आभासी कार्याचे तत्त्व¶

प्रतिबल आणि संरक्षण नियम मधून मिळालेल्या संतुलन समीकरण आणि सीमा अटींपासून सातत्यक यांत्रिकीच्या सीमा-मूल्य समस्येचे दुर्बल रूप, म्हणजे आभासी कार्याचे तत्त्व, व्युत्पन्न केले जाते. परिमित घटक पद्धतीतील विविक्तीकरण याच दुर्बल रूपापासून सुरू होते. येथे वर्तमान संरूपणातील रूप (Cauchy प्रतिबल आणि Almansi विकृतीच्या रेषीय भागासह) आणि संदर्भ संरूपणातील रूप (द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल आणि Green-Lagrange विकृतीसह) दोन्ही दिली आहेत; त्यांची समतुल्यता दाखवून शेवटी लहान-विकृती रूप मिळविले आहे.

संतुलन समीकरण आणि सीमा अटी¶

सातत्यकावर कार्य करणारे वस्तुबल (एकक वस्तुमानामागे) \(\boldsymbol{g}\) आणि वर्तमान संरूपणात प्रदेश \(\Omega\) व्यापणारे पिंड विचारात घ्या. सीमा \(\Gamma\) ही विस्थापन \(\bar{\boldsymbol{u}}\) ने निर्धारित केलेली भूमितीय सीमा \(\Gamma_B\) आणि पृष्ठबल \(\bar{\boldsymbol{t}}\) ने निर्धारित केलेली यांत्रिक सीमा \(\Gamma_t\) यांमध्ये विभागली जाते; \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). स्थिर समस्येत प्रतिबल आणि संरक्षण नियम मधील संवेग-संरक्षण समीकरणातील जडत्व पद वगळून

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

हे संतुलन समीकरण मिळते. सीमा अटी

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]

\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

अशा आहेत. पुढे आभासी कार्याचे तत्त्व हे संतुलन समीकरण आणि यांत्रिक सीमा अट \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) यांचे दुर्बल रूप म्हणून व्युत्पन्न केले आहे. भूमितीय सीमा अट \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ही चाचणी फलनाच्या निवडीद्वारे समाविष्ट होते.

वर्तमान संरूपणातील दुर्बल रूप¶

दुर्बल रूपात अज्ञात विस्थापनासाठी स्वीकार्य अवकाश आणि चाचणी-फलन अवकाश अनुक्रमे

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

असे घेतले जातात. येथे \(d\) हे अवकाशाचे परिमाण, \(H^1(\Omega)\) हा प्रथम दुर्बल अवकलापर्यंत वर्ग-समाकलनीय Sobolev अवकाश आणि \(\delta\) हे चलन चिन्ह आहे. वर्तमान संरूपणातील \(\Omega\) हे विकृत संरूपण आहे; प्रत्यक्ष संख्यात्मक पद्धतीत ते संदर्भ संरूपण किंवा ज्ञात मध्यवर्ती संरूपणावर परत नकाशित केले जाते.

संतुलन समीकरणाला वजन \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) लावून Gauss अपसरण प्रमेय आणि यांत्रिक सीमा अट वापरल्यास वर्तमान संरूपणातील आभासी कार्याचे तत्त्व

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

असे मिळते. येथे \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) हा Almansi विकृती टेन्सरचा रेषीय भाग आहे आणि

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

अशी त्याची व्याख्या आहे. त्याचे चलन \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) आहे. म्हणजे \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) शोधून प्रत्येक \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) साठी आभासी-कार्य समीकरण पूर्ण होणे आवश्यक आहे. डावी बाजू अंतर्गत बलाचे आभासी कार्य आणि उजवी बाजू निर्धारित पृष्ठबल व वस्तुबलांचे बाह्य आभासी कार्य आहे.

हे समीकरण विकृत, म्हणजे वर्तमान संरूपणातील प्रदेशावर लिहिलेले असल्याने प्रत्यक्ष सोडवणुकीत प्रारंभिक संरूपण \(\Omega_0\) (संदर्भ संरूपण) किंवा ज्ञात मध्यवर्ती संरूपण पुन्हा संदर्भ म्हणून निवडून समीकरण वाढीव रूपात लिहिले जाते. संदर्भ संरूपणाची ठोस निवड (Total Lagrange / Updated Lagrange) आणि वाढीव विभाजनासाठी वाढीव विश्लेषणाची चौकट पहा.

प्रारंभिक संरूपणातील दुर्बल रूप¶

संदर्भ संरूपणात प्रदेश \(\Omega_0\) व्यापणारे पिंड घेऊन त्याची सीमा \(\Gamma_0\) ही \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) अशी विभागा. वर्तमान संरूपणातील रूप संदर्भ संरूपणावर परत नेल्यास प्रतिबल-विकृतीची संयुग जोडी द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) आणि Green-Lagrange विकृती \(\boldsymbol{E}\) होते. तेव्हा प्रारंभिक संरूपणातील आभासी कार्याचे तत्त्व

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

असे लिहिता येते. येथे \(\rho_0\) ही संदर्भ संरूपणातील वस्तुमान घनता आहे आणि वस्तुमान-संरक्षण नियम \(\rho_0 = J\rho\) मुळे ती वर्तमान संरूपणातील आयतन-बल रूपाशी समतुल्य आहे.

वर्तमान आणि प्रारंभिक संरूपणांची समतुल्यता¶

दोन्ही रूपांतील अंतर्गत-बल आभासी कार्य विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) आणि आयतन गुणोत्तर \(J = \det \boldsymbol{F}\) यांच्या रूपांतरणातून समान ठरते. म्हणजे

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

असे आहे. बाह्य-बल पदेदेखील वस्तुमान संरक्षण आणि पृष्ठबल रूपांतरणामुळे समतुल्य असतात. म्हणून वर्तमान आणि प्रारंभिक संरूपणातील आभासी-कार्य समीकरणे एकाच तत्त्वाची दोन वेगवेगळी निरूपणे आहेत. संदर्भ संरूपण वापरणारी पद्धत Total Lagrange आणि वर्तमान, म्हणजे मागील अभिसरित संरूपण, संदर्भ म्हणून वापरणारी पद्धत Updated Lagrange पद्धतीशी संबंधित आहे.

लहान विकृतीकडे संक्षेप¶

लहान-विकृती गृहितक \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\), \(J \approx 1\) अंतर्गत वर्तमान व संदर्भ संरूपणातील भेद नाहीसा होतो. द्वितीय PK प्रतिबल Cauchy प्रतिबलाशी जुळते (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), तर Green-Lagrange विकृती आणि Almansi विकृतीचा रेषीय भाग दोन्ही लहान विकृती \(\boldsymbol{\varepsilon}\) कडे संक्षिप्त होतात.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

तेव्हा आभासी कार्याचे तत्त्व Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) आणि लहान विकृती \(\boldsymbol{\varepsilon}\) यांचे दुर्बल रूप

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

असे होते. हे लहान-विकृती, रेषीय लवचिक स्थिर विश्लेषणाच्या विविक्तीकरणात थेट वापरले जाणारे दुर्बल रूप आहे (रेषीय लवचिक स्थिर विश्लेषण (प्रारंभिक/परिशिष्ट) मध्ये याच रूपापासून एलिमेंट कडकपणा \(\boldsymbol{K}^e\) आणि जागतिक समीकरण \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) ची रचना दाखविली आहे).

रेषीय लवचिक संघटक नियम \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) बसवून Voigt निरूपणात \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लिहिल्यास दुर्बल रूप

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

या स्वरूपात येते.