गतिशील विश्लेषण पद्धती¶

या विभागात प्रत्यक्ष काल-समाकलन पद्धत वापरून गतिशील समस्यांचे विश्लेषण करण्याची पद्धत दिली आहे. खाली अव्यक्त आणि स्पष्ट सोडवणूक पद्धतींची सूत्ररचना दिली आहे.

गतीच्या समीकरणाचे विविक्तीकरण (सामायिक चौकट)¶

मजकूर अद्याप प्रलंबित आहे (पुढील टप्प्यात पूर्ण केला जाईल).

अव्यक्त पद्धत (Newmark-β पद्धत)¶

गतिशील समस्यांसाठी खालील गतीच्या समीकरणाचे निराकरण करण्यास प्रत्यक्ष काल-समाकलन पद्धत लागू केली जाते.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

येथे \(M\) हे वस्तुमान मॅट्रिक्स, \(C\) हे अवमंदन मॅट्रिक्स, \(Q\) हा अंतर्गत बल सदिश आणि \(F\) हा बाह्य बल सदिश आहे. तसेच, अरेषीय विश्लेषणातही वस्तुमान मॅट्रिक्स विकृतीवर अवलंबून न राहता स्थिर मानले जाते.

कालवाढ \(\Delta t\) दरम्यान विस्थापन, वेग आणि त्वरणातील बदल Newmark-\(\beta\) पद्धतीने समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) आणि समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) प्रमाणे सन्निकट केले जातात.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

येथे \(\gamma\) आणि \(\beta\) हे Newmark-\(\beta\) पद्धतीचे परिमाण आहेत.

सुप्रसिद्ध परिणामानुसार, \(\gamma\) आणि \(\beta\) यांना खालील मूल्ये दिल्यास ही पद्धत अनुक्रमे रेषीय त्वरण पद्धत किंवा समलंब नियमाशी जुळते.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (रेषीय त्वरण पद्धत)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (समलंब नियम)

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) आणि समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) समीकरण \(\eqref{eq:2.5.1}\) मध्ये ठेवले असता पुढील समीकरण मिळते.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

विशेषतः रेषीय समस्येसाठी \(K_L\) हे रेषीय कठोरता मॅट्रिक्स मानल्यास \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) होते. हे वरील समीकरणात ठेवल्यास पुढील समीकरण मिळते.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

भूमितीय सीमा अट म्हणून त्वरण निर्दिष्ट केलेल्या ठिकाणी, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) मधून पुढील विस्थापन मिळते.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

त्याचप्रमाणे, वेग निर्दिष्ट केलेल्या ठिकाणी समीकरण \(\eqref{eq:2.5.6}\) मधून पुढील विस्थापन मिळते.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

येथे, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) हे वेळ \(t+\Delta{t}\) येथील नोडचे विस्थापन, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) हे वेळ \(t+\Delta{t}\) येथील नोडचा वेग, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) हे वेळ \(t+\Delta{t}\) येथील नोडचे त्वरण, \(i\) हा नोडचा स्वातंत्र्य-अंश क्रमांक आणि \(s\) हा नोड क्रमांक आहे. वस्तुमान पद आणि अवमंदन पद पुढीलप्रमाणे हाताळले जातात.

वस्तुमान पदाचे हाताळणे¶

वस्तुमान मॅट्रिक्स तत्त्वतः संकेंद्रित वस्तुमान मॅट्रिक्स म्हणून हाताळले जाते.

अवमंदन पदाचे हाताळणे¶

अवमंदन पद समीकरण \(\eqref{eq:2.5.8}\) मध्ये दर्शविलेल्या रेले अवमंदनाच्या रूपात हाताळले जाते.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

येथे \(R_m\) आणि \(R_k\) हे रेले अवमंदनाचे परिमाण आहेत.

!DYNAMIC कार्डमध्ये निर्दिष्ट केलेले \(R_m\) आणि \(R_k\) संपूर्ण मॉडेलला एकसमान लागू होतात. प्रत्येक पदार्थासाठी वेगवेगळे \(R_m\) आणि \(R_k\) द्यायचे असल्यास संबंधित पदार्थाच्या !MATERIAL ब्लॉकमध्ये !DAMPING कार्ड निर्दिष्ट करावे. !DAMPING निर्दिष्ट केलेल्या पदार्थातील घटकांसाठी त्या घटकाचे वस्तुमान मॅट्रिक्स \(M_i\) आणि स्पर्शक कठोरता मॅट्रिक्स \(K_i\) वापरून \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) प्रमाणे घटक अवमंदन मॅट्रिक्स मोजले जाते आणि जागतिक अवमंदन मॅट्रिक्समध्ये समाविष्ट केले जाते. हे कार्य फक्त अव्यक्त पद्धतीत प्रभावी आहे.

स्पष्ट पद्धत (केंद्रीय फरक पद्धत)¶

स्पष्ट पद्धत खाली दर्शविलेल्या वेळ t येथील गतीच्या समीकरणावर आधारित आहे.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

येथे वेळ \(t + \Delta t\) आणि वेळ \(t - \Delta t\) येथील विस्थापन वेळ \(t\) येथील Taylor विस्ताराने व्यक्त केले जाते. \(\Delta t\) बाबत द्वितीय क्रमापर्यंतची पदे घेतल्यास पुढीलप्रमाणे मिळते.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) आणि समीकरण \(\eqref{eq:2.5.4}\) यांचा फरक आणि बेरीज घेतल्यास पुढील समीकरणे मिळतात.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.12}\) आणि समीकरण \(\eqref{eq:2.5.13}\) समीकरण \(\eqref{eq:2.5.9}\) मध्ये ठेवल्यास पुढील समीकरण मिळते.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

विशेषतः रेषीय समस्येसाठी \(Q(t) = K_L U(t)\) होते आणि वरील समीकरण पुढीलप्रमाणे होते.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

येथे वस्तुमान मॅट्रिक्स \(M\) संकेंद्रित वस्तुमान मॅट्रिक्स आणि अवमंदन मॅट्रिक्स प्रमाणबद्ध अवमंदन मॅट्रिक्स \(C = R_m M\) असे घेतल्यास समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) साठी एकाच वेळी अनेक समीकरणे सोडविण्याची क्रिया आवश्यक राहत नाही.

म्हणून समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) वरून \(U(t+\Delta t)\) पुढील समीकरणाने मिळवता येते.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]