Skip to content

बाह्य बलाचे आभासी कार्य आणि जागतिक समीकरणाची असेंब्ली

अंतर्गत बलाच्या आभासी कार्याचे विविक्तीकरण मध्ये दुर्बल रूपाची डावी बाजू एलिमेंट अंतर्गत-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\) (UL पद्धत) किंवा \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL पद्धत) मध्ये संकलित केली. येथे बाह्य बलाच्या आभासी कार्यातून एलिमेंट-नोड बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}^e\) सादर केला जातो आणि एलिमेंट-नोड राशी जागतिक नोड क्रमांकानुसार जमा करणाऱ्या असेंब्ली क्रियेतून FrontISTR च्या अरेषीय संरचनात्मक विश्लेषणाने सोडवायची नोड-विस्थापनावरील अरेषीय समीकरण प्रणाली मिळविली जाते.

बाह्य बलाच्या आभासी कार्याचे एलिमेंट-विभाजन

आभासी कार्याचे तत्त्व याची उजवी बाजू आयतन बल (वस्तुबल) आणि यांत्रिक सीमावरील निर्धारित पृष्ठबल यांच्या बाह्य-बल आभासी कार्यात प्रत्येक एलिमेंटनुसार विभागता येते. आकार फलने आणि परिमित घटक सन्निकटन मधील विस्थापन अंतःक्षेपण मॅट्रिक्स रूपात लिहिण्यासाठी नोड \(\alpha\) चे आकार फलन \(N_\alpha^e\) विकर्णावर असलेला \(d \times d\) ब्लॉक \(\boldsymbol{N}_\alpha\) आणि हे ब्लॉक आडवे मांडलेला \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) वापरून \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) घेतो. हे संदर्भ संरूपणातील बाह्य-बल आभासी कार्यात बसवल्यास

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

मिळते. येथे एलिमेंट-नोड बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) असा मांडला आहे. त्यामुळे बाह्य-बल आभासी कार्य अंतर्गत-बल बाजूप्रमाणेच “एलिमेंट-नोड सदिश × चाचणी फलन” या रूपात येते (वर्तमान संरूपणात लिहिल्यास \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) या बदलांनी तेच रूप मिळते).

एलिमेंट-नोड भौतिक राशींची असेंब्ली

प्रत्येक एलिमेंटसाठी मिळालेल्या नोड राशी \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) जागतिक नोड क्रमांकानुसार मांडलेल्या जागतिक सदिशात जमा केल्या जातात. एलिमेंट \(\Omega^e\) मधील स्थानिक नोड क्रमांक \(\alpha\) शी संबंधित जागतिक नोड क्रमांक

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

असा दर्शविल्यास एलिमेंट-नोड राशी संबंधित जागतिक नोड राशीच्या घटकाशी जुळते (उदा. \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). सामान्यतः नोड \(i_g\) अनेक एलिमेंटमध्ये सामायिक असतो, म्हणून जागतिक नोड क्रमांक \(i_g\) असलेल्या \((e, \alpha)\) जोड्यांचा संच

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

वापरून \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) अशी बेरीज पुन्हा लिहिल्यास सर्व \(n_g\) नोडवरील नोड अंतर्गत बल आणि जागतिक अंतर्गत-बल सदिश

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

मिळतात. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) हे नोड \(i_g\) वर कार्य करणाऱ्या एलिमेंट-नोड अंतर्गत बलांची परिणामी रक्कम आहे; बाह्य बल नसताना संतुलनात ती \(\boldsymbol{0}\) असते. UL पद्धतीतही याच प्रक्रियेतून \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) मिळतात आणि मूल्यतः \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) असल्याने, भेद आवश्यक नसलेल्या ठिकाणी पुढे \(\boldsymbol{Q}\) हेच संकेतन वापरले जाते. जागतिक बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}\) हाच संकलन नियम वापरून मिळतो.

अंमलबजावणीत संच \(\mathcal{E}(i_g)\) प्रत्यक्ष तयार केला जात नाही; एलिमेंट लूपमध्ये संबंधित घटकात थेट बेरीज केली जाते.

जागतिक अंतर्गत-बल सदिश Q ला 0 ने प्रारंभ करा: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (एलिमेंट संख्या)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

जागतिक बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}\) ह्याच प्रक्रियेतून तयार होतो. जागतिक नोड क्रमांकांनी निर्देशित सदिश किंवा मॅट्रिक्समध्ये एलिमेंट-नोड राशी बेरीज करून साठविण्याच्या या क्रियेला असेंब्ली म्हणतात. दोन नोड क्रमांकांवरील द्वितीय-क्रम राशींसाठी (उदा. कडकपणा मॅट्रिक्स) संच \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) वापरून याच प्रकारची असेंब्ली मिळते (तपशीलासाठी स्पर्शरेषीय कडकपणा मॅट्रिक्स पहा).

सोडवायची अरेषीय समीकरणे

अंतर्गत व बाह्य बलांच्या असेंब्लीचे परिणाम आभासी कार्याचे तत्त्व मध्ये बसवून आणि ते भूमितीय सीमा अटी पूर्ण करणाऱ्या कोणत्याही चाचणी फलन \(\delta\boldsymbol{u}^n\) साठी खरे असणे आवश्यक असल्याने

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

मिळते. वाढीव विश्लेषणाच्या (वाढीव विश्लेषणाची चौकट) संदर्भात काल निर्देशांक \(_{n+1}\) पुन्हा दाखवून आणि जागतिक नोड सदिश दर्शविणारा वरचा निर्देशांक \(^n\) वगळल्यास सोडवायचे समीकरण

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

असे होते. वेळ \(t_{n+1}\) वरील नोड विस्थापन \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) शोधण्याची विविक्त सीमा-मूल्य समस्या या विस्थापनावरील अरेषीय समीकरण भूमितीय सीमा अटींसह सोडविण्यात रूपांतरित होते. समीकरणाचे रेषिकीकरण आणि स्पर्शरेषीय कडकपणा मॅट्रिक्सची रचना स्पर्शरेषीय कडकपणा मॅट्रिक्स मध्ये, तर पुनरावृत्ती पद्धत Newton-Raphson पद्धत मध्ये दिली आहे.

संबंधित विषय