Skip to content

प्रतिबल आणि संरक्षण नियम

या अध्यायात प्रतिबल टेन्सरांच्या व्याख्या व परस्परसंबंध तसेच वस्तुमान, संवेग आणि कोनीय संवेग यांच्या संरक्षण नियमांपासून मिळणारी समतोल समीकरणे आणि प्रतिबल सममिती संक्षेपाने मांडली आहेत. तीन प्रतिबल टेन्सर—Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\), प्रथम Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) आणि द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\)—हे संदर्भ पृष्ठभाग आणि बल सदिशासाठी कोणता विन्यास वापरला आहे यातील फरकावरून मांडले जातात. विन्यास, गती आणि विरूपण प्रवणतेच्या व्याख्यांसाठी गती, विरूपण आणि विकृती, तर चिन्हांच्या सूचीकरिता भौतिक राशींच्या चिन्हांची सूची पहा.

Cauchy प्रतिबल टेन्सर

सद्य विन्यासातील बिंदू \(\boldsymbol{x}\) येथील सूक्ष्म पृष्ठभागावर (क्षेत्रफळ \(d\Gamma\), बाह्य एकक अभिलंब \(\boldsymbol{n}\)) कार्य करणारे बल \(d\boldsymbol{f}\) मानून, प्रतिबल सदिश \(\boldsymbol{t}\) ची व्याख्या एकक क्षेत्रफळावरील बल \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) अशी केली जाते. \(\boldsymbol{t}\) हे स्थान \(\boldsymbol{x}\) आणि अभिलंब \(\boldsymbol{n}\) या दोन्हींवर अवलंबून असते. सूक्ष्म चतुष्फलकाला संवेग संरक्षण नियम लागू केल्यावर \(\boldsymbol{t}\) हे \(\boldsymbol{n}\) च्या दृष्टीने रेषीय असल्याचे मिळते आणि द्वितीय-क्रम टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) अस्तित्वात असून

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

हे कोणत्याही \(\boldsymbol{n}\) साठी सत्य ठरते (Cauchy प्रतिबल प्रमेय). या \(\boldsymbol{\sigma}\) टेन्सरला Cauchy प्रतिबल टेन्सर म्हणतात; सद्य विन्यासातील भूमितीच्या संदर्भात एकक क्षेत्रफळावरील बल असा त्याचा अर्थ असल्याने त्याला खरे प्रतिबल असेही म्हणतात. घटक \(\sigma_{ij}\) हा सद्य विन्यासात \(x_j\) निर्देशांक अक्षाला लंब असलेल्या सूक्ष्म पृष्ठभागाच्या एकक क्षेत्रफळावर कार्य करणाऱ्या बलाचा \(x_i\) घटक दर्शवितो.

खाली दिलेल्या कोनीय संवेग संरक्षण नियमामुळे Cauchy प्रतिबल हा सममित टेन्सर

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

आहे आणि त्रिमितीत त्याचे 6 स्वतंत्र घटक (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) असतात. Voigt निरूपणाने प्रतिबलाचे सदिशीकरण या सममितीवर आधारित आहे (टेन्सर संकेतन आणि गणितीय मूलतत्त्वे पहा). FrontISTR च्या Updated Lagrange पद्धतीतील भूमितीय अरेषीय विश्लेषण आणि सूक्ष्म विरूपण विश्लेषणातील प्रतिबल आउटपुटसाठी Cauchy प्रतिबल वापरले जाते.

प्रथम आणि द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल

परिमित विरूपणात संदर्भ विन्यासाचा उपयोग संदर्भ पृष्ठभाग व संदर्भ सदिश म्हणून करून प्रतिबल व्यक्त करणे अनेकदा सोयीचे असते; म्हणून दोन प्रकारचे Piola-Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर मांडले जातात. संदर्भ विन्यासातील सूक्ष्म पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ \(d\Gamma_0\) आणि बाह्य एकक अभिलंब \(\boldsymbol{N}\) असे धरा.

प्रथम Piola-Kirchhoff प्रतिबल (प्रथम PK प्रतिबल, नाममात्र प्रतिबल) \(\boldsymbol{P}\) हे सद्य विन्यासातील बल \(d\boldsymbol{f}\) संदर्भ विन्यासातील सूक्ष्म पृष्ठभागावर कार्य करते तेव्हाचा प्रतिबल टेन्सर म्हणून

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

असे परिभाषित केले जाते. Nanson सूत्र \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) आणि Cauchy प्रतिबल प्रमेयावरून Cauchy प्रतिबलाशी संबंध

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

मिळतो. प्रथम PK प्रतिबल सामान्यतः असममित टेन्सर असतो.

द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल (द्वितीय PK प्रतिबल) \(\boldsymbol{S}\) हे सद्य विन्यासातील बल \(d\boldsymbol{f}\) ला \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ने संदर्भ विन्यासात पुलबॅक करून संदर्भ विन्यासातील सूक्ष्म पृष्ठभागावर कार्य करणारा प्रतिबल टेन्सर म्हणून

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

असे परिभाषित केले जाते. बल सदिश आणि कार्यरत पृष्ठभाग दोन्ही संदर्भ विन्यासातील राशींनी व्यक्त केले जातात; हा दृढ-पिंड परिभ्रमणासाठी अपरिवर्तित आणि सममित टेन्सर आहे. प्रथम PK प्रतिबलाशी संबंध आणि Cauchy प्रतिबलाशी रूपांतरण सूत्रे

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

अशी आहेत. द्वितीय PK प्रतिबल अतिलवचिक विकृती-ऊर्जा फलन \(W(\boldsymbol{C})\) पासून \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) असे मिळते आणि Total Lagrange पद्धतीत Green-Lagrange विकृती \(\boldsymbol{E}\) सोबत प्रतिबल-संयुग्मी जोडी \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) म्हणून वापरले जाते.

संदर्भ विन्यास आणि सममिती पुढील तक्त्यात दिले आहेत. सूक्ष्म विरूपण मर्यादेत (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) तिन्ही प्रतिबल समान होतात.

प्रतिबल टेन्सर संदर्भ पृष्ठभाग बल सदिश सममिती उपयोग
Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) सद्य विन्यास \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) सद्य विन्यास \(d\boldsymbol{f}\) सममित Updated Lagrange पद्धत, सूक्ष्म विरूपण विश्लेषण
प्रथम PK प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) संदर्भ विन्यास \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) सद्य विन्यास \(d\boldsymbol{f}\) सामान्यतः असममित संदर्भ विन्यासातील समतोल समीकरण
द्वितीय PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) संदर्भ विन्यास \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) संदर्भ विन्यास \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) सममित Total Lagrange पद्धत, अतिलवचिकता

वस्तुमान व संवेग संरक्षण नियम आणि समतोल समीकरण

सद्य विन्यासातील वस्तुमान घनता \(\rho\) आणि संदर्भ विन्यासातील वस्तुमान घनता \(\rho_0\) असे धरल्यास, वस्तुमान संरक्षण नियम \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) हा आयतन घटकाच्या \(dv = J\, dV\) या रूपांतरणामुळे स्थानिक रूपात

\[ \rho_0 = J \rho \]

असा होतो.

एकक वस्तुमानामागील पिंडबल \(\boldsymbol{g}\) आणि त्वरण \(\boldsymbol{a}\) धरून, संवेग संरक्षण नियमाला (Euler चा पहिला गतीनियम) Cauchy प्रतिबल प्रमेय आणि Gauss अपसरण प्रमेय लागू केल्यास सद्य विन्यासातील स्थानिक समतोल समीकरण (गती समीकरण)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

मिळते. Nanson सूत्र आणि \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) वापरून संदर्भ विन्यासातील समाकलात रूपांतर केल्यास संदर्भ विन्यासातील स्थानिक रूप

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

मिळते. प्रतिबल रूपांतरण नियम आणि \(\rho_0 = J\rho\) मुळे दोन्ही रूपे समतुल्य आहेत. जडत्व पद दुर्लक्षित केल्यास

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

हे स्थिर समतोल समीकरण आहे आणि FrontISTR च्या स्थिर विश्लेषणाचा (रेषीय व अरेषीय) प्रारंभिक समीकरण म्हणून वापरले जाते.

कोनीय संवेग संरक्षण नियम आणि प्रतिबल सममिती

कोनीय संवेग संरक्षण नियम (Euler चा दुसरा गतीनियम) आणि संवेग संरक्षण नियमातून मिळालेल्या समतोल समीकरणाचे संयोजन केल्यास Cauchy प्रतिबल टेन्सरची सममिती

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

मिळते आणि त्रिमितीत त्याचे 6 स्वतंत्र घटक असतात. रूपांतरण सूत्र \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) च्या दोन्ही बाजूंचे ट्रान्सपोज आणि \(\boldsymbol{F}\) ची अव्युत्क्रम्यता वापरल्यास द्वितीय PK प्रतिबलही सममित

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

असतो आणि त्याचे 6 स्वतंत्र घटक असतात. दुसरीकडे, प्रथम PK प्रतिबल \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) सामान्यतः सममित नसतो; फक्त \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (म्हणजे \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) सममित आहे) हा संबंध लागू होतो आणि स्वतंत्र घटकांची संख्या 9 आहे.

या सममिती Voigt निरूपणाने प्रतिबलाचे 6-घटक सदिशीकरण करण्याचा आधार आहेत. Voigt निरूपणाची पद्धत आणि पदार्थ आव्यूहाची रचना यासाठी टेन्सर संकेतन आणि गणितीय मूलतत्त्वे आणि रेषीय लवचिकता पहा.

संबंधित विषय