उष्णता वहन समीकरण¶

या अध्यायात FrontISTR मध्ये विचारात घेतलेल्या उष्णता वहनाची नियामक समीकरणे (अखंड-माध्यम स्तरावर) आणि सीमा अटींचा आढावा दिला आहे. काल-विविक्तीकरण आणि FEM विविक्तीकरण यांचे वर्णन विविक्तीकरण (L3d) आणि समाधान अल्गोरिदम (L3e: solution_methods/05_transient_heat) येथे केले आहे.

नियामक समीकरण¶

सातत्यक माध्यमातील उष्णता वहन समीकरण पुढीलप्रमाणे आहे.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

येथे \(\rho=\rho(x)\) हे वस्तुमान घनत्व, \(c=c(x,T)\) ही विशिष्ट उष्मा धारिता, \(T=T(x,t)\) हे तापमान, \(k=k(x,T)\) ही उष्णता चालकता, \(Q=Q(x,T,t)\) ही उष्णता निर्मिती, \(x\) हे स्थान आणि \(t\) हा काल दर्शवतात. \(k_x, k_y, k_z\) या विषमदैशिक उष्णता वहनातील प्रत्येक दिशेच्या उष्णता चालकता आहेत.

विशिष्ट उष्णताविषयक पदार्थ गुणधर्मांसाठी (तापमान-अवलंबित्व व विषमदैशिकता) उष्णताविषयक पदार्थ गुणधर्म पहा.

सीमा अटी¶

विचारात घेतलेले क्षेत्र \(S\) आणि त्याची सीमा \(\Gamma\) असू द्या. \(\Gamma\) वर सर्वत्र Dirichlet किंवा Neumann प्रकारातील कोणतीही एक सीमा अट दिलेली आहे असे गृहीत धरल्यास सीमा अटी पुढीलप्रमाणे होतात.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

येथे \(T_1\) आणि \(q\) यांची फलनरूपे ज्ञात आहेत असे मानले आहे. \(q\) हा सीमेतून बाहेर जाणारा उष्णता फ्लक्स आहे. सीमेतून जाणारा उष्णता फ्लक्स \(q\) पुढील तीन घटकांनी बनतो.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

येथे \(q_s\) हा वितरित उष्णता फ्लक्स, \(q_c\) हा संवहन उष्णता हस्तांतरणामुळे निर्माण होणारा उष्णता फ्लक्स आणि \(q_r\) हा विकिरण उष्णता हस्तांतरणामुळे निर्माण होणारा उष्णता फ्लक्स आहे.

तसेच, \(Tc=Tc(x,t)\) हे संवहन उष्णता हस्तांतरणाचे परिसर तापमान, \(hc=hc(x,t)\) हा संवहन उष्णता हस्तांतरण गुणांक, \(Tr=Tr(x,t)\) हे विकिरण उष्णता हस्तांतरणाचे परिसर तापमान, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) हा विकिरण उष्णता हस्तांतरण गुणांक, \(\varepsilon\) ही उत्सर्जकता, \(\sigma\) हा Stefan-Boltzmann स्थिरांक आणि \(F\) हा दृश्य गुणांक आहे.

इनपुट फाइलमधील निर्दिष्ट करण्याच्या पद्धतीसाठी कार्यविषयक विभागातील सीमा अटी आणि भार पहा.

उष्णता वहन समीकरण¶

नियामक समीकरण¶

सीमा अटी¶

दुर्बल रूप¶

संरचनात्मक विश्लेषणाशी युग्मन सीमा¶

संबंधित विषय¶