आकार-फलने आणि परिमित घटक सन्निकटन¶

आभासी कार्याच्या तत्त्वाचे दुर्बल रूप संगणकावर हाताळण्यासाठी वस्तूचे क्षेत्र मर्यादित संख्येच्या एलिमेंटमध्ये विभागले जाते आणि प्रत्येक एलिमेंटमधील पदार्थबिंदूचे निर्देशांक, विस्थापन आणि चाचणी फलन नोड मूल्ये व आकार-फलनांनी अंतर्विष्ट केले जातात. आकार-फलनांचे अवकाशीय अवकल आकार-फलनांचे अवकाशीय अवकल, दुर्बल रूपाचे विविक्तीकरण अंतर्गत बलाच्या आभासी कार्याचे विविक्तीकरण, आणि प्रत्येक एलिमेंट प्रकारासाठी आकार-फलनांची विशिष्ट रूपे एलिमेंट क्रमांक प्रणाली आणि आकार-फलन लायब्ररी व पुढील विभागांमध्ये दिली आहेत.

क्षेत्र विभाजन आणि एलिमेंट-निहाय समाकलनांची बेरीज¶

संदर्भ संरचनेतील क्षेत्र \(\Omega_0\) आणि वर्तमान संरचनेतील क्षेत्र \(\Omega\) यांना अनुक्रमे एलिमेंट \(\Omega^e_0\), \(\Omega^e\) यांच्या संघाने सन्निकट केले जाते:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) हा एलिमेंट क्रमांक आहे आणि एलिमेंट सीमा शेजारील एलिमेंटमध्ये सामायिक असतात). त्यामुळे आभासी कार्याच्या तत्त्वातील घनफळ आणि पृष्ठभाग समाकलने एलिमेंट-निहाय समाकलनांच्या बेरजेत विभागली जातात:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(वर्तमान संरचनेसाठीही \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) असे बदलून हेच लागू होते). यानंतर दुर्बल रूपाचे मूल्यांकन एलिमेंट-निहाय समाकलनांची रचना करण्यावर येते.

नोड मूल्ये आणि आकार-फलनांनी अंतर्वेशन (समप्राचलीय एलिमेंट)¶

प्रत्येक एलिमेंट \(\Omega^e_0\) ला \(n_e\) नोड दिलेले असतात. एलिमेंट नोड \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) चे संदर्भ संरचनेतील निर्देशांक आणि नोडल विस्थापन अनुक्रमे \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) मानू. यांना रचून बनलेले एलिमेंट नोड सदिश \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) हे सर्व नोड सदिश \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) मधून (\(n_g\) ही एकूण नोड संख्या) एलिमेंट \(e\) बनवणाऱ्या नोडांचे घटक निवडून काढलेले असतात.

एलिमेंटमधील स्थानिक निर्देशांक असलेल्या नैसर्गिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) वर अवलंबून आकार-फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) वापरून, एलिमेंटमधील पदार्थ निर्देशांक, विस्थापन आणि चाचणी फलन एकाच आकार-फलनाने अंतर्विष्ट केले जातात (समप्राचलीय एलिमेंट आणि Galerkin पद्धत):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

आकार-फलने पुढील दोन गुणधर्म पूर्ण करतील अशी बांधली जातात आणि नैसर्गिक निर्देशांकातून पदार्थ निर्देशांकाकडे जाणारे मॅपिंग \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) एलिमेंटमध्ये एक-एक असेल असा एलिमेंट आकार निवडला जातो:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) हा नोड \(\alpha\) ला अनुरूप नैसर्गिक निर्देशांकातील बिंदू आहे आणि \(\delta_{\alpha\beta}\) हा Kronecker डेल्टा आहे). पहिले समीकरण दृढ-पिंड स्थानांतरण पुन्हा निर्माण होते याची, तर दुसरे समीकरण नोडवर अंतर्विष्ट मूल्य नोड मूल्याशी जुळते याची खात्री देते. प्रत्येक एलिमेंट प्रकारासाठी \(n_e\), \(N_\alpha^e\) यांची विशिष्ट रूपे एलिमेंट क्रमांक प्रणाली आणि आकार-फलन लायब्ररी व पुढील विभागांमध्ये दिली आहेत. संकेतन गुंतागुंतीचे होऊ नये म्हणून एलिमेंट प्रकारावरील अवलंबित्व प्रत्येक एलिमेंटच्या ऊर्ध्वलेख \(e\) ने दर्शवले आहे.

वरील अंतर्वेशन नियमांमुळे दुर्बल रूपातील समाकल्य फक्त एलिमेंट नोड मूल्ये \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) आणि \(N_\alpha^e\) यांनी व्यक्त करता येतो. दुसरीकडे, विकृती ही अंतर्विष्ट विस्थापन आणि विकृती-विस्थापन संबंध यांपासून, तर प्रतिबल त्या विकृती आणि पदार्थ संरचना-समीकरण यांपासून मिळते; ती नोड मूल्यांपासून थेट अंतर्विष्ट केली जात नाहीत. त्यांचे मूल्यांकन एलिमेंटमधील समाकलन बिंदूंवर केले जाते (संख्यात्मक समाकलन).

संपूर्ण नोड सदिशाचा क्रम¶

नोडांना दिलेली भौतिक परिमाणे संपूर्ण नोड सदिशात नोड क्रमांक → स्वातंत्र्य-अंश या क्रमाने चढत्या क्रमात मांडली जातात. नोड \(\alpha\) वरील स्वातंत्र्य-अंश \(i\) घटक \(u_{i\alpha}\) असेल तर, 3D (\(i=1,2,3\)) आणि 2D (\(i=1,2\)) साठी अनुक्रमे

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

असे होते. निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^n\) आणि चाचणी फलन \(\delta\boldsymbol{u}^n\) यांचाही क्रम तोच आहे. पुढील मॅट्रिक्स आणि सदिश रूपातील रूपांतरे 3D चे प्रतिनिधी उदाहरण वापरून लिहिली आहेत.

आकार-फलने आणि परिमित घटक सन्निकटन¶

क्षेत्र विभाजन आणि एलिमेंट-निहाय समाकलनांची बेरीज¶

नोड मूल्ये आणि आकार-फलनांनी अंतर्वेशन (समप्राचलीय एलिमेंट)¶

संपूर्ण नोड सदिशाचा क्रम¶

संबंधित विषय¶