भौतिक राशींची चिन्हसूची
या पृष्ठावर FrontISTR सिद्धांत मार्गदर्शिकेत वापरल्या जाणाऱ्या भौतिक राशींची चिन्हे सूचीबद्ध केली आहेत. संकेतन नियम (सदिश व टेन्सरसाठी ठळक अक्षरे, Einstein संकुचन नियम, Voigt निरूपण) यांसाठी टेन्सर संकेतन आणि गणितीय मूलतत्त्वे पहा.
संरूपण आणि निर्देशांक प्रणाली
| चिन्ह | विवरण |
| \(\boldsymbol{X}\) | पदार्थबिंदूचा संदर्भ (प्रारंभिक) संरूपणातील स्थान सदिश (पदार्थीय निर्देशांक) |
| \(\boldsymbol{x}\) | पदार्थबिंदूचा वर्तमान संरूपणातील स्थान सदिश (अवकाशीय निर्देशांक) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | गती नकाशा: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | संदर्भ संरूपणात पिंडाने व्यापलेला प्रदेश |
| \(\Omega\) | वर्तमान संरूपणात पिंडाने व्यापलेला प्रदेश |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\) ची सीमा |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\) ची सीमा |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | भूमितीय (विस्थापन) सीमा: वर्तमान/संदर्भ संरूपणातील अशी सीमा जिथे \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) निर्धारित आहे |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | यांत्रिक सीमा: वर्तमान/संदर्भ संरूपणातील अशी सीमा जिथे \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (किंवा \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) निर्धारित आहे |
| \(\boldsymbol{n}\) | वर्तमान संरूपणातील पृष्ठाचा बाह्याभिमुख एकक अभिलंब सदिश |
| \(\boldsymbol{N}\) | संदर्भ संरूपणातील पृष्ठाचा बाह्याभिमुख एकक अभिलंब सदिश |
| \(t\) | वेळ |
नियम: संदर्भ संरूपणातील भौतिक राशींसाठी मोठी अक्षरे किंवा उपनिर्देशांक \(0\), आणि वर्तमान संरूपणातील राशींसाठी लहान अक्षरे वापरली जातात.
वेळ आणि वाढ (वाढीव विश्लेषण)
| चिन्ह | विवरण |
| \(\Delta t\) | काल-वाढ: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | वेळ \(t\) वरील भौतिक रक्कम (डावीकडील वरचा निर्देशांक). उदा. \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) म्हणजे वेळ \(t\) वरील Cauchy प्रतिबल |
| \(^{t}\Omega\) | वेळ \(t\) वरील वर्तमान संरूपणाचा प्रदेश |
| \(^{t}\Gamma\) | वेळ \(t\) वरील वर्तमान संरूपणाची सीमा |
नियम: वाढीव विश्लेषणात वेळ \(t\) पर्यंतची अवस्था ज्ञात मानून वेळ \(t + \Delta t\) वरील अवस्था अज्ञात म्हणून शोधली जाते. वेळ स्पष्ट करणे आवश्यक नसल्यास डावीकडील वरचा निर्देशांक वगळला जातो. संदर्भ संरूपण \(\Omega_0\) निवडणारी मांडणी Total Lagrange पद्धत, तर वाढ सुरू होताना वर्तमान संरूपण \(^{t}\Omega\) निवडणारी मांडणी Updated Lagrange पद्धत म्हणतात.
विस्थापन, वेग, त्वरण आणि वस्तुबल
| चिन्ह | विवरण |
| \(\boldsymbol{u}\) | विस्थापन सदिश: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | भूमितीय सीमा \(\Gamma_B\) वर निर्धारित विस्थापन |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | आभासी विस्थापन (चाचणी फलन): \(\Gamma_B\) वर \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | वेग सदिश: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | त्वरण सदिश: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | वस्तुबल (एकक वस्तुमानामागे) |
| \(\boldsymbol{t}\) | पृष्ठबल सदिश (एकक क्षेत्रफळामागे): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | यांत्रिक सीमा \(\Gamma_t\) वर निर्धारित पृष्ठबल (Neumann डेटा) |
अवकल ऑपरेटर
| चिन्ह | विवरण |
| \(\dot{(\cdot)}\) | पदार्थीय काल-अवकल (त्याच पदार्थबिंदूचा मागोवा घेतलेला काल-अवकल): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | संदर्भ संरूपण ग्रेडियंट (पदार्थीय निर्देशांक \(\boldsymbol{X}\) च्या संदर्भातील): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | वर्तमान संरूपण ग्रेडियंट (अवकाशीय निर्देशांक \(\boldsymbol{x}\) च्या संदर्भातील): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | सममित ग्रेडियंट ऑपरेटर: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
नोंद: \(\nabla_X\) आणि \(\nabla_x\) यांचा संबंध \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) असा आहे. उपनिर्देशांक नसलेले \(\nabla\) संदर्भातून संरूपण स्पष्ट असेल किंवा लहान-विकृती स्थितीसारखा भेद नाहीसा होत असेल तेव्हा वापरले जाते.
विकृती टेन्सर
| चिन्ह | विवरण |
| \(\boldsymbol{F}\) | विरूपण प्रवणता टेन्सर: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | आयतन-बदल गुणोत्तर: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | उजवा Cauchy-Green विकृती टेन्सर: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | डावा Cauchy-Green विकृती टेन्सर: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | वेग-ग्रेडियंट टेन्सर: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | विकृती-दर टेन्सर (\(\boldsymbol{L}\) चा सममित भाग): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | स्पिन टेन्सर (\(\boldsymbol{L}\) चा प्रतिसममित भाग): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
विकृतीमापन टेन्सर
| चिन्ह | विवरण |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange विकृती टेन्सर (संदर्भ संरूपण): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi विकृती टेन्सर (वर्तमान संरूपण): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansi विकृती टेन्सरचा रेषीय भाग (वर्तमान संरूपणातील सममित विस्थापन ग्रेडियंट): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | लहान-विकृती टेन्सर (रेषीय सन्निकटन): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
नोंद: \(\boldsymbol{E}\) प्रामुख्याने Total Lagrange पद्धतीत आणि \(\boldsymbol{D}\) Updated Lagrange पद्धतीत वापरले जाते.
प्रतिबल टेन्सर
| चिन्ह | विवरण |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy प्रतिबल टेन्सर (खरे प्रतिबल, वर्तमान संरूपण): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | प्रथम Piola-Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर (नाममात्र प्रतिबल): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर (संदर्भ संरूपण, सममित): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
प्रतिबल टेन्सरांमधील रूपांतरण संबंध:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
नियम: Total Lagrange पद्धतीत \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) आणि Updated Lagrange पद्धतीत \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) ही जोडी वापरली जाते.
घनता आणि वस्तुमान
| चिन्ह | विवरण |
| \(\rho\) | वर्तमान संरूपणातील वस्तुमान घनता |
| \(\rho_0\) | संदर्भ संरूपणातील वस्तुमान घनता |
वस्तुमान संरक्षण नियम: \(\rho_0 = J\rho\).
पदार्थ स्थिरांक (रेषीय लवचिक पदार्थ)
| चिन्ह | विवरण |
| \(E\) | Young गुणांक (अनुदैर्घ्य लवचिकता गुणांक) |
| \(\nu\) | Poisson गुणोत्तर |
| \(\lambda\) | प्रथम Lamé स्थिरांक: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | द्वितीय Lamé स्थिरांक (कर्तन गुणांक): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | लवचिकता टेन्सर (चतुर्थ क्रम): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), घटक \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (किंवा \(\hat{\tilde{C}}\)) | पदार्थ मॅट्रिक्स (Voigt निरूपण; 3-आयामी स्थितीत \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
समदिश रेषीय लवचिक पदार्थाचे लवचिकता-टेन्सर घटक:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
अतिलवचिक पदार्थ
| चिन्ह | विवरण |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | लवचिक विभव फलन (विकृती ऊर्जा घनता फलन) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | उजव्या Cauchy-Green टेन्सर \(\boldsymbol{C}\) ची मुख्य अपरिवर्तके |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\) ची कमी केलेली अपरिवर्तके (आयतन-बदल भाग वेगळा केलेला) |
| \(C_1, C_2\) | Mooney-Rivlin नमुन्याचे पदार्थ स्थिरांक |
| \(D\) | आयतन लवचिकतेशी संबंधित पदार्थ स्थिरांक |
लवचिक-प्लास्टिक पदार्थ
| चिन्ह | विवरण |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | विकृती-दर टेन्सरचा लवचिक घटक |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | विकृती-दर टेन्सरचा प्लास्टिक घटक |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | यील्ड फलन |
| \(\kappa\) | प्लास्टिक अवस्था दर्शविणारे अंतर्गत चल (समदिश कठीणीकरण चल) |
| \(\lambda^p\) | प्लास्टिक गुणक (प्लास्टिक विकृती-दर गुणक): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | प्लास्टिक विभव (सहसंबद्ध प्रवाह नियमात \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | समतुल्य प्रतिबल (उदा. von Mises प्रतिबल) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | समतुल्य प्लास्टिक विकृती |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | समदिश कठीणीकरण फलन |
पूरकता अट: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
परिमित घटक पद्धत
| चिन्ह | विवरण |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | परिमित घटक विभागणीने सन्निकट केलेले वर्तमान/संदर्भ संरूपण प्रदेश: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | एलिमेंटचा वर्तमान/संदर्भ संरूपणातील प्रदेश |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | एलिमेंट सीमेचा यांत्रिक सीमेत येणारा भाग |
| \(\boldsymbol{r}\) | नैसर्गिक निर्देशांक (एलिमेंटचे स्थानिक निर्देशांक) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | नोड \(\alpha\) शी संबंधित नैसर्गिक निर्देशांक बिंदू |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | एलिमेंट \(e\) मधील नोड \(\alpha\) चे आकार फलन |
| \(n_e\) | एलिमेंटमधील घटक नोडांची संख्या |
| \(n_g\) | एकूण जागतिक नोड संख्या |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | एलिमेंट नोड \(\alpha\) चे निर्देशांक आणि विस्थापन |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | एलिमेंट नोड निर्देशांक/विस्थापन सदिश: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) इ. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | जागतिक नोड निर्देशांक/विस्थापन सदिश (नोड क्रमांक → स्वातंत्र्य-अंश या क्रमात) |
| \(\boldsymbol{B}\) | विकृती-विस्थापन संबंध मॅट्रिक्स (B-मॅट्रिक्स) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | आकार-फलन मॅट्रिक्स: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) हा नोड \(\alpha\) चे आकार फलन \(N_\alpha^e\) विकर्णावर असलेला \(d \times d\) ब्लॉक, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | एलिमेंट कडकपणा मॅट्रिक्स |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | एलिमेंट कडकपणा मॅट्रिक्सचे समाकल्य पद (संदर्भ/वर्तमान संरूपणात): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL पद्धत), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL पद्धत) | एलिमेंट अंतर्गत-बल सदिश |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | एलिमेंट नोड \(\alpha\) वर कार्य करणारे नोड बाह्य बल आणि एलिमेंट-नोड बाह्य-बल सदिश: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | जागतिक अंतर्गत-बल आणि बाह्य-बल सदिश: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); \(\boldsymbol{F}\) देखील त्याचप्रमाणे |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | जागतिक नोड \(i_g\) वरील नोड अंतर्गत व बाह्य बल (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) मधील नोड ब्लॉक) |
| \(\boldsymbol{K}\) | जागतिक स्पर्शरेषीय कडकपणा मॅट्रिक्स: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\) ब्लॉक \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) हा \(i_g\) ओळ आणि \(i_h\) स्तंभात मांडलेला मॅट्रिक्स |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newton-Raphson पुनरावृत्तीतील अवशेष सदिश: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newton-Raphson पुनरावृत्तीतील दुरुस्ती रक्कम (पुनरावृत्ती \(i\) मध्ये रेषीय समीकरण \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) सोडवून मिळते) |
| \(i_g\) | जागतिक नोड क्रमांक (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | एलिमेंट \(e\) मधील स्थानिक नोड क्रमांक \(\alpha\) शी संबंधित जागतिक नोड क्रमांक: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | जागतिक नोड क्रमांक \(i_g\) शी संबंधित \((e, \alpha)\) जोड्यांचा संच: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). असेंब्लीमध्ये वापरला जातो |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | जागतिक नोड-क्रमांक जोडी \((i_g, i_h)\) शी संबंधित \((e, \alpha, \beta)\) त्रिकांचा संच; कडकपणा मॅट्रिक्स असेंब्लीमध्ये वापरला जातो |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | एलिमेंटमधील घटक नोडांचे निर्देशांक |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | स्वातंत्र्य-अंशांचे निर्देशांक (3-आयामी स्थितीत \(1, 2, 3\)) |
प्रगत एलिमेंट आणि संरचनात्मक एलिमेंट
| चिन्ह | विवरण |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar पद्धतीतील आयतन भाग दुरुस्त केलेला विकृती-विस्थापन संबंध मॅट्रिक्स (एलिमेंट केंद्रावर मूल्यमापन केलेल्या B-मॅट्रिक्सने आयतन घटक बदललेला) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar पद्धतीतील आयतन भाग दुरुस्त विरूपण प्रवणता: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | एलिमेंट केंद्र \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) वर मूल्यमापन केलेल्या विरूपण प्रवणतेचे आयतन गुणोत्तर: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | असुसंगत-मोड एलिमेंटमधील अंतर्गत स्वातंत्र्य-अंश सदिश (एलिमेंट सीमेवर सातत्य हमी न देणाऱ्या अतिरिक्त विस्थापन मोडचे गुणांक) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | असुसंगत मोडचे आकार फलन: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | शेल एलिमेंटची जाडी |
| \(A\) | बीम एलिमेंट छेदाचे क्षेत्रफळ |
| \(I\) | बीम एलिमेंट छेदाचा द्वितीय क्षेत्र क्षण |
| \(G\) | कर्तन लवचिकता गुणांक: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
संबंधित विषय