Skip to content

वाढीव विश्लेषणाची चौकट

वाढीव विश्लेषणाची आवश्यकता

आधी सांगितल्याप्रमाणे, लहान विकृतीच्या समस्येच्या विश्लेषणात समतोल समीकरणासारख्या मूलभूत समीकरणांशी समतुल्य असलेल्या आभासी कार्याच्या तत्त्वाचा वापर करून आणि ते परिमित घटकांनी विविक्त करून परिमित घटक विश्लेषण करता येते. संरचनेतील मोठी विकृती हाताळणाऱ्या सीमित विकृती समस्यांच्या विश्लेषणातही मूलतः आभासी कार्याचे तत्त्व वापरले जाते.

तथापि, सीमित विकृती समस्येत सामग्री रेषीय आहे असे गृहित धरले तरी आभासी कार्याचे समीकरण विस्थापनाच्या दृष्टीने अरेषीय होते. अरेषीय समीकरण सोडवण्यासाठी सामान्यतः पुनरावृत्ती पद्धतीची गणना वापरली जाते.

या पुनरावृत्ती गणनेत लहान भार-वाढींसाठी समस्या टप्प्याटप्प्याने सोडवून त्या वाढी जमा करत अंतिम विकृत अवस्थेपर्यंत पोहोचणारी वाढीव विश्लेषण पद्धत वापरली जाते. लहान विकृती गृहित धरल्यास विकृती आणि प्रतिबल परिभाषित करण्यासाठी विकृतीपूर्व व विकृतीनंतरची संरचना स्वतंत्रपणे वेगळी मानली जात नव्हती. म्हणजेच, लहान विकृतीच्या गृहितकात मूलभूत समीकरणे विकृतीपूर्व किंवा विकृतीनंतरच्या कोणत्याही संरचनेत लिहिली तरी समस्या होत नव्हती.

सीमित विकृती समस्येचे वाढीव विश्लेषण करताना संदर्भ संरचना म्हणून प्रारंभिक संरचना घ्यायची की वाढ सुरू होताना असलेली संरचना घ्यायची यावर सूत्रीकरण बदलते. पहिल्या पद्धतीला total Lagrange पद्धत आणि दुसऱ्याला updated Lagrange पद्धत म्हणतात. तपशीलांसाठी प्रकरणाच्या शेवटी दिलेले संदर्भ इत्यादी पहा.

प्रारंभिक समीकरण: वेळ \(t'\) वरील आभासी कार्याचे तत्त्व

वेळ \(t\) पर्यंतची अवस्था ज्ञात आहे आणि वेळ \(t' = t + \Delta t\) वरील अवस्था अज्ञात आहे असे वाढीव विश्लेषण गृहित धरा (आकृती 2.2.1 पहा). वेळ \(t'\) वरील समतोल समीकरण, सीमा-अटी आणि आभासी कार्याचे तत्त्व (वर्तमान संरचनेतील निरूपण, Cauchy प्रतिबल \(^{t'}\sigma\) आणि Almansi विकृतीचा रेषीय भाग \(^{t'} A_{(L)}\)) आभासी कार्याचे तत्त्व मध्ये दिल्याप्रमाणे आहे.

वाढीव विश्लेषणाची संकल्पना

आकृती 2.2.1　वाढीव विश्लेषणाची संकल्पना

परंतु हे प्रारंभिक समीकरण वेळ \(t'\) च्या (अज्ञात) संरचनेत लिहिलेले असल्याने प्रत्यक्ष सोडवण्याच्या पद्धतीत वेळ \(0\) ची प्रारंभिक संरचना \(V\) किंवा वेळ \(t\) ची वर्तमान संरचना \(^{t'} v\) पुन्हा संदर्भ संरचना म्हणून निवडली जाते, समीकरण वाढीव स्वरूपात रूपांतरित केले जाते आणि मग सोडवले जाते:

  • Total Lagrange पद्धत — प्रारंभिक संरचना \(V\) संदर्भ म्हणून वापरते. द्वितीय PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) आणि Green-Lagrange विकृती \(\boldsymbol{E}\) वापरते.
  • Updated Lagrange पद्धत — वाढ सुरू होतानाची वर्तमान संरचना \(^{t}v\) संदर्भ म्हणून वापरते. Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) आणि Almansi विकृतीचा रेषीय भाग \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) वापरते.

दोन्ही पद्धतींच्या अवकाशीय विविक्तीकरणासाठी (B मॅट्रिक्स आणि अंतर्गत बल वेक्टर) अंतर्गत बलाच्या आभासी कार्याचे विविक्तीकरण, तसेच रेषीकरण व स्पर्शरेषीय कडकपणा रचनेसाठी स्पर्शरेषीय कडकपणा मॅट्रिक्स पहा.

संबंधित विषय