Skip to content

अंतर्गत बलाच्या आभासी कार्याचे विविक्तीकरण

वाढीव विश्लेषणाची चौकट मध्ये दर्शविलेल्या वेळ \(t + \Delta t\) वरील आभासी कार्याच्या समीकरणाचे संदर्भ विन्यासाच्या निवडीनुसार Updated Lagrange आणि Total Lagrange असे दोन प्रकार होतात. या अध्यायात आकार फलने आणि परिमित घटक सन्निकटन आणि आकार फलनांचे अवकाशीय अवकल येथे दिलेले परिमित घटक सन्निकटन वापरून दोन्ही मांडण्यांतील अंतर्गत बलाचे आभासी कार्य अवकाशात विविक्त केले जाते आणि घटक अंतर्गत बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\) (UL पद्धत) व \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL पद्धत) मिळविले जातात.

घटक \(e\) च्या घटक नोड \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) चे विस्थापन \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) आणि घटक नोड-विस्थापन सदिश \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) या क्रमाने मांडले जातात; आभासी विस्थापन \(\delta \boldsymbol{u}^e\) देखील याच क्रमाने परिभाषित केले जाते. घटकातील विस्थापन आकार फलनांनी \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) असे अंतर्वेशित केले जाते.

Updated Lagrange पद्धतीतील अंतर्गत बलाचे आभासी कार्य

Updated Lagrange पद्धतीत वेळ \(t\) वरील सद्य विन्यास \({}^{t}\Omega\) हा संदर्भ विन्यास म्हणून घेतला जातो आणि Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) व Almansi विकृतीचा रेषीय भाग \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) वापरून अंतर्गत बलाचे आभासी कार्य

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

असे लिहिले जाते. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) चा प्रत्येक घटक आकार फलनाचे सद्य-विन्यास निर्देशांक \(\boldsymbol{x}\) च्या संदर्भातील अवकल \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) आणि नोड आभासी विस्थापन \(\delta u^e_{i\alpha}\) यांच्या रेषीय संयोगाने व्यक्त होतो; Voigt निरूपणात

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

असे एकत्र लिहिता येते. नोड ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) हा \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ला Voigt नियमानुसार मांडलेला \(6 \times 3\) आव्यूह आहे आणि \(\boldsymbol{B}_L\) हा UL पद्धतीचा विकृती-विस्थापन संबंध आव्यूह ठरतो. हे अंतर्गत बलाच्या आभासी कार्यात ठेवून \(\delta \boldsymbol{u}^e\) वेगळे केल्यास

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

मिळते. \(\boldsymbol{q}^e\) मधील नोड ब्लॉक \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) हे घटक \(\Omega^e\) च्या घटक नोड \(\alpha\) वर कार्य करणारे अंतर्गत बल आहे.

Total Lagrange पद्धतीतील अंतर्गत बलाचे आभासी कार्य

Total Lagrange पद्धतीत संदर्भ विन्यास \(\Omega_0\) हा आधार म्हणून घेतला जातो आणि द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) व Green-Lagrange विकृती \(\boldsymbol{E}\) वापरून

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

असे लिहिले जाते. \(\delta \boldsymbol{E}\) हा आभासी विस्थापनाच्या दृष्टीने रेषीय पद आणि सद्य विस्थापन प्रवणता \(\partial u_k/\partial X_j\) सोबत गुणाकार असलेले अरेषीय पद यांत विभागला जातो:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

रेषीय पदासाठी UL पद्धतीतीलच मांडणीचा नियम \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ला लागू करून नोड ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ने

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

असे लिहिता येते (संदर्भ विन्यासातील फरकामुळे घटक \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ऐवजी \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) होतात; चिन्ह मात्र UL पद्धतीसह सामायिक आहे). अरेषीय पदासाठी सद्य विस्थापन प्रवणता \(\partial u_k/\partial X_j\) आणि \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) यांच्या गुणाकारांना Voigt नियमानुसार मांडलेल्या नोड ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ने

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

असे लिहिता येते. त्यामुळे \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) आणि \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) हा TL पद्धतीचा विकृती-विस्थापन संबंध आव्यूह मिळतो. हे अंतर्गत बलाच्या आभासी कार्यात ठेवल्यास

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

मिळते. नोड ब्लॉक \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) हे घटक \(\Omega^e_0\) च्या घटक नोड \(\alpha\) वर कार्य करणारे अंतर्गत बल आहे.

UL/TL मधील अनुरूपता आणि गणना प्रवाह

Updated Lagrange आणि Total Lagrange पद्धतींचे घटक अंतर्गत बल सदिश पुढीलप्रमाणे परस्पर अनुरूप आहेत.

बाब Updated Lagrange पद्धत Total Lagrange पद्धत
संदर्भ विन्यास सद्य विन्यास \({}^{t}\Omega^e\) संदर्भ विन्यास \(\Omega^e_0\)
प्रतिबल टेन्सर Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) द्वितीय PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\)
विकृती चलन \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B आव्यूह \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
घटक अंतर्गत बल \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

दोन्ही पद्धतींमध्ये समान प्रक्रिया वापरता येते: “आकार फलनांच्या अवकाशीय अवकलांपासून \(\boldsymbol{B}_L\) तयार करणे”, “TL पद्धतीत सद्य विस्थापन प्रवणतेपासून \(\boldsymbol{B}_{NL}\) तयार करून जोडणे”, “घटक-संबंधानुसार प्रतिबल (\(\boldsymbol{\sigma}\) किंवा \(\boldsymbol{S}\)) अद्ययावत करणे”, आणि “समाकलन बिंदूंवर \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) किंवा \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) चे घटक प्रदेशावर संख्यात्मक समाकलन करणे (संख्यात्मक समाकलन)”. संदर्भ विन्यास बदलणे (नोड निर्देशांक आणि \(\boldsymbol{B}\) आव्यूहाची रचना) व प्रतिबल टेन्सर बदलणे यांखेरीज प्रक्रिया समान असल्याने FrontISTR मध्ये दोन्ही पद्धतींची अंतर्गत बल गणना सामायिक उपक्रमांमध्ये कार्यान्वित केली आहे. घटक अंतर्गत बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) पासून संपूर्ण अंतर्गत बल सदिशाचे असेंब्ली बाह्य बलाचे आभासी कार्य आणि संपूर्ण समीकरणाची असेंब्ली मध्ये दिले आहे.

संबंधित विषय