Skip to content

भूमितीय सीमा अटींची प्रक्रिया

Newton-Raphson पद्धतीत प्रत्येक पुनरावृत्तीत सोडविल्या जाणाऱ्या रेषीय समीकरणात \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) भूमितीय सीमा अटी (विस्थापन बंधने) अद्याप समाविष्ट केलेल्या नसतात. या प्रकरणात, विस्थापन बंधन \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) दिलेल्या स्वातंत्र्य-अंशांसाठी, पुनरावृत्तीनंतरचे विस्थापन निर्धारित बंधन-मूल्यापर्यंत पोहोचावे यासाठी कडकपणा मॅट्रिक्स \(\boldsymbol{K}\) आणि अवशेष सदिश \(\boldsymbol{R}\) कसे बदलायचे हे दर्शविले आहे. बहुबिंदू बंधने (MPC) आणि संपर्काशी संबंधित अरेषीय बंधने वेगळ्या प्रक्रियेत हाताळली जातात; त्यासाठी बहुबिंदू बंधन आणि संपर्क पहा.

विस्थापन बंधित स्वातंत्र्य-अंश अज्ञात चल म्हणून ठेवण्याची पद्धत

भूमितीय सीमा अट दिलेल्या नोडचे विस्थापन आता अज्ञात नसून निर्धारित मूल्य \(\bar{u}_i\) ला निश्चित असते. त्यांना स्थिरांक मानून \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) या रेषीय समीकरणातून वगळणे शक्य आहे; परंतु FrontISTR मध्ये बंधित स्वातंत्र्य-अंश इतर स्वातंत्र्य-अंशांप्रमाणेच दुरुस्ती सदिश \(d\boldsymbol{u}\) मध्ये ठेवले जातात आणि \(\boldsymbol{K}\) व \(\boldsymbol{R}\) बदलून बंधन लागू केले जाते.

या पद्धतीत गुणांक मॅट्रिक्सचे परिमाण आणि स्वातंत्र्य-अंशांचा क्रम बंधन आहे की नाही यावर बदलत नाही. त्यामुळे चल वगळल्यानंतर रिकाम्या झालेल्या ओळी व स्तंभ पुन्हा संकुचित करण्याची आवश्यकता नसते. विरळ मॅट्रिक्स स्वरूपात गुणांक मॅट्रिक्स साठविणाऱ्या अंमलबजावणीत ही पुनर्रचना गुंतागुंतीची ठरते; म्हणून FrontISTR केवळ गुणांक मॅट्रिक्स आणि उजव्या बाजूचे अद्यतन करून बंधन लागू करणारी पद्धत वापरते.

Newton-Raphson दुरुस्ती राशीचे लक्ष्य मूल्य

विस्थापन-बद्ध स्वातंत्र्य-अंश \(i\) साठी Newton-Raphson पुनरावृत्तीत शोधली जाणारी दुरुस्ती रक्कम \(du_i\) पुढीलप्रमाणे असावी:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{पहिली पुनरावृत्ती}) \\ 0 & (\text{दुसरी व त्यानंतरची पुनरावृत्ती}) \end{cases} \]

हे साध्य करण्यासाठी \(\boldsymbol{K}\) आणि \(\boldsymbol{R}\) बदलले जातात. त्यामुळे पहिल्या पुनरावृत्तीत विस्थापन वाढ निर्धारित मूल्य \(\bar{u}_i\) पर्यंत पोहोचते आणि दुसऱ्या व पुढील पुनरावृत्तींमध्ये दुरुस्ती रक्कम \(0\) राहून बंधन-मूल्य कायम राखले जाते.

मॅट्रिक्स आणि अवशेष सदिश परिवर्तन प्रक्रिया

वरील लक्ष्य \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) या रेषीय समीकरणाचे स्वरूप कायम ठेवून पुढील दोन परिवर्तनांनी साध्य केले जाते.

  1. \(i\) व्या ओळीचे विकर्णीकरण: \(du_i\) चा गुणांक असलेला विकर्ण घटक \(K_{ii}\) हा \(1\) ने, इतर सर्व गुणांक \(K_{ij}\ (j \not= i)\) हे \(0\) ने बदलले जातात आणि उजवी बाजू \(R_i \to d\bar{u}_i\) केली जाते. त्यामुळे \(i\) व्या ओळीचे समीकरण \(du_i = d\bar{u}_i\) होते.
  2. \(j(\not= i)\) व्या ओळीतून पद उजवीकडे नेणे: \(j(\not= i)\) व्या ओळीत \(K_{ji} \not= 0\) असल्यास \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) हे पद उजव्या बाजूस नेले जाते. म्हणजे उजव्या बाजूतून \(K_{ji} d\bar{u}_i\) वजा करून \(du_i\) चा गुणांक \(K_{ji}\) हा \(0\) केला जातो.

घटक रूपात, परिवर्तनापूर्वी आणि नंतरची समीकरणे पुढीलप्रमाणे आहेत.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

परिवर्तनानंतरच्या गुणांक मॅट्रिक्स आणि उजव्या बाजूस अनुक्रमे \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) असे लिहिल्यास, शेवटी सोडवायचे रेषीय समीकरण

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

असे होते. अनेक बंधित स्वातंत्र्य-अंश असल्यास प्रत्येक \(i\) साठी वरील 1 आणि 2 क्रमाने लागू केले जातात.

विरळ मॅट्रिक्स अंमलबजावणीतील प्रक्रिया क्षेत्र

अंमलबजावणीत गुणांक मॅट्रिक्स \(\boldsymbol{K}\) विरळ मॅट्रिक्स स्वरूपात साठविला जातो. म्हणून वरील प्रक्रिया 2 मधील \(j(\not= i)\) व्या ओळीची प्रक्रिया फक्त \(i\) व्या स्तंभात शून्येतर घटक असलेल्या ओळींवर, म्हणजे एलिमेंटमार्फत बंधित स्वातंत्र्य-अंश \(i\) शी जोडलेल्या नोडच्या स्वातंत्र्य-अंशांवरच केली जाते. जोडणी नसलेल्या स्वातंत्र्य-अंशांसाठी \(K_{ji} = 0\) असल्याने पद उजवीकडे नेल्यावर उजवी बाजू बदलत नाही. या मर्यादेमुळे एकूण नोडसंख्येच्या तुलनेत केवळ स्थानिक क्रियांनी बंधन प्रक्रिया पूर्ण होते.

संबंधित विषय