Skip to content

3-आयामी सॉलिड एलिमेंटची आकार फलने

आकार फलने आणि परिमित घटक सन्निकटन मध्ये सादर केलेल्या \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) आकार फलनांसाठी FrontISTR च्या सातत्यक विश्लेषणात वापरल्या जाणाऱ्या 3-आयामी सॉलिड एलिमेंटची नैसर्गिक निर्देशांक प्रणाली आणि स्पष्ट रूपे येथे दिली आहेत. यात प्रथम/द्वितीय क्रम चतुष्फलक (341/342), प्रथम/द्वितीय क्रम त्रिकोणी प्रिझम (351/352) आणि प्रथम/द्वितीय क्रम षट्फलक (361/362) हे सहा प्रकार समाविष्ट आहेत. HEC-MW जाळी स्वरूपातील नोड क्रम आणि पृष्ठ क्रमांकांसाठी कार्य-संदर्भातील एलिमेंट लायब्ररी पहा.

या आकार फलनांपासून आणि Jacobian निर्धारकापासून एलिमेंट समाकलन तयार करण्याची प्रक्रिया संख्यात्मक समाकलन मध्ये दिली आहे. 361 च्या B-bar, F-bar आणि असुसंगत मांडणी तसेच बीम व शेल एलिमेंटची आकार फलने उच्च-कार्यक्षमता एलिमेंट मांडणी मध्ये हाताळली आहेत.

नैसर्गिक निर्देशांक प्रणाली आणि अंतर्गत नोड क्रम

आकार फलने प्रत्येक एलिमेंटच्या नैसर्गिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) वर परिभाषित केली जातात. 3-आयामी सॉलिड एलिमेंटमध्ये एलिमेंटच्या आकारानुसार पुढील तीन नैसर्गिक निर्देशांक प्रणाली वापरल्या जातात.

  • षट्फलक (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • चतुष्फलक (341/342): आयतन निर्देशांक \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). स्वतंत्र चले म्हणून \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) घेऊन \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) ने ठरविले जाते.
  • त्रिकोणी प्रिझम (351/352): तळाच्या त्रिकोणाचे आयतन निर्देशांक \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) आणि अक्षीय निर्देशांक \(\zeta \in [-1, 1]\) यांची सांगड घालून \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) घेतले जाते. सहाय्यक रक्कम \(a = 1 - \xi - \eta\) ही तळाच्या तिसऱ्या आयतन निर्देशांकासाठी वापरली जाते.

प्रथम क्रम एलिमेंटमध्ये HEC-MW इनपुट आणि अंतर्गत स्वरूपातील नोड क्रम समान असतो. द्वितीय क्रम एलिमेंटमध्ये कडांवरील मधल्या नोडच्या क्रमाची पद्धत दोन्ही स्वरूपांत वेगळी आहे. FrontISTR इनपुटसाठी HEC-MW स्वरूप स्वीकारते—कोपऱ्यांतील नोड क्रमाने दिल्यानंतर कडा 1-2, 2-3, … अशा क्रमाने मधले नोड दिले जातात—परंतु एलिमेंट लायब्ररीतील आकार फलनांची अंमलबजावणी वेगळ्या अंतर्गत नोड क्रमावर आधारित आहे.

ही विसंगती जाळी वाचल्यानंतर लगेच बोलावल्या जाणाऱ्या hecmw2fstr_mesh_conv द्वारे प्रत्येक एलिमेंटचा क्रम बदलून सोडविली जाते. 3-आयामी सॉलिड एलिमेंटमध्ये रूपांतरण आवश्यक असलेले दोन प्रकार पुढीलप्रमाणे आहेत.

एलिमेंट प्रकार रूपांतरण सारणी तपशील
342 (द्वितीय क्रम चतुष्फलक) Table342 10 नोड \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) या क्रमात मांडले जातात
352 (द्वितीय क्रम त्रिकोणी प्रिझम) Table352 15 नोड \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) या क्रमात मांडले जातात

क्रमबदल एलिमेंट जोडणी माहितीच्या साठवण अॅरेवर थेट केला जातो. त्यामुळे त्यानंतरच्या सर्व एलिमेंट-लायब्ररी कॉलमध्ये FrontISTR चा अंतर्गत नोड क्रम वापरला जातो. द्वितीय क्रम षट्फलक एलिमेंट 362 साठी HEC-MW इनपुट स्वरूप आणि FrontISTR अंतर्गत स्वरूपातील मधल्या नोडचा क्रम समान असल्याने रूपांतरण सारणी नाही. परिणाम लिहिताना उलटे रूपांतरण fstr2hecmw_mesh_conv बोलावून नोड क्रम पुन्हा HEC-MW स्वरूपात आणला जातो; त्यामुळे इनपुट आणि आउटपुट दोन्हींसाठी वापरकर्त्याला फक्त HEC-MW स्वरूप लक्षात ठेवावे लागते. खालील आकार फलनांतील नोड क्रमांक रूपांतरणानंतरच्या FrontISTR अंतर्गत स्वरूपानुसार आहेत.

प्रथम क्रम एलिमेंटची आकार फलने

प्रथम क्रम चतुष्फलक एलिमेंट (341) ची आकार फलने म्हणजे आयतन निर्देशांकच आहेत:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

प्रथम क्रम त्रिकोणी प्रिझम एलिमेंट (351) ची आकार फलने तळाच्या त्रिकोणाची रेषीय आकार फलने (\(a, \xi, \eta\)) आणि अक्षीय रेषीय आकार फलने (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) यांच्या गुणाकारातून मिळतात:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

प्रथम क्रम षट्फलक एलिमेंट (361) ची आकार फलने तीन अक्षीय दिशांतील रेषीय आकार फलनांचा टेन्सर गुणाकार आहेत:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

येथे \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) हे नोड \(\alpha\) चे नैसर्गिक निर्देशांक मूल्य दर्शवतात; प्रत्येक घटक \(\pm 1\) असतो.

द्वितीय क्रम एलिमेंटची आकार फलने

द्वितीय क्रम चतुष्फलक एलिमेंट (342) ची आकार फलने चार कोपरा-नोड आणि सहा कडा-मध्य नोडमध्ये विभागली जातात:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

मधले नोड 5–10 अनुक्रमे कडा 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 आणि 3-4 यांच्या मध्यबिंदूंशी संबंधित आहेत.

द्वितीय क्रम त्रिकोणी प्रिझम एलिमेंट (352) मध्ये सहा कोपरा-नोड, त्रिकोणी पृष्ठांवरील सहा कडा-मध्य नोड आणि अक्षीय कडांवरील तीन मध्य नोड असतात:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

मधले नोड 7–9 तळाच्या त्रिकोणावरील (\(\zeta = -1\)) प्रत्येक कडेच्या मध्यबिंदूशी, 10–12 वरच्या त्रिकोणावरील (\(\zeta = +1\)) प्रत्येक कडेच्या मध्यबिंदूशी आणि 13–15 अक्षीय कडांच्या मध्यबिंदूंशी संबंधित आहेत.

द्वितीय क्रम षट्फलक एलिमेंट (362) हा Serendipity कुलातील 20-नोड एलिमेंट आहे. नोड \(\alpha\) चे नैसर्गिक निर्देशांक मूल्य \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) असे धरू. कोपरा-नोडसाठी (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), प्रत्येक घटक \(\pm 1\)):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

कडा-मध्य नोडसाठी (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), तीन नैसर्गिक निर्देशांकांपैकी एक \(0\) आणि उरलेले दोन \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\) असलेल्या नोडसाठी (कडेची दिशा \(\xi\) अक्ष) पुढील फलन आहे:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

\(\eta\) अक्ष आणि \(\zeta\) अक्ष यांच्या दिशेतील कडा-मध्य नोडसाठीही याचप्रमाणे संबंधित नैसर्गिक निर्देशांकाचा वर्ग असलेले पद वापरले जाते.

संबंधित विषय