Skip to content

आकार फलनांचे अवकाशीय अवकल

आकार फलने आणि परिमित घटक सन्निकटन मध्ये मांडलेले आकार फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) हे घटकाच्या स्थानिक निर्देशांक असलेल्या नैसर्गिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) चे फलन म्हणून दिले जाते. दुसरीकडे, दुर्बल रूपातील समाकलनीय फलनात विकृती-विस्थापन संबंधातून भौतिक निर्देशांकांबाबत (संदर्भ विन्यास \(\boldsymbol{X}\) किंवा सद्य विन्यास \(\boldsymbol{x}\)) अंशतः अवकल \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) किंवा \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) येते. या अध्यायात या आकार फलनांच्या अवकाशीय अवकलांची गणना घटक नोड निर्देशांक आणि नैसर्गिक निर्देशांक अवकलांपासून करण्याची प्रक्रिया मांडली आहे.

साखळी नियमानुसार अवकाशीय अवकलाची अभिव्यक्ती

अंतर्वेशन समीकरण \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (मागील अध्याय) यावर साखळी नियम लागू केल्यास, नैसर्गिक निर्देशांकांपासून भौतिक निर्देशांकांकडे होणाऱ्या नकाशनाचा जॅकोबियन आव्यूह \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) वापरून

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

मिळते. येथे \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) आणि \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) हे, ज्यांची पंक्ती \(\alpha\) नोड \(\alpha\) चा अंशतः अवकल सदिश दर्शवते असे \(n_e \times 3\) आव्यूह आहेत.

जॅकोबियन आव्यूहाची रचना

अंतर्वेशन समीकरणाचे \(\boldsymbol{r}\) बाबत अंशतः अवकल घेतल्यास

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

मिळते आणि त्यामुळे घटक नोड निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) व नैसर्गिक निर्देशांक अवकल \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) यांपासून ते थेट तयार करता येते. नैसर्गिक निर्देशांक अवकल आकार फलनाच्या स्वरूपाने ठरते आणि प्रत्येक घटक प्रकारासाठी आधीच अंमलात आणलेले असते.

जॅकोबियन आव्यूहाचा निर्धारक \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) हा संख्यात्मक समाकलन मध्ये घनफळ घटकाच्या रूपांतरणासाठी \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) वापरला जातो. निर्धारक \(0\) झाल्यास घटक अपघटित झाला आहे आणि गणना अपयशी ठरते.

गणना प्रवाह

वरील व्युत्पत्तीवरून अवकाशीय अवकल \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ची गणना पुढील चार टप्प्यांत विभागता येते.

  1. नैसर्गिक निर्देशांक अवकलाची गणना: घटक प्रकार आणि मूल्यमापन बिंदूचे नैसर्गिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) इनपुट म्हणून घेऊन नैसर्गिक निर्देशांक अवकल आव्यूह \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) गणला जातो. प्रत्येक घटक प्रकारासाठी आकार फलनाचे स्वरूप वेगळे असल्यामुळे घटक प्रकारानुसार शाखा निवडली जाते.
  2. जॅकोबियन आव्यूहाची गणना: घटक नोड निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^e\) आणि \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) पासून मागील विभागातील समीकरणानुसार जॅकोबियन आव्यूह \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) तयार केला जातो.
  3. व्यस्त आव्यूह आणि निर्धारकाची गणना: जॅकोबियन आव्यूहाचा व्यस्त \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) आणि निर्धारक गणला जातो. निर्धारक संख्यात्मक समाकलनाच्या वजनासाठी वापरला जातो.
  4. अवकाशीय अवकलाची गणना: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) आणि \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) यांच्या गुणाकारातून अवकाशीय अवकल \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) मिळतो.

हे चार टप्पे घटक प्रकार आणि अवकाशीय परिमाण (द्विमितीय किंवा त्रिमितीय) यांनुसार शाखित होतात, पण संपूर्ण प्रवाह समान राहतो.

संदर्भ विन्यास आणि सद्य विन्यासातील समान प्रक्रिया

वरील प्रक्रिया \(\boldsymbol{X}^e\) ऐवजी सद्य विन्यासातील नोड निर्देशांक \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) वापरून सद्य विन्यासातील अवकाशीय अवकल \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) साठीही लागू करता येते. त्यामुळे Total Lagrange आणि Updated Lagrange पद्धतींमध्ये फक्त इनपुट नोड निर्देशांक बदलून समान प्रक्रिया वापरता येते.

संबंधित विषय