संख्यात्मक समाकलन¶

अंतर्गत बलाच्या आभासी कार्याचे विविक्तीकरण आणि बाह्य बलाचे आभासी कार्य व जागतिक समीकरणाचे संयोजन येथे मिळणारे घटक-अंतर्गत बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) आणि घटक दृढता मॅट्रिक्स \(\boldsymbol{K}^e\) हे घटक क्षेत्र \(\Omega^e\) किंवा \(\Omega^e_0\) वरील समाकलनाच्या स्वरूपात असतात. FrontISTR मध्ये त्यांचे संख्यात्मक मूल्यमापन Gauss समाकलन सूत्राने केले जाते.

Gauss समाकलन सूत्र आणि चल-रूपांतरण¶

Gauss समाकलन सूत्र मानक क्षेत्र \(\Xi\) वरील समाकलनाचे सन्निकटन समाकलन बिंदू \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) येथील समाकलनीय फलनाच्या मूल्यांचे आणि वजन \(w_i\) यांचे रेषीय बेरीज म्हणून करते. घटक क्षेत्र \(\Omega^e\) वर लागू करताना \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) या नकाशामुळे चल-रूपांतरण होते आणि ते पुढीलप्रमाणे लिहिता येते.

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

येथे \(n_q\) ही समाकलन बिंदूंची संख्या आणि \(J_{\xi_i}\) हा रूपांतरण जॅकोबियनचा निर्धारक आहे. मानक क्षेत्र \(\Xi\) हे घटकाच्या प्रकारानुसार निश्चित केले जाते (षट्फलकासाठी \([-1,1]^3\), तर त्रिकोण, चतुष्फलक आणि वेजसाठी त्यांचे मानक आकार), आणि समाकलन बिंदू \(\boldsymbol{\xi}_i\) व वजन \(w_i\) संख्यात्मक सारणीने दिले जातात. क्षेत्रफळ समाकलनातही घटक-पृष्ठाचे द्विमितीय मानक क्षेत्रातून नकाशन करून त्याच स्वरूपात गणना केली जाते.

FrontISTR मध्ये वापरल्या जाणाऱ्या प्रतिनिधिक समाकलन बिंदूंच्या संख्या खाली दिल्या आहेत (घटक प्रकाराशी संबंधासाठी घटक क्रमांकन पद्धती आणि आकार-फलन ग्रंथालय पहा).

घटक प्रकार	समाकलन सूत्र	समाकलन बिंदूंची संख्या
4-नोड चतुष्फलक (`tet4n`)	1-बिंदू सूत्र	1
10-नोड चतुष्फलक (`tet10n`)	4-बिंदू सूत्र	4
6-नोड त्रिकोणी प्रिझम (`prism6n`)	2-बिंदू सूत्र	2
15-नोड त्रिकोणी प्रिझम (`prism15n`)	9-बिंदू सूत्र	9
8-नोड षट्फलक (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-नोड षट्फलक (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-नोड चतुर्भुजी (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-नोड चतुर्भुजी (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-नोड त्रिकोण (`tri3n`)	1-बिंदू सूत्र	1
6-नोड त्रिकोण (`tri6n`)	3-बिंदू सूत्र	3

षट्फलक, चतुर्भुजी आणि रेषाखंड घटकांमध्ये प्रत्येक अक्षाच्या दिशेतील Gauss-Legendre सूत्रांचा टेन्सर गुणाकार घेतला जातो. त्रिकोण, चतुष्फलक आणि त्रिकोणी प्रिझम साठी सिंप्लेक्स आकारांना अनुरूप अशी विशेष सूत्रे वापरली जातात, ज्यात त्या आकारावर बहुपदांचे अचूक समाकलन करणारी बिंदू मांडणी असते.

घटक समाकलनात उपयोग¶

घटक समाकलनात नैसर्गिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) हे मानक क्षेत्राचे निर्देशांक म्हणून वापरले जातात (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), आणि भौतिक निर्देशांकांकडे नकाशन आकार-फलनाने नोडल निर्देशांकांचे अंतर्वेशन करून दिले जाते. संदर्भ संरचनेच्या निवडीनुसार (वृद्धी विश्लेषणाची चौकट) पुढील दोन प्रकार वापरले जातात.

Total Lagrange पद्धत (संदर्भ संरचना \(\Omega^e_0\) वर समाकलन): नकाशन आणि जॅकोबियन पुढीलप्रमाणे,

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

आणि घटक-अंतर्गत बल व दृढता मॅट्रिक्सचे सन्निकटन पुढीलप्रमाणे केले जाते.

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) या सर्व राशींचे मूल्यमापन समाकलन बिंदू \(\boldsymbol{r}_i\) येथे केले जाते.

Updated Lagrange पद्धत (वर्तमान संरचना \(\Omega^e\) वर समाकलन): नकाशन आणि जॅकोबियन पुढीलप्रमाणे,

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

आणि,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

असे सन्निकटन केले जाते.

दोन्ही सूत्रीकरणांतील फरक फक्त नकाशनासाठी वापरले जाणारे नोडल निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) आहेत की \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) एवढाच आहे; समाकलन बिंदू, वजन आणि समाकलन-बिंदू लूपची रचना समान आहे.

पूर्ण समाकलन आणि कमी-क्रम समाकलन¶

समाकलनीय फलनाच्या बहुपदीय क्रमाचे अचूक समाकलन करता येईल इतक्या समाकलन बिंदूंचा वापर करणाऱ्या समाकलनाला पूर्ण समाकलन, आणि त्यापेक्षा एका पातळीने कमी समाकलन बिंदू वापरणाऱ्या समाकलनाला कमी-क्रम समाकलन म्हणतात. कमी-क्रम समाकलन कातरण आणि आयतन लॉकिंग कमी करण्यासाठी वापरले जाते, पण अवरग्लास मोडसारख्या कृत्रिम विकृती मोडवर उपाय करावा लागतो. प्रत्येक घटक प्रकारातील समाकलन बिंदूंची संख्या आणि पूर्ण/कमी-क्रम समाकलनाची निवड घटक क्रमांकन पद्धती आणि आकार-फलन ग्रंथालय पासून पुढे आणि उच्च-कार्यक्षमता घटक सूत्रीकरण येथे वर्णन केली आहे.

संख्यात्मक समाकलन¶

Gauss समाकलन सूत्र आणि चल-रूपांतरण¶

घटक समाकलनात उपयोग¶

पूर्ण समाकलन आणि कमी-क्रम समाकलन¶

संबंधित विषय¶