टेन्सर संकेतन आणि गणितीय मूलतत्त्वे¶

या प्रकरणात FrontISTR सिद्धांत मार्गदर्शिकेतील पुढील प्रकरणांत वापरल्या जाणाऱ्या टेन्सर संकेतन, निर्देशांक संकेतन आणि Voigt निरूपणाचे नियम एकत्र दिले आहेत. येथे भौतिक राशींच्या व्याख्येपासून स्वतंत्र असलेले शुद्ध संकेतन नियमच मांडले आहेत. सातत्यक गतीतील संरूपणावर (संदर्भ/वर्तमान संरूपण) अवलंबून असलेले नियम—मोठी/लहान अक्षरे आणि पदार्थीय/अवकाशीय अवकल यांतील भेद—संरूपण संकल्पना मांडणाऱ्या गती, विरूपण आणि विकृती मध्ये दिले आहेत.

टेन्सर संकेतन¶

ठळक अक्षरांत सदिश आणि टेन्सर¶

टंकलेखनाच्या नियमाप्रमाणे अदिश राशी आणि सदिश/टेन्सरचे घटक साध्या अक्षरांत (\(\rho\), \(x_i\) इ.) तर सदिश/टेन्सर राशी स्वतः ठळक अक्षरांत (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) इ.) लिहिल्या जातात.

Einstein संकुचन नियम¶

विशेष उल्लेख नसल्यास, एखादा समान निर्देशांक एका पदात दोनदा आल्यास त्या निर्देशांकावर बेरीज करण्याचा Einstein बेरीज नियम लागू होतो. उदाहरणार्थ

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

आणि टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) व \(\boldsymbol{B}\) यांच्या गुणाकार \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) चा \(i,j\) घटक

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

असा असतो. निर्देशांकांच्या नियमात, विशेष उल्लेख नसताना \(i, j, k, l, \ldots\) हे स्वातंत्र्य-अंशांचे निर्देशांक (3-आयामी स्थितीत \(1, 2, 3\)) दर्शवतात; तर लहान ग्रीक अक्षरे \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ही एलिमेंटमधील घटक नोडचे निर्देशांक दर्शवतात.

अंतर्गत गुणाकार, ट्रान्सपोज आणि टेन्सर गुणाकार¶

टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) चा ट्रान्सपोज \(\boldsymbol{A}^T\) असा दर्शविला जातो. द्वितीय-क्रम टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) आणि \(\boldsymbol{B}\) यांचा अंतर्गत गुणाकार (दुहेरी संकुचन)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

असा लिहिला जातो. सदिश \(\boldsymbol{a}\) आणि \(\boldsymbol{b}\) यांचा अंतर्गत गुणाकार \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) आणि टेन्सर गुणाकार \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) आहे.

Voigt निरूपण¶

प्रतिबल आणि विकृती हे स्वातंत्र्य-अंशांवरील सममित द्वितीय-क्रम टेन्सर आहेत आणि त्यांतील रेषीय संबंध दर्शविणारा गुणांक चतुर्थ-क्रम टेन्सर असतो. हा थेट कार्यक्रमात हाताळणे गणनात्मक खर्च आणि कोडिंगच्या दृष्टीने (बहुआयामी अॅरे, खोल नेस्टेड लूप) प्रतिकूल आहे. म्हणून सामान्य परिमित घटक कार्यक्रमांत सममितीचा उपयोग करून प्रतिबल व विकृती स्तंभ-सदिशात आणि चतुर्थ-क्रम लवचिकता टेन्सर द्विमितीय मॅट्रिक्समध्ये संकुचित केला जातो. याला Voigt निरूपण म्हणतात.

यापुढे टेन्सर राशी \(\boldsymbol{A}\) चे मॅट्रिक्स/सदिश निरूपण \(\hat{A}\) असे लिहून मूळ टेन्सरपासून वेगळे केले जाते.

प्रतिबल आणि विकृतीचे सदिश निरूपण¶

सममित प्रतिबल टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}\) आणि विकृती टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon}\) साठी, द्विमितीय स्थितीत

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

त्रिमितीय स्थितीत

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

अशा स्तंभ-सदिशांच्या रूपात हाताळले जाते. चलन आणि अवकल यांसारख्या व्युत्पन्न राशींनाही हाच नियम लागू होतो. विकृतीच्या कर्तन घटकांना 2 हा गुणक लागतो (प्रतिबलाच्या घटकांना नाही), हे लक्षात घ्या. या असममित नियमामुळे टेन्सर अंतर्गत गुणाकार सदिश अंतर्गत गुणाकार म्हणून

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

अशा संक्षिप्त रूपात लिहिता येतो. अंमलबजावणीत कर्तन-विकृतीचा 2 हा गुणक चुकण्याची शक्यता असल्याने “प्रतिबलाला नाही / विकृतीला आहे” हा नियम नेहमी लक्षात ठेवावा. संदर्भ संरूपणातील राशींना (द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) आणि Green-Lagrange विकृती \(\boldsymbol{E}\)) देखील हाच Voigt नियम लागू होतो.

चतुर्थ-क्रम टेन्सरचे मॅट्रिक्स निरूपण¶

प्रतिबल-विकृती रेषीय संबंध \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (घटक रूपात \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) मध्ये \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ची सममिती वापरल्यास

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

असे पुन्हा लिहिता येते. त्रिमितीय स्थितीत \(\tilde{C}\) ला 6×6 पदार्थ मॅट्रिक्स \(\hat{\tilde{C}}\) म्हणून मांडल्यास मूळ टेन्सर संबंध

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

असा व्यक्त करता येतो. यापुढे या मार्गदर्शिकेत विशेष उल्लेख नसल्यास पदार्थ मॅट्रिक्स \(D\) (किंवा \(\hat{C}\)) ने दर्शविला जातो. समदिश रेषीय लवचिकतेतील स्पष्ट घटकांसाठी रेषीय लवचिकता पहा.

अवकल ऑपरेटरचे नियम¶

सममित ग्रेडियंट ऑपरेटर¶

सदिश क्षेत्र \(\boldsymbol{u}\) साठी सममित ग्रेडियंट ऑपरेटर \(\nabla_S\) ची व्याख्या

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

अशी केली जाते. घटक रूपात \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) आहे. लहान-विकृतीतील विकृती \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) या ऑपरेटरने संक्षिप्तपणे दर्शविता येते. मर्यादित विकृतीत ग्रेडियंट कोणत्या संरूपणावर (संदर्भ/वर्तमान) घ्यायचा याची निवड गती, विरूपण आणि विकृती मध्ये दिली आहे.

पदार्थीय काल-अवकल¶

राशी \(A\) चा पदार्थीय काल-अवकल (त्याच पदार्थबिंदूचा मागोवा घेत घेतलेला काल-अवकल) वरच्या बिंदूने \(\dot{A}\) असा दर्शविला जातो:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

वेग आणि त्वरणासाठी हाच नियम वापरला जातो.

टेन्सर संकेतन आणि गणितीय मूलतत्त्वे¶