उच्च-कार्यक्षमता घटक मांडणी¶

त्रिमितीय घन घटकाची मांडणी येथे दिलेली विस्थापन-आधारित प्रमाणित मांडणी जवळजवळ असंपीड्य पदार्थ किंवा वाकणे-प्रधान पातळ संरचनांना लागू केल्यास लॉकिंग (घनफळ लॉकिंग व कातरण लॉकिंग) म्हणून ओळखली जाणारी अनावश्यक अतिदृढता दर्शविते. हे टाळण्यासाठी FrontISTR मध्ये B आव्यूह किंवा विरूपण प्रवणतेचा फक्त आयतनी भाग बदलणाऱ्या B-bar व F-bar पद्धती, अंतर्गत स्वातंत्र्य-अंश असलेले असुसंगत घटक, दाब स्वतंत्र अज्ञात क्षेत्र म्हणून घेणारे u-p मिश्र घटक, तसेच पटल व बीम संरचनांसाठी MITC शेल घटक आणि बीम घटक उपलब्ध आहेत.

या अध्यायात या उच्च-कार्यक्षमता आणि संरचनात्मक घटकांच्या मांडण्या घटकनिहाय संक्षेपाने दिल्या आहेत.

B-bar पद्धत¶

8-नोड रेषीय षट्फलकीय घटक जवळजवळ असंपीड्य पदार्थासाठी वापरल्यास एका घटकातील विकृती स्थिर आयतनाच्या बंधनाशी विसंगत ठरते आणि घनफळ लॉकिंग नावाची अतिदृढता निर्माण होते. B-bar पद्धत B आव्यूहातील आयतन प्रसरणास योगदान देणारे घटक, घटक-केंद्रावर मूल्यमापन केलेल्या मूल्यांनी बदलते आणि अतिबंधन कमी करते [Hughes1980].

घटक-केंद्र \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) येथे आकार फलनांच्या अवकाशीय अवकलांपासून गणना केलेला B आव्यूह \(\bar{\boldsymbol{B}}\) आणि समाकलन बिंदू \(\boldsymbol{r}\) वरील सामान्य B आव्यूह \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) असे धरा. नोड \(\alpha\) च्या स्वातंत्र्य-अंश \(i\) साठीच्या विस्थापन-विकृती संबंधात आयतनी विकृती घटक \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) यांना

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

जोडले जाते आणि कातरण घटक \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) साठी सामान्य \(\boldsymbol{B}\) वापरला जातो. अशा प्रकारे मिळालेल्या B-bar आव्यूहाने घटक दृढता आणि अंतर्गत बल सदिश तयार केले जातात.

FrontISTR मध्ये ही मांडणी फक्त 8-नोड रेषीय षट्फलकीय घटकासाठी (घटक ID 361, घटक क्रमांक प्रणाली) दिली आहे आणि ती सूक्ष्म विरूपण, Total Lagrange तसेच Updated Lagrange या सर्वांस लागू करता येते.

F-bar पद्धत¶

परिमित विरूपणात आयतन बदलाचा परिणाम विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) द्वारे अरेषीयपणे येतो; म्हणून B-bar पद्धतीसमान घनफळ लॉकिंग प्रतिबंध विरूपण प्रवणतेच्या पातळीवर करणारी पद्धत म्हणजे F-bar पद्धत [deSouzaNeto1996].

घटक-केंद्र \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) येथे मूल्यमापन केलेल्या विरूपण प्रवणतेचे आयतन गुणोत्तर \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) आणि समाकलन बिंदूवरील गुणोत्तर \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) असे धरून, समाकलन बिंदूवरील विरूपण प्रवणता

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

अशी बदलली जाते. त्यामुळे \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) होते आणि संपूर्ण घटकात आयतन गुणोत्तर घटक-केंद्रातील मूल्यास समान केले जाते. प्रतिबल मूल्यमापन आणि विकृती-विस्थापन आव्यूहाची रचना यासाठी बदललेली \(\bar{\boldsymbol{F}}\) वापरली जाते; घटक दृढतेत या बदलामुळे येणारी अतिरिक्त पदे समाविष्ट करून स्पर्शिका आव्यूह तयार केला जातो.

FrontISTR मध्ये F-bar पद्धत फक्त 8-नोड रेषीय षट्फलकीय घटकासाठी कार्यान्वित आहे आणि सूक्ष्म विरूपण तसेच Total Lagrange / Updated Lagrange या दोन्ही अरेषीय भूमितीय मांडण्यांना लागू करता येते.

असुसंगत घटक¶

8-नोड रेषीय षट्फलकीय घटकाकडे वाकण मोडसाठी आवश्यक विकृती स्वातंत्र्य-अंश नसल्याने वाकणे-प्रधान समस्यांत वाकण लॉकिंग दिसते. असुसंगत घटक [Taylor1976] ही कमतरता भरून काढण्यासाठी घटकाच्या आत अतिरिक्त विस्थापन मोड जोडतो.

घटक नोड-विस्थापन \(\boldsymbol{u}^e\) व्यतिरिक्त फक्त घटकाच्या अंतर्गत अस्तित्वात असलेले असुसंगत मोड स्वातंत्र्य-अंश \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), प्रति घटक 3 दिशा × 3 मोड, जोडून विस्थापन क्षेत्र

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

असे सन्निकट केले जाते. असुसंगत आकार फलने नैसर्गिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) साठी \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) अशी घेतली जातात. ही घटक सीमांवर सातत्याची हमी देत नाहीत; मात्र वाकण मोडची विकृती पुनरुत्पादित करणारे अवकाश घटकाच्या आत वाढवितात.

घटक दृढता बाह्य आणि अंतर्गत स्वातंत्र्य-अंशांच्या ब्लॉक विभागणीने

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

या रूपात तयार केल्यानंतर, अंतर्गत स्वातंत्र्य-अंश \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) ने वगळण्यासाठी स्थिर संक्षेपण केले जाते आणि फक्त बाह्य स्वातंत्र्य-अंशांची घटक दृढता

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

संपूर्ण असेंब्लीला दिली जाते.

FrontISTR मध्ये असुसंगत घटक फक्त 8-नोड रेषीय षट्फलकीय घटकासाठी (C3D8IC) कार्यान्वित आहे आणि सूक्ष्म विरूपण, Total Lagrange व Updated Lagrange या सर्वांना लागू करता येतो.

U-P मिश्र घटक¶

B-bar आणि F-bar पद्धती विस्थापन-आधारित चौकटीत आयतनी घटक दुरुस्त करतात; त्याउलट u-p मिश्र (U-P) घटक दाब \(\lambda\) हा विस्थापनापासून स्वतंत्र अज्ञात क्षेत्र म्हणून मांडणारी मिश्र पद्धत [Bathe1996] आहे. जवळजवळ असंपीड्य पदार्थांमध्ये (Poisson गुणोत्तर 0.5 च्या अतिशय जवळ असलेले रबरसदृश पदार्थ किंवा प्लास्टिक विरूपणानंतरचे धातू) फक्त विस्थापन क्षेत्राने स्थिर-आयतन बंधन पूर्ण करण्याचा प्रयत्न केल्यास घनफळ लॉकिंग होते; दाब स्वतंत्र चल केल्याने हे बंधन शिथिल होते.

प्रतिबलाचे विचलनात्मक घटक आणि दाब यात विभाजन करून

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

असे लिहिले जाते. येथे \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) हा लवचिकता आव्यूहातून घनफळ गुणांक \(K\) शी प्रमाणबद्ध आयतनी भाग काढल्यानंतरचा विचलनात्मक लवचिकता आव्यूह आहे. दाब \(\lambda\) आणि आयतनी विकृती \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) हे संपीड्यता \(\alpha^{-1} = 1/K\) द्वारे पुढील बंधनाने जोडलेले आहेत:

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

विस्थापन \(\boldsymbol{u}\) आणि दाब \(\lambda\) अज्ञात मानून केलेल्या विविक्तीकरणातून घटकाची संयुक्त समीकरण प्रणाली

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

मिळते. येथे \(\mathbf{K}_{uu}\) मध्ये विचलनात्मक लवचिक घटक आणि (परिमित विरूपणात) भूमितीय दृढता, \(\mathbf{K}_{up}\) हा आयतनी विकृती व दाब यांना जोडणारा आव्यूह, आणि \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) हे दाबाचे स्थिरीकरण पद आहे (\(\boldsymbol{N}_p\) हे दाबाचे आकार फलन आहे). दाबाचे स्वातंत्र्य-अंश घटकाच्या अंतर्गत मर्यादित असल्याने,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

या रूपात स्थिर संक्षेपण करून फक्त बाह्य (विस्थापन) स्वातंत्र्य-अंशांची प्रभावी दृढता संपूर्ण असेंब्लीला दिली जाते.

FrontISTR मध्ये U-P घटक फक्त 8-नोड रेषीय षट्फलकीय घटकासाठी कार्यान्वित आहे; प्रति घटक दाबाचा 1 स्वातंत्र्य-अंश (घटकात स्थिर) वापरला जातो. तो सूक्ष्म विरूपण, Total Lagrange आणि Updated Lagrange या सर्वांना लागू होतो. Updated Lagrange मध्ये विचलनात्मक प्रतिबल वस्तुनिष्ठ प्रतिबल दराने (Jaumann/Hughes-Winget प्रकार) अद्ययावत केल्यानंतर, दाब \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) स्थिर संक्षेपणातून मिळालेल्या मूल्याने लागू केला जातो.

शेल घटक¶

पातळ पटल-कवच संरचनांसाठी Reissner-Mindlin पटल-कवच सिद्धांतावर आधारित शेल घटक वापरला जातो. कमी-क्रमाच्या विस्थापन-आधारित पटल-कवच घटकात जाडी कमी होत गेल्यावर अनुप्रस्थ कातरण विकृती घनफळ लॉकिंगसारख्या यंत्रणेमुळे (कातरण लॉकिंग) जास्त मूल्यमापन केली जाते आणि वाकण मोडची दृढता अपसारीरीत्या वाढते. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) पद्धत [Dvorkin1984] [Bathe1986] फक्त कातरण विकृती घटकांना घटकातील पूर्वनिश्चित टायिंग बिंदूंवर पुनर्नमुना घेऊन आणि नमुना मूल्ये पुन्हा घटकाच्या आत अंतर्वेशित करून ही समस्या टाळते.

MITC शेल घटकाचे नोड वक्र पृष्ठभागावरील मध्य-पृष्ठ नोड असतात. प्रत्येक नोडला 3 स्थानांतरण घटक आणि मध्य-पृष्ठ अभिलंबाभोवती 3 परिभ्रमण घटक, असे एकूण 6 स्वातंत्र्य-अंश असतात. घटक दृढता मध्य-पृष्ठाच्या नैसर्गिक निर्देशांक आणि जाडी दिशेसह त्रिमितीय Gauss समाकलनाने मूल्यमापन केली जाते; पटल जाडी \(h\) ही घटक-संबंधाच्या गणनेत घटक गुणधर्म म्हणून दिली जाते.

FrontISTR मध्ये मध्य-पृष्ठाच्या एका स्तरात हाताळले जाणारे MITC3 (घटक ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), तसेच जाडीच्या दिशेने नोडचे दोन स्तर असलेले स्तरित शेल घटक MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 नोड, प्रति नोड 3 स्वातंत्र्य-अंश) आणि MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 नोड, प्रति नोड 3 स्वातंत्र्य-अंश) उपलब्ध आहेत. स्तरित शेल घटकात नोड स्वातंत्र्य-अंश फक्त 3 स्थानांतरण घटक असतात आणि परिभ्रमण स्वातंत्र्य-अंशाशी समतुल्य वाकण मोड दोन-स्तरीय रचनेने दर्शविला जातो.

बीम घटक¶

गर्डर आणि सांगाडा संरचनांसारख्या रेषीय संरचना बीम घटकांनी विविक्त केल्या जातात. FrontISTR कातरण विरूपणाचा विचार करणारी Timoshenko बीम मांडणी वापरते आणि वाकणे व कातरण हे दोन्ही विस्थापन व परिभ्रमण स्वातंत्र्य-अंशांची फलने म्हणून मांडते.

बीम घटकाच्या प्रत्येक नोडला 3 स्थानांतरण घटक आणि अक्षाभोवती व अनुप्रस्थ अक्षांभोवती 3 परिभ्रमण घटक, असे एकूण 6 स्वातंत्र्य-अंश असतात. घटक दृढतेचे मूल्यमापन बीमच्या अक्षीय दिशेने एकमितीय संख्यात्मक समाकलनाने केले जाते. छेदफळ \(A\) आणि वाकण व मुरड दिशांतील क्षेत्राचे द्वितीय आघूर्ण \(I\) हे छेद स्थिरांक म्हणून घटक गुणधर्मात दिले जातात आणि पदार्थाचा Young गुणांक \(E\) व कातरण गुणांक \(G\) सोबत लांबीवाढ, वाकणे, मुरड आणि कातरण यांचे दृढता गुणांक तयार करतात.

FrontISTR मध्ये 2-नोड सरळ बीम घटक (घटक ID 611) आणि 3 नोडांनी दर्शविला जाणारा 4-नोड चतुष्फलकीय घन-बीम संकरित घटक (641, मिश्र स्वातंत्र्य-अंशांसाठी) उपलब्ध आहेत.