Skip to content

क्षणिक उष्णता वहन विश्लेषण

परिमित घटक पद्धतीने घन पदार्थातील उष्णता वहन विश्लेषणासाठी काल-विविक्तीकरण आणि पुनरावृत्ती उकल येथे दिली आहे. सातत्यकातील नियंत्रक समीकरणे आणि सीमा अटींसाठी उष्णता वहन समीकरण पहा.

विविक्त समीकरण (प्रारंभबिंदू)

उष्णता वहन समीकरण (उष्णता वहन समीकरणातील समीकरण (gov_he_main)) Galerkin पद्धतीने विविक्त केल्यास,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

जेथे,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

येथे \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) हे अनुक्रमे उष्णता वहन मॅट्रिक्स (सीमा योगदानातील संवहन व विकिरण पदांसह), वस्तुमान मॅट्रिक्स, उष्णता भार सदिश आणि आकार-फलन मॅट्रिक्स आहेत. पदार्थगुणधर्मांची चिन्हे (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) इ.) उष्णता वहन समीकरण मधील व्याख्यांनुसार आहेत.

काल-विविक्तीकरण आणि पुनरावृत्ती उकल

समीकरण \(\eqref{eq:2.4.8}\) हे अरेषीय आणि क्षणिक समीकरण आहे. वेळेच्या दृष्टीने पश्चगामी Euler पद्धतीने विविक्त करून, वेळ \(t=t_0\) वरील तापमान ज्ञात असताना \(t=t_0+\Delta t\) वरील तापमान पुढील समीकरणाने काढले जाते.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.4.13}\) अंदाजे पूर्ण करणारा तापमान सदिश \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) सुधारून अधिक अचूक उत्तर \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) काढण्याचा विचार करू.

त्यासाठी प्रथम तापमान सदिश पुढीलप्रमाणे व्यक्त केला जातो.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

उष्णता वहन मॅट्रिक्स व तापमान सदिश यांचा गुणाकार, वस्तुमान मॅट्रिक्स इत्यादी पुढीलप्रमाणे अंदाजे व्यक्त केले जातात.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), \(\eqref{eq:2.4.16}\) ही समीकरण \(\eqref{eq:2.4.13}\) मध्ये बसवून दुसऱ्या आणि त्यापुढील क्रमाची पदे वगळल्यास पुढील समीकरण मिळते.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

पुढे डाव्या बाजूचा गुणांक मॅट्रिक्स पुढील समीकरणाने अंदाजे मूल्यांकित केला जातो.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

येथे \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) हा स्पर्शरेषीय कडकपणा मॅट्रिक्स आहे.

शेवटी पुढील समीकरण वापरून पुनरावृत्ती गणना केल्यास वेळ \(t=t_0+\Delta t\) वरील तापमान काढता येते.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

विशेषतः स्थिर-स्थिती विश्लेषणात पुढील समीकरण वापरून पुनरावृत्ती गणना केली जाते.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

क्षणिक विश्लेषणात काल-वाढ \(\Delta t\) निवडताना, काल-विविक्तीकरणासाठी अव्यक्त पद्धत वापरलेली असल्यामुळे सामान्यतः तिच्या आकारावर स्थैर्याची मर्यादा नसते. मात्र \(\Delta t\) खूप मोठा असल्यास पुनरावृत्ती गणनेत अभिसरणासाठी आवश्यक पुनरावृत्तींची संख्या वाढते. सामान्यतः \(\Delta t\) खूप मोठा असल्यास पुनरावृत्ती संख्या वाढते. अंमलबजावणीत अवशेष सदिशाचा आकार निरीक्षणात ठेवला जातो; अभिसरण मंद असल्यास \(\Delta t\) कमी केला जातो आणि पुनरावृत्ती कमी असल्यास \(\Delta t\) वाढवला जातो. यासाठी स्वयंचलित वाढ नियंत्रण वापरले जाते (→ तपशीलांसाठी स्टेप नियंत्रण पहा).

संबंधित विषय