Skip to content

मोडल विश्लेषण

सामान्यीकृत स्वमूल्य समस्या

सातत्यक माध्यमाचे मुक्त कंपन विश्लेषण करताना अवकाशीय विविक्तीकरण करून आकृती 2.3.1 प्रमाणे संकेंद्रित वस्तुमानांची बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणाली म्हणून मॉडेल केले जाते. डॅम्पिंग नसलेल्या मुक्त कंपन समस्येत नियामक समीकरण (गती समीकरण) पुढीलप्रमाणे आहे.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

येथे \(u\) हा सामान्यीकृत विस्थापन सदिश, \(M\) हा वस्तुमान मॅट्रिक्स आणि \(K\) हा दृढता मॅट्रिक्स आहे. स्वाभाविक कोनीय वारंवारता \(\omega\), एकाच वेळी दोन्ही शून्य नसलेले मनमानी स्थिरांक \(a\), \(b\), आणि सदिश \(x\) घेऊन पुढील फलन परिभाषित करू.

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

या फलनाचे द्वितीय अवकल पुढीलप्रमाणे आहे.

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

समीकरणे \(\eqref{eq:2.3.2}\) आणि \(\eqref{eq:2.3.3}\) ही समीकरण \(\eqref{eq:2.3.1}\) मध्ये प्रतिस्थापित केल्यास

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

मिळते.

अतुच्छ कंपनासाठी \(a \sin \omega t + b \cos \omega t\) हे सर्वसमपणे शून्य नसल्यामुळे

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

मिळते. म्हणून \(\lambda=\omega^2\) ठेवल्यास

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

मिळते.

गुणांक \(\lambda\) ला स्वमूल्य आणि सदिश \(x\) ला स्वसदिश म्हणतात; समीकरण \(\eqref{eq:2.3.5}\) ने व्यक्त होणाऱ्या समस्येला सामान्यीकृत स्वमूल्य समस्या म्हणतात.

स्वमूल्य \(\lambda=\omega^2\) वरून स्वाभाविक कोनीय वारंवारता \(\omega\) मिळते आणि संबंधित स्वसदिश \(x\) कंपन मोड दर्शवतो.

डॅम्पिंग नसलेल्या मुक्त कंपनाच्या बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीचे उदाहरण

आकृती 2.3.1　डॅम्पिंग नसलेल्या मुक्त कंपनाच्या बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीचे उदाहरण

मॅट्रिक्सचे गुणधर्म आणि गृहीतके

मागील विभागात मिळालेल्या सामान्यीकृत स्वमूल्य समस्या \(Kx=\lambda Mx\) साठी या मार्गदर्शिकेत संबंधित मॅट्रिक्स सममित असल्याचे गृहीत धरले आहे. संकुल मॅट्रिक्सच्या बाबतीत हे हर्मिटीय मॅट्रिक्सला आणि वास्तविक मॅट्रिक्सच्या बाबतीत सममित मॅट्रिक्सला अनुरूप आहे.

मॅट्रिक्स \(K\) चा \(ij\) घटक \(k_{ij}\) असा लिहिल्यास हर्मिटीय गुणधर्म पुढीलप्रमाणे व्यक्त होतो.

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

येथे \(\bar{k}_{ji}\) हा \(k_{ji}\) चा संकुल संयुग्मी आहे. वास्तविक मॅट्रिक्सच्या बाबतीत हा संबंध \(k_{ij}=k_{ji}\) असा होतो.

तसेच, प्रत्येक अशून्य सदिश \(x\) साठी पुढील संबंध पूर्ण होत असल्यास वास्तविक सममित मॅट्रिक्स \(H\) ला धन-निश्चित म्हणतात.

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

या स्थितीत \(H\) ची सर्व स्वमूल्ये धन असतात.

संरचनात्मक स्वमूल्य समस्येत वस्तुमान मॅट्रिक्स \(M\) सामान्यतः धन-निश्चित मानला जातो. दुसरीकडे, बंधन अटींनुसार दृढता मॅट्रिक्स \(K\) धन-अर्धनिश्चित असू शकतो आणि दृढ-पिंड मोडांशी संबंधित शून्य स्वमूल्ये असू शकतात.

शिफ्टयुक्त व्यस्त पुनरावृत्ती पद्धत

परिमित घटक पद्धतीच्या संरचनात्मक विश्लेषणात प्रत्यक्ष वापरासाठी सर्व स्वमूल्यांची गरज नसते; बहुधा काही कमी-क्रमाच्या स्वमूल्यांपुरते पुरेसे असते. HEC-MW मोठ्या समस्यांसाठी बनवले असल्यामुळे मॅट्रिक्स मोठे आणि अत्यंत विरळ, म्हणजे अनेक शून्य घटक असलेले असतात. म्हणून ही वैशिष्ट्ये लक्षात घेऊन कमी-क्रम मोडांची स्वमूल्ये कार्यक्षमरीत्या शोधणे महत्त्वाचे आहे.

शिफ्टचे परिमाण \(\sigma\) असल्यास, \(-\sigma\) कोणत्याही स्वमूल्याशी जुळत नसेल आणि \(K+\sigma M\) अविलक्षण असेल, तर समीकरण \(\eqref{eq:2.3.5}\) पुढीलप्रमाणे रूपांतरित करता येते.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

या रूपांतरणात स्वसदिश \(x\) बदलत नाही आणि स्वमूल्य \(\lambda\) चे \(1/(\lambda+\sigma)\) मध्ये प्रतिचित्रण होते.

त्यामुळे \(\lambda\), \(-\sigma\) च्या जितके जवळ असेल तितके रूपांतरित स्वमूल्याचे निरपेक्ष मूल्य मोठे होते. संरचनात्मक स्वमूल्य समस्येत \(\lambda \geq 0\) आणि \(\sigma \geq 0\) असल्यामुळे सर्वात कमी-क्रमाचे स्वमूल्य सर्वाधिक निरपेक्ष मूल्याच्या स्वमूल्यात प्रतिचित्रित होते. या गुणधर्माचा वापर करून, मोठ्या निरपेक्ष मूल्यांच्या स्वमूल्यांकडे प्रथम अभिसरित होणारी पुनरावृत्ती पद्धत समीकरण \(\eqref{eq:2.3.8}\) ला लागू केल्यास कमी-क्रमाची स्वमूल्ये क्रमाने कार्यक्षमरीत्या मिळवता येतात.

या पद्धतीला शिफ्टयुक्त व्यस्त पुनरावृत्ती पद्धत म्हणतात.

FrontISTR मध्ये बंधने असलेल्या विश्लेषणासाठी \(\sigma = 0\) ठेवले जाते; त्यामुळे समीकरण \(\eqref{eq:2.3.8}\), \(K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x\), म्हणजे शिफ्ट नसलेली व्यस्त पुनरावृत्ती होते. बंधने नसलेल्या मुक्त-मुक्त विश्लेषणात दृढ-पिंड मोडांशी संबंधित शून्य स्वमूल्यांमुळे \(K\) विलक्षण असतो; \(\sigma\) ला धन मूल्य देऊन \(K+\sigma M\) अविलक्षण केले जाते. हा \(\sigma\), !EIGEN मधील SIGMA ने निर्दिष्ट केला जातो.

Lanczos पद्धत

निवडीचे कारण (Jacobi पद्धतीशी तुलना)

पारंपरिक पद्धतींपैकी Jacobi पद्धत प्रसिद्ध आहे.

मॅट्रिक्स लहान आणि घनदाट असताना ती प्रभावी असते. परंतु HEC-MW मध्ये हाताळले जाणारे मॅट्रिक्स मोठे आणि विरळ असल्यामुळे Jacobi पद्धतीऐवजी Lanczos पुनरावृत्ती पद्धत वापरली जाते.

अल्गोरिदम आणि वैशिष्ट्ये

1950 च्या दशकात C. Lanczos यांनी सुचवलेली ही पद्धत मॅट्रिक्सला त्रिविकर्णी रूपात बदलणारा अल्गोरिदम असून तिची वैशिष्ट्ये पुढीलप्रमाणे आहेत.

  • ही पुनरावृत्ती अभिसरण पद्धत आहे आणि मॅट्रिक्स विरळ ठेवून गणना करता येते.
  • अल्गोरिदममध्ये मॅट्रिक्स-सदिश गुणाकार प्रमुख असल्यामुळे ती समांतरकरणासाठी योग्य आहे.
  • परिमित घटक मेशशी संबंधित भूमितीय प्रदेश विभाजनासाठी ती योग्य आहे.
  • आवश्यक स्वमूल्यांची संख्या किंवा मोड व्याप्ती मर्यादित करून कार्यक्षम गणना करता येते.

Lanczos पद्धतीत प्रारंभिक सदिशापासून सुरुवात करून क्रमाने लंब सदिश तयार केले जातात आणि Krylov उप-अवकाशाचा आधार निर्माण केला जातो.

मर्यादित अचूकतेच्या गणनेत पूर्णांकन त्रुटींमुळे सदिशांची लंबता नष्ट होऊ शकते. हा परिणाम कमी करण्यासाठी FrontISTR च्या अंमलबजावणीत आधी मिळालेल्या Lanczos आधारांशी पुनर्लंबीकरण केले जाते.

भूमितीय अर्थ (Krylov उप-अवकाश)

समीकरण \(\eqref{eq:2.3.8}\) मध्ये पुढील चल-रूपांतरण केल्यास

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]
\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

समस्या पुन्हा लिहिल्यावर

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

मिळते.

कोणत्याही अशून्य सदिश \(q_0\) साठी

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

वरील सदिशांनी व्यापलेला अवकाश, म्हणजे

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

याला Krylov उप-अवकाश म्हणतात.

Lanczos पद्धतीत या Krylov उप-अवकाशाचा आधार क्रमाने तयार केला जातो.

FrontISTR मध्ये वस्तुमान मॅट्रिक्स \(M\) शी संबंधित पुढील अंतर्गुणन

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

वापरून आधार लंब-प्रमाणित केला जातो. खालील आकृत्यांमधील अंतर्गुणन \(\langle x,y\rangle\) आणि नॉर्म \(\|x\|\) हे FrontISTR च्या गणनेत अनुक्रमे हेच \(M\)-अंतर्गुणन आणि त्यास अनुरूप \(M\)-नॉर्म, म्हणजे

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

असे समजले जातात.

कोणत्याही सदिश \(q_0\) वर मॅट्रिक्स \(A\) ने परिभाषित केलेले रेषीय रूपांतरण लागू केले जाते (आकृती 2.3.2).

मॅट्रिक्स \(A\) द्वारे \(q_0\) चे रेषीय रूपांतरण

आकृती 2.3.2　मॅट्रिक्स \(A\) द्वारे \(q_0\) चे रेषीय रूपांतरण

रूपांतरित सदिशाचा मूळ सदिशाबरोबर निर्माण होणाऱ्या अवकाशात लंबकीकरण केला जातो. म्हणजे आकृती 2.3.3 प्रमाणे Gram-Schmidt लंबकीकरण केले जाते. अशा प्रकारे मिळालेला सदिश \(r_1\) मानून त्याचे सामान्यीकरण केल्यावर \(q_1\) मिळतो.

\(q_0\) ला लंब असलेला सदिश \(q_1\)

आकृती 2.3.3　\(q_0\) ला लंब असलेला सदिश \(q_1\)

त्याच पद्धतीने \(q_1\) पासून \(q_2\) मिळतो. या वेळी \(q_2\) हा \(q_1\) आणि \(q_0\) दोघांनाही लंब असतो (आकृती 2.3.4).

\(q_1\) आणि \(q_0\) दोघांनाही लंब असलेला सदिश \(q_2\)

आकृती 2.3.4　\(q_1\) आणि \(q_0\) दोघांनाही लंब असलेला सदिश \(q_2\)

अशा प्रकारे Lanczos पद्धतीत Krylov उप-अवकाशाचा लंब-प्रमाणित आधार क्रमाने तयार केला जातो. सैद्धांतिकदृष्ट्या संबंधित स्वमूल्य समस्येची सममिती वापरून ही पुनरावृत्ती अलीकडील आधार सदिशांचा वापर करणाऱ्या त्रिपदी पुनरावर्तन संबंधाने व्यक्त करता येते.

मात्र मर्यादित अचूकतेच्या गणनेमुळे होणारी लंबतेची हानी कमी करण्यासाठी FrontISTR च्या अंमलबजावणीत आधी मिळालेल्या Lanczos आधारांशी \(M\)-अंतर्गुणन वापरून पुनर्लंबीकरण केले जाते.

त्रिविकर्णीकरण

FrontISTR च्या Lanczos पुनरावृत्तीत मागील विभागात वर्णन केलेल्या \(M\)-अंतर्गुणनाच्या संदर्भात आधार सदिश लंब-प्रमाणित केले जातात; म्हणून

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

हा संबंध पूर्ण होतो.

समीकरण \(\eqref{eq:2.3.10}\) मधील मॅट्रिक्स \(A\) वापरल्यास सैद्धांतिक Lanczos पुनरावृत्ती

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

वरील त्रिपदी पुनरावर्तन संबंधाने व्यक्त होते.

प्रथम \(\alpha_i\) पुढीलप्रमाणे परिभाषित करू.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

नंतर तात्पुरता अवशेष

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

असा ठेवू.

मर्यादित अचूकतेच्या गणनेमुळे होणारी लंबतेची हानी कमी करण्यासाठी FrontISTR च्या अंमलबजावणीत \(\tilde{r}_{i+1}\) चे आधी मिळालेल्या Lanczos आधारांशी \(M\)-अंतर्गुणन वापरून पुनर्लंबीकरण केले जाते. पुनर्लंबीकरणानंतरचा अवशेष \(r_{i+1}\) मानल्यास

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

हे संबंध मिळतात.

Lanczos पुनरावृत्तीने मिळालेले \(m\) आधार सदिश

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

असे एकत्र केल्यास, मर्यादित संख्येच्या Lanczos पुनरावृत्तीनंतर

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

हा संबंध पूर्ण होतो.

येथे \(e_m\) हा \(m\)-मितीय एकक सदिश असून त्याचा केवळ \(m\)-वा घटक 1 आणि इतर सर्व घटक शून्य आहेत; तसेच

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

हा सममित त्रिविकर्णी मॅट्रिक्स आहे.

म्हणून त्रिविकर्णी मॅट्रिक्स \(T_m\) ची स्वमूल्ये काढून मूळ मोठ्या स्वमूल्य समस्येतील स्वमूल्यांचे सन्निकटन करता येते.

संबंधित विषय