गती, विरूपण आणि विकृती¶

संदर्भ विन्यास आणि सद्य विन्यास¶

विन्यासांची व्याख्या¶

भौतिक राशी कोणत्या अवस्थेतील आकाराच्या संदर्भात वर्णायच्या हे वेगळे करण्यासाठी या मार्गदर्शिकेत दोन प्रकारचे विन्यास वापरले आहेत.

संदर्भ विन्यास (reference configuration): विश्लेषण सुरू होताना (वेळ \(0\)) असलेला, विरूपणापूर्वीचा आकार (प्रारंभिक विन्यास असेही म्हणतात). संदर्भ विन्यासातील बिंदू भौतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{X}\) ने दर्शविला जातो; आयतन \(V\) आणि पृष्ठभाग \(S\) असे दर्शविले जातात.
सद्य विन्यास (current configuration): वेळ \(t\) वरील विरूपणानंतरचा आकार. सद्य विन्यासातील बिंदू अवकाशीय निर्देशांक \(\boldsymbol{x}\) ने दर्शविला जातो; आयतन \(v\) आणि पृष्ठभाग \(s\) असे दर्शविले जातात.

गती ही या दोन विन्यासांमधील \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) ही प्रतिचित्रण म्हणून दर्शविली जाते आणि विस्थापन \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) असे परिभाषित केले जाते.

विन्यासावर अवलंबून असलेली चिन्ह-संकेत पद्धत (मोठी/लहान अक्षरे)¶

भौतिक राशी कोणत्या विन्यासाशी संबंधित आहे हे अक्षराच्या मोठ्या किंवा लहान रूपाने वेगळे केले जाते.

संदर्भ विन्यासाशी संबंधित राशी मोठ्या अक्षरांनी दर्शविल्या जातात (उदा. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
सद्य विन्यासाशी संबंधित राशी लहान अक्षरांनी दर्शविल्या जातात (उदा. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
प्रथम Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) सारख्या दोन्ही विन्यासांशी संबंधित राशींसाठी प्रचलित चिन्ह वापरले जाते आणि मजकुरात आवश्यकतेनुसार त्याचा उल्लेख केला जातो.
सूक्ष्म विरूपण सिद्धांतात दोन्ही विन्यासांतील भेद नाहीसा होतो, म्हणून फक्त लहान अक्षरे (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) वापरली जातात.

संदर्भ-विन्यास प्रवणता आणि सद्य-विन्यास प्रवणता¶

अवकाशीय अवकलन कोणत्या विन्यासाच्या संदर्भात घेतले जाते त्यानुसार चिन्ह आणि अर्थ बदलतात.

संदर्भ-विन्यास प्रवणता \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): भौतिक निर्देशांकांच्या संदर्भातील प्रवणता. उदा. \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
सद्य-विन्यास प्रवणता \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): अवकाशीय निर्देशांकांच्या संदर्भातील प्रवणता. उदा. \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

दोन्हींचा संबंध \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) असा आहे. काल-अवकलनाची पद्धत (भौतिक काल-अवकलन \(\dot{(\cdot)}\)) यासाठी टेन्सर संकेतन आणि गणितीय मूलतत्त्वे पहा.

गतीचे वर्णन¶

गती प्रतिचित्रण आणि भौतिक/अवकाशीय वर्णन¶

सातत्यकाला वेळ \(0\) वरील स्थान \(\boldsymbol{X}\) हे लेबल असलेल्या भौतिक बिंदूंचा संच मानल्यास, गती ही भौतिक बिंदू \(\boldsymbol{X}\) ला वेळ \(t\) वरील स्थान \(\boldsymbol{x}\) शी जोडणाऱ्या \(\phi\) प्रतिचित्रणाने

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

अशी दर्शविली जाते. संदर्भ विन्यास प्रारंभिक विन्यास म्हणून घेतल्यास \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) असते.

स्वतंत्र चलाच्या निवडीनुसार दोन प्रकारची वर्णने वेगळी केली जातात.

भौतिक वर्णन (Lagrange वर्णन): भौतिक राशी \((\boldsymbol{X}, t)\) चे फलन म्हणून दर्शविते. घन यांत्रिकीमध्ये संदर्भ विन्यास स्थिर आकार म्हणून दिलेला असल्याने ही नैसर्गिक निवड आहे.
अवकाशीय वर्णन (Euler वर्णन): भौतिक राशी \((\boldsymbol{x}, t)\) चे फलन म्हणून दर्शविते. द्रव यांत्रिकीमध्ये हे प्रमाणितपणे वापरले जाते.

FrontISTR चे संरचनात्मक विश्लेषण मूलतः भौतिक वर्णनावर आधारित आहे; परंतु Updated Lagrange पद्धतीत सद्य विन्यास नवीन संदर्भ विन्यास म्हणून वापरला जात असल्याने अवकाशीय वर्णनातील राशीही वापरल्या जातात.

विस्थापन, वेग आणि त्वरण¶

मागील विभागाप्रमाणे विस्थापन \(\boldsymbol{u}\) हे \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) असे परिभाषित केले जाते. त्याच्या परिमाणावर कोणतेही गृहीतक न ठेवता परिमित विरूपणापर्यंत विचार केला जातो. वेग सदिश आणि त्वरण सदिश हे भौतिक बिंदू स्थिर धरून \(\boldsymbol{u}\) चे भौतिक काल-अवकलन म्हणून

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

असे परिभाषित केले जातात.

विरूपण प्रवणता आणि विरूपण टेन्सर¶

विरूपण प्रवणता टेन्सर¶

परिमित विरूपणाच्या सातत्यक यांत्रिकीतील मूलभूत राशी म्हणजे विरूपण प्रवणता टेन्सर \(\boldsymbol{F}\). हे संदर्भ विन्यासातील सूक्ष्म रेषाखंड \(d\boldsymbol{X}\) ला सद्य विन्यासातील सूक्ष्म रेषाखंड \(d\boldsymbol{x}\) मध्ये नेणारे रेषीय प्रतिचित्रण असून, गती प्रतिचित्रणाची भौतिक निर्देशांकांच्या संदर्भातील प्रवणता म्हणून

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

असे परिभाषित केले जाते (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). अविरूपित अवस्थेत \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) असते. विकृती व प्रतिबलांची व्याख्या तसेच विन्यासांमधील भौतिक राशींचे रूपांतरण यासाठी \(\boldsymbol{F}\) मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.

आयतन बदल गुणोत्तर¶

संदर्भ विन्यासातील सूक्ष्म आयतन \(dV\) आणि सद्य विन्यासातील सूक्ष्म आयतन \(dv\) यांचे गुणोत्तर आयतन बदल गुणोत्तर \(J\) म्हणून

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

दिले जाते. सातत्यकाची प्रत्यावर्तनीयता गृहीत धरून \(J > 0\) मानले जाते. वस्तुमान संरक्षण नियम \(\rho_0 = J\rho\) असा व्यक्त होतो.

उजवा आणि डावा Cauchy-Green विरूपण टेन्सर¶

विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) मध्ये दृढ-पिंड परिभ्रमण समाविष्ट असल्याने, विरूपणाचे मापन करण्यासाठी दृढ-पिंड परिभ्रमण काढून टाकलेली राशी वापरली जाते. उजवा Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(\boldsymbol{C}\) (संदर्भ विन्यास) आणि डावा Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(\boldsymbol{b}\) (सद्य विन्यास) यांची व्याख्या

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

अशी केली जाते. दोन्ही सममित टेन्सर असून त्यांचे स्वमूल्य समान असतात (मुख्य ताण गुणोत्तरांचे वर्ग). अतिलवचिक विकृती-ऊर्जा फलनाचे मुख्य अपरिवर्तक यांच्याद्वारे व्यक्त केले जातात.

विकृती टेन्सर¶

Green-Lagrange विकृती टेन्सर¶

संदर्भ विन्यासावर आधारित विकृती-मापन म्हणून Green-Lagrange विकृती टेन्सर \(\boldsymbol{E}\) ची व्याख्या

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

अशी केली जाते. हा संदर्भ विन्यासातील सूक्ष्म सदिशांच्या अंतर्गत गुणाकारातील बदल दर्शविणारा सममित टेन्सर आहे; तो दृढ-पिंड परिभ्रमणासाठी अपरिवर्तित राहतो आणि अविरूपित अवस्थेत \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) असतो. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) वापरल्यास

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

असे विस्थापन प्रवणतेच्या प्रथम आणि द्वितीय क्रमाच्या पदांच्या बेरीजेत लिहिता येते; द्वितीय क्रमाचे पद भूमितीय अरेषीयता दर्शविते. Total Lagrange पद्धतीत ते प्रतिबल-संयुग्मी जोडी \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) म्हणून वापरले जाते.

Almansi विकृती टेन्सर¶

सद्य विन्यासावर आधारित विकृती-मापन म्हणून Almansi विकृती टेन्सर \(\boldsymbol{e}\) ची व्याख्या

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

अशी केली जाते. Green-Lagrange विकृतीशी त्याचा संबंध \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (पुलबॅक) असा आहे.

सूक्ष्म विकृती टेन्सर¶

विस्थापन प्रवणता लहान असल्यास (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange विकृतीतील द्वितीय क्रमाचे पद दुर्लक्षित करता येते. शिवाय दोन्ही विन्यासांतील भेद नाहीसा होत असल्याने, अवकाशीय निर्देशांकांतील प्रवणतेने व्यक्त केलेल्या सूक्ष्म विकृती टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon}\) मध्ये ते रूपांतरित होते:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR च्या रेषीय स्थिर विश्लेषण, मोडल विश्लेषण, वारंवारता प्रतिसाद विश्लेषण आणि रेषीय गतिशील विश्लेषणात हे विकृती-मापन वापरले जाते. परिमित विरूपण विश्लेषणात Total Lagrange पद्धतीत \(\boldsymbol{E}\), तर Updated Lagrange पद्धतीत सद्य विन्यासावर आधारित विरूपण-वेग टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) वापरला जातो.