्रीप¶

क्रीप घटना आणि विकृतीचे बेरीज-विभाजन¶

Norton नियम¶

काल-समाकलन आणि प्रतिबल अद्ययावत करणे¶

संबंधित विषय¶