वारंवारता प्रतिसाद विश्लेषण¶

समस्या मांडणी¶

वारंवारता प्रतिसाद विश्लेषणात बाह्य बल कालानुसार हार्मोनिक रीतीने बदलत असताना स्थिर स्थितीतील प्रणालीच्या प्रतिसादाचे परिमाण आणि फेज वारंवारता क्षेत्रात मूल्यांकित केले जातात. विचारात घेतलेले गतीसमीकरण अवमंदन नसताना आणि अवमंदन असताना भिन्न चौकट घेत असल्याने, या प्रकरणात प्रथम अवमंदन नसलेल्या मुक्त कंपनातून नैसर्गिक मोड व्युत्पन्न केले जातात आणि त्यांचा मोड-आधार म्हणून उपयोग करून अवमंदन असलेला हार्मोनिक प्रतिसाद विकसित केला जातो.

अवमंदन नसलेले मुक्त कंपन आणि नैसर्गिक मोड¶

अवमंदन विचारात न घेतल्यास गतीसमीकरण पुढीलप्रमाणे आहे.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

हे प्रत्येक नैसर्गिक मोडमध्ये विस्तारल्यास,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

मिळते. हे समीकरण \(\eqref{eq:2.6.1}\) मध्ये बसवल्यास,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

मिळते. या सामान्यीकृत स्वमूल्य समस्येची संख्यात्मक उकल (शिफ्टेड इन्व्हर्स पुनरावृत्ती आणि Lanczos पद्धत) मोडल विश्लेषण मध्ये दिली आहे. येथे मिळणाऱ्या नैसर्गिक वारंवारता आणि नैसर्गिक मोडांपैकी पुढील हार्मोनिक प्रतिसाद विस्तारासाठी आवश्यक गुणधर्म मांडले आहेत.

नैसर्गिक वारंवारतेचे वास्तविक असणे¶

ही नैसर्गिक वारंवारता वास्तविक आहे हे पुढीलप्रमाणे दाखवता येते. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) असे ठेवून समीकरण \(\eqref{eq:2.6.3}\) चे संमिश्र संयुग घेतल्यास समीकरण \(\eqref{eq:2.6.4}\) मिळते.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

याला \(\overline{U}_J^T\) ने गुणल्यास,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

मिळते. समीकरण \(\eqref{eq:2.6.5}\) वरून,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

मिळते. येथे वस्तुमान मॅट्रिक्स धन-निश्चित सममित असल्यामुळे शून्य नसलेल्या स्वसदिशासाठी

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ही अट पूर्ण होते. म्हणून,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

आणि त्यामुळे \(\omega_j^2 = \lambda_j\) हे वास्तविक होते.

नैसर्गिक मोडांची लंबता आणि सामान्यीकरण¶

आता दोन भिन्न मोड विचारात घेऊ.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

यावरून,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

मिळते; स्वमूल्ये भिन्न असल्यास,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

मिळते. म्हणजे भिन्न नैसर्गिक मोड वस्तुमान मॅट्रिक्सच्या दृष्टीने लंब असतात. त्याच मोडसाठी वस्तुमान मॅट्रिक्सच्या दृष्टीने सामान्यीकरण (समीकरण \(\eqref{eq:2.6.12}\)) केल्यास पुढील गणना सुलभ होते.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

अवमंदन असलेला हार्मोनिक प्रतिसाद¶

पुढे अवमंदन विचारात घेतलेल्या वारंवारता प्रतिसाद विश्लेषणाचे सूत्रीकरण दिले आहे. विचारात घेतलेले गतीसमीकरण समीकरण \(\eqref{eq:2.6.13}\) मध्ये आहे.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

येथील अवमंदन पद Rayleigh प्रकारचे मानून \(\eqref{eq:2.6.14}\) प्रमाणे व्यक्त करता येते.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

मोडल विश्लेषणातून मिळालेल्या स्वसदिशांच्या साहाय्याने विस्थापन सदिश वेळ t येथे समीकरण \(\eqref{eq:2.6.15}\) प्रमाणे विस्तारता येतो.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

या वेळी बाह्य बल पद हार्मोनिक दोलकाच्या पुढील स्वरूपात असल्यास

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

\(b_{j}(t)\) निश्चित केले जाते. गतीसमीकरण \(\eqref{eq:2.6.13}\) सक्तीच्या कंपनाच्या स्वरूपात असल्यामुळे

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

पूर्ण होते. \(b_{j}(t)\) च्या विस्तार गुणांकाचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग काढल्यास अनुक्रमे समीकरण \(\eqref{eq:2.6.18}i\) आणि समीकरण \(\eqref{eq:2.6.19}\) चे स्वरूप मिळते.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

असे होते.