Skip to content

साध्या भूमितीय मॉडेलद्वारे पडताळणी

प्रत्यास्थ स्थिर विश्लेषण

या पडताळणीत आकृती 9.1.1 प्रमाणे मेश केलेला कॅन्टिलिव्हर बीम वापरला आहे. पडताळणीसाठी आकृती 9.1.2 मधील भार अटी बदलून exA ते exG अशी सात प्रकरणे विश्लेषित केली. exG मध्ये exA सारखीच भार अट असून थेट सॉल्वर वापरलेला पडताळणी प्रकरण आहे.

तक्ते 9.1.1 ते 9.1.7 मध्ये प्रत्येक प्रकरणाचे पडताळणी परिणाम दिले आहेत.

कॅन्टिलिव्हर बीमचे मेश उदाहरण (षट्फलकीय घटक) आकृती 9.1.1 कॅन्टिलिव्हर बीमचे मेश उदाहरण (षट्फलकीय घटक)
(a) exA,G: केंद्रित भार
(b) exD: गुरुत्व
(c) exB: पृष्ठ-वितरित भार
(d) exE: केंद्रापसारी बल
(e) exC: घनफळ भार
(f) exF: उष्णताविषयक भार
बाब मूल्य
यंग मापांक \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
लांबी \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
पॉइसन गुणोत्तर \(\nu = 0.3\)
अनुप्रस्थ छेदाचे क्षेत्रफळ \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
वस्तुमान घनता \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
क्षेत्रफळाचे द्वितीय आघूर्ण \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
गुरुत्वीय त्वरण \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
रेषीय औष्णिक प्रसरण गुणांक \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

आकृती 9.1.2 कॅन्टिलिव्हर-बीम मॉडेलच्या पडताळणी अटी

तक्ता 9.1.1　exA:केंद्रित-भार समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:\(\delta_{max}= -1.000\) टीप
NASTRAN व्यावसायिक सॉफ्टवेअर FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99नोड
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525नोड
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99नोड
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381नोड
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99नोड
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220नोड
A731 40 - - -0.991 33नोड / थेट पद्धत
A741 20 - - -0.996 33नोड / थेट पद्धत

तक्ता 9.1.2　exB:पृष्ठ-वितरित भार समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:\(\delta_{max}= -3.750\) टीप
NASTRAN व्यावसायिक सॉफ्टवेअर FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99नोड
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525नोड
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99नोड
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381नोड
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99नोड
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220नोड
B731 40 - - -3.722 33नोड / थेट पद्धत
B741 20 - - -3.743 33नोड / थेट पद्धत

तक्ता 9.1.3　exC:घनफळ भार समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:\(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) टीप
NASTRAN व्यावसायिक सॉफ्टवेअर FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99नोड
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525नोड
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99नोड
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381नोड
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99नोड
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220नोड
C731 40 - - -2.922e-5 33नोड / थेट पद्धत
C741 20 - - -2.938e-5 33नोड / थेट पद्धत

तक्ता 9.1.4　exD:गुरुत्व समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:\(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) टीप
NASTRAN व्यावसायिक सॉफ्टवेअर FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99नोड
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525नोड
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99नोड
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381नोड
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99नोड
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220नोड
D731 40 - - -2.922e-5 33नोड / थेट पद्धत
D741 20 - - -2.938e-5 33नोड / थेट पद्धत

तक्ता 9.1.5　exE:केंद्रापसारी-बल समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:\(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) टीप
NASTRAN व्यावसायिक सॉफ्टवेअर FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99नोड
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525नोड
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99नोड
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381नोड
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99नोड
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220नोड
E731 40 - - 2.619e-3 33नोड / थेट पद्धत
E741 20 - - 2.622e-3 33नोड / थेट पद्धत

तक्ता 9.1.6　exF:उष्णताविषयक-प्रतिबल भार समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:\(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) टीप
NASTRAN व्यावसायिक सॉफ्टवेअर FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99नोड
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525नोड
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99नोड
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381नोड
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99नोड
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220नोड

तक्ता 9.1.7　exG:थेट पद्धतीचे पडताळणी परिणाम(केंद्रित-भार समस्या)

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:δmax= -1.000 टीप
NASTRAN व्यावसायिक सॉफ्टवेअर FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99नोड
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525नोड
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99नोड
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381नोड
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99नोड
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220नोड
G731 40 - - -0.991 33नोड / थेट पद्धत
G741 20 - - -0.996 33नोड / थेट पद्धत

अरेषीय स्थिर विश्लेषण

(2-1) exnl1: भूमितीय अरेषीय विश्लेषण

exI पडताळणी प्रकरणाचे मॉडेल हे exA ते exG पडताळणी प्रकरणांच्या मॉडेलसारखेच आहे. आकृती 9.1.3 मध्ये पडताळणी मॉडेलचे रूपरेषाचित्र दाखवले आहे. या मॉडेलवर भूमितीय अरेषीय विश्लेषण केले जाते. पडताळणी परिणाम तक्ता 9.1.8 मध्ये दिले आहेत.

अरेषीय गणनेत \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\) हा संदर्भ भार वापरून, \(0.1P\) भारवाढीसह 10 भार टप्प्यांत गणना केली जाते.

पडताळणी मॉडेल आकृती 9.1.3 पडताळणी मॉडेल

तक्ता 9.1.8 exI: पडताळणी परिणाम (कमाल विक्षेप इतिहास)

प्रकरण नाव 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 रेषीय समाधान
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: इलॅस्टोप्लास्टिक विकृती विश्लेषण

ही पडताळणी समस्या National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) च्या NAFEMS Test NL1 वर आधारित आहे, आणि भूमितीय अरेषीयता व अनेक कठिणीकरण नियम समाविष्ट करून इलॅस्टोप्लास्टिक विकृती विश्लेषण केले. आकृती 9.1.4 मध्ये विश्लेषण मॉडेल दाखवले आहे.

इलॅस्टोप्लास्टिक विकृती विश्लेषण मॉडेल

आकृती 9.1.4 इलॅस्टोप्लास्टिक विकृती विश्लेषण मॉडेल

(1) पडताळणी अटी

बाब मूल्य
पदार्थ Mises इलॅस्टोप्लास्टिक पदार्थ
यंग मापांक \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
पॉइसन गुणोत्तर \(\nu=0.25\)
प्रारंभिक यील्ड प्रतिबल \(5\ \mathrm{MPa}\)
प्रारंभिक यील्ड विकृती \(0.25\times10^{-4}\)
समदैशिक कठिणीकरण गुणांक \(H_i = 0\) किंवा \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) सीमा अटी

बाब सीमा अट मूल्य
स्टेप1 नोड्स 2 आणि 3 वर निर्दिष्ट विस्थापन \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
स्टेप2 नोड्स 2 आणि 3 वर निर्दिष्ट विस्थापन \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
स्टेप3 नोड्स 3 आणि 4 वर निर्दिष्ट विस्थापन \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
स्टेप4 नोड्स 3 आणि 4 वर निर्दिष्ट विस्थापन \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
स्टेप5 नोड्स 2 आणि 3 वर निर्दिष्ट विस्थापन \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
स्टेप6 नोड्स 2 आणि 3 वर निर्दिष्ट विस्थापन \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
स्टेप7 नोड्स 3 आणि 4 वर निर्दिष्ट विस्थापन \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
स्टेप8 नोड्स 3 आणि 4 वर निर्दिष्ट विस्थापन \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

येथे न दाखवलेले सर्व नोड्स पूर्णपणे बंधित आहेत. या समस्येचे सैद्धांतिक समाधान पुढीलप्रमाणे आहे.

विकृती (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 समतुल्य प्रतिबल (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

त्याच्या तुलनेत गणना परिणाम पुढीलप्रमाणे आहेत.

विकृती (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 समतुल्य प्रतिबल (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

संपर्क विश्लेषण (1)

ही पडताळणी समस्या National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) च्या संपर्क पॅच चाचणी CGS-4 वर आधारित आहे, आणि घर्षण असलेल्या मर्यादित सरकणाऱ्या संपर्क कार्याची चाचणी करते. आकृती 9.1.5 मध्ये विश्लेषण मॉडेल दाखवले आहे.

संपर्क विश्लेषण मॉडेल

आकृती 9.1.5 संपर्क-विश्लेषण मॉडेल

या समस्येची समतोल अट पुढीलप्रमाणे आहे.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

चिकट घर्षण अवस्थेत घर्षण बल

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

असते, तर सरकत्या घर्षण अवस्थेत

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

असे मिळते.

गणना परिणाम आणि विश्लेषणात्मक समाधान यांची तुलना पुढीलप्रमाणे आहे.

\(\mu\) \(F/G\)विश्लेषणात्मक समाधान \(F/G\)गणना परिणाम
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

संपर्क विश्लेषण (2): Hertz संपर्क समस्या

या पडताळणीत अनंत लांबीचा सिलिंडर आणि अनंत समतल यांची Hertz संपर्क समस्या विश्लेषित केली. सिलिंडरची त्रिज्या \(R = 8\ \mathrm{mm}\) आहे; विकृत होणाऱ्या पिंडाचे यंग मापांक \(E\) आणि पॉइसन गुणोत्तर \(\mu\) अनुक्रमे \(1100\ \mathrm{MPa}\) आणि \(0.0\) आहेत. संपर्क क्षेत्रफळ हा सिलिंडरच्या त्रिज्येपेक्षा पुरेसा लहान आहे असे गृहीत धरून आणि सममिती विचारात घेऊन सिलिंडरच्या चतुर्थांश मॉडेलने विश्लेषण केला.

Hertz संपर्क समस्या विश्लेषण मॉडेल आकृती 9.1.6 Hertz संपर्क समस्या विश्लेषण मॉडेल

(1) संपर्क त्रिज्या पडताळणी परिणाम

संपर्क त्रिज्या मोजण्याचे सैद्धांतिक समीकरण पुढीलप्रमाणे आहे.

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

येथे,

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

आहे. या गणनेत दाब \(F=100\) असताना संपर्क त्रिज्या \(a=1.36\) मिळतो.

आकृती 9.1.7 मध्ये संपर्क बिंदूंवरील समतुल्य नोडल बले दाखवले आहेत. या नोडल-बल वितरणाचे एक्स्ट्रापोलेशन करून संपर्क त्रिज्या मिळतो.

संपर्क बिंदूवरील समतुल्य नोडल-बल वितरण

आकृती 9.1.7 संपर्क बिंदूंवरील समतुल्य नोडल-बल वितरण

(2) कमाल कातरण प्रतिबल पडताळणी परिणाम

सैद्धांतिक समाधानात संपर्क स्थान

\[ z = 0.78a \]

येथे कमाल कातरण प्रतिबल

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

आहे. या गणनेच्या अटींमध्ये

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

असे मिळते. त्याच्या तुलनेत,

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

असा गणना परिणाम मिळाला.

कातरण-प्रतिबल वितरण(कमाल=15.6) आकृती 9.1.8 कातरण-प्रतिबल वितरण (कमाल = 15.6)

(3) मोडल विश्लेषण

exJ ते exK पडताळणी प्रकरणांची मॉडेल्स exA ते exG पडताळणी प्रकरणांच्या मॉडेल्ससारखीच आहेत. आकृती 9.1.9 मध्ये पडताळणी मॉडेलचे रूपरेषाचित्र दाखवले आहे. या मॉडेलवर मोडल विश्लेषण केला. पहिल्या तीन मोड्सच्या नैसर्गिक वारंवारता काढल्या आहेत. exJ मध्ये पुनरावृत्ती सॉल्वर आणि exK मध्ये थेट सॉल्वर वापरला आहे. पडताळणी परिणाम तक्ते 9.1.9 ते 9.1.12 मध्ये दिले आहेत.

पडताळणी मॉडेल आकृती 9.1.9 पडताळणी मॉडेल

कॅन्टिलिव्हर बीमच्या नैसर्गिक वारंवारता पुढील समीकरणांनी मिळतात.

पहिली नैसर्गिक वारंवारता

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

दुसरी नैसर्गिक वारंवारता

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

तिसरी नैसर्गिक वारंवारता

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

पडताळणी मॉडेलची वैशिष्ट्य मूल्ये

बाब मूल्य
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

आहेत. त्यामुळे तिसऱ्या मोडपर्यंतच्या नैसर्गिक वारंवारता पुढीलप्रमाणे आहेत.

मोड क्रमांक मूल्य
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

तक्ता 9.1.9　exJ:पुनरावृत्ती पद्धतीतील पडताळणी परिणाम (पहिली नैसर्गिक वारंवारता)

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:n1=3.609e3 टीप
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J232 40 3.596e3 3.593e3 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J241 20 3.586e3 4.245e3 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J242 20 3.590e3 3.587e3 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J341 240 5.442e3 5.429e3 99नोड
J342 240 3.621e3 3.595e3 525नोड
J351 80 3.695e3 4.298e3 99नोड
J352 80 3.610e3 3.609e3 381नोड
J361 40 3.679e3 3.619e3 99नोड
J362 40 3.611e3 3.606e3 220नोड

तक्ता 9.1.10　exJ:पुनरावृत्ती पद्धतीतील पडताळणी परिणाम (दुसरी नैसर्गिक वारंवारता)

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:n2=2.262e4 टीप
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J232 40 2.163e4 2.156e4 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J241 20 2.149e4 2.516e4 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J242 20 2.149e4 2.143e4 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J341 240 3.145e4 3.138e4 99नोड
J342 240 2.171e4 2.155e4 525नोड
J351 80 2.208e4 2.546e4 99नोड
J352 80 2.156e4 2.149e4 381नोड
J361 40 2.202e4 2.168e4 99नोड
J362 40 2.154e4 2.144e4 220नोड

टीप: 3D मॉडेलमध्ये पहिला आणि दुसरा मोड एकाच नैसर्गिक वारंवारतेशी संबंधित असल्यामुळे, तक्त्यात दुसरी नैसर्गिक वारंवारता म्हणून तिसरी गणना केलेली नैसर्गिक वारंवारता दिली आहे.

तक्ता 9.1.11　exK:थेट पद्धतीतील पडताळणी परिणाम (पहिली नैसर्गिक वारंवारता)

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:n1=3.609e3 टीप
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J232 40 3.596e3 3.593e3 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J241 20 3.586e3 4.245e3 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J242 20 3.590e3 3.587e3 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J341 240 5.442e3 5.429e3 99नोड
J342 240 3.621e3 3.595e3 525नोड
J351 80 3.695e3 4.298e3 99नोड
J352 80 3.610e3 3.609e3 381नोड
J361 40 3.679e3 3.619e3 99नोड
J362 40 3.611e3 3.606e3 220नोड
J731 40 - 3.606e3 220नोड
J741 20 - 3.594e3 220नोड

तक्ता 9.1.12　exK:थेट पद्धतीतील पडताळणी परिणाम (दुसरी नैसर्गिक वारंवारता)

प्रकरण नाव घटक संख्या अपेक्षित मूल्य:n2=2.262e4 टीप
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J232 40 2.163e4 2.156e4 105नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J241 20 2.149e4 2.516e4 33नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J242 20 2.149e4 2.143e4 85नोड / समतल-प्रतिबल समस्या
J341 240 3.145e4 3.138e4 99नोड
J342 240 2.171e4 2.155e4 525नोड
J351 80 2.208e4 2.546e4 99नोड
J352 80 2.156e4 2.149e4 381नोड
J361 40 2.202e4 2.168e4 99नोड
J362 40 2.154e4 2.144e4 220नोड
J731 40 - 2.156e4 220नोड
J741 20 - 2.153e4 220नोड

टीप: 3D मॉडेलमध्ये पहिला आणि दुसरा मोड एकाच नैसर्गिक वारंवारतेशी संबंधित असल्यामुळे, तक्त्यात दुसरी नैसर्गिक वारंवारता म्हणून तिसरी गणना केलेली नैसर्गिक वारंवारता दिली आहे.

(4) उष्णता वहन विश्लेषण

स्थिर उष्णता-वहन विश्लेषणाच्या सामान्य अटी आकृती 9.1.10 मध्ये दिल्या आहेत. exM ते exT पडताळणी प्रकरणांच्या स्वतंत्र अटी आकृती 9.1.11 मध्ये दिल्या आहेत. मेश विभागणी exA सारखेच वापरले आहे.

तक्ते 9.1.13 ते 9.1.20 मध्ये प्रत्येक प्रकरणाचे तापमान-वितरण पडताळणी परिणाम दिले आहेत.

उष्णता-वहन विश्लेषण
AB मधील लांबी \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
अनुप्रस्थ छेदाचे क्षेत्रफळ \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

उष्णता चालकतेचे तापमान-अवलंबित्व

उष्णता चालकता \(\lambda\) (W/(m·K)) तापमान (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

आकृती 9.1.10 स्थिर उष्णता-वहन विश्लेषण पडताळणी अटी
exM:रेषीय पदार्थ
exN:निर्दिष्ट-तापमान समस्या
exO:केंद्रित उष्णता-फ्लक्स समस्या
exP:वितरित उष्णता-फ्लक्स समस्या
exQ:संवहनी उष्णता-हस्तांतरण समस्या
exR:विकिरणीय उष्णता-हस्तांतरण समस्या
exS:आयतनात्मक उष्णता-निर्मिती समस्या
exT:अंतर्गत-गॅप समस्या

आकृती 9.1.11 प्रकरण-निहाय विश्लेषण अटी

तक्ता 9.1.13　exM:रेषीय पदार्थासह स्थिर गणनेचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक प्रकार घटक/नोड्स A-टोकापासून अंतर (m)
A-टोक 2.0 4.0 6.0 8,0 B-टोक
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

तक्ता 9.1.14　exN:निर्दिष्ट-तापमान समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक प्रकार घटक/नोड्स A-टोकापासून अंतर (m)
A-टोक 2.0 4.0 6.0 8,0 B-टोक
व्यावसायिक सॉफ्टवेअर 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

तक्ता 9.1.15　exO:केंद्रित उष्णता-फ्लक्स समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक प्रकार घटक/नोड्स A-टोकापासून अंतर (m)
A-टोक 2.0 4.0 6.0 8,0 B-टोक
व्यावसायिक सॉफ्टवेअर 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

तक्ता 9.1.16　exP:वितरित उष्णता-फ्लक्स समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक प्रकार घटक/नोड्स A-टोकापासून अंतर (m)
A-टोक 2.0 4.0 6.0 8,0 B-टोक
व्यावसायिक सॉफ्टवेअर 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

तक्ता 9.1.17　exQ:संवहनी उष्णता-हस्तांतरण समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक प्रकार घटक/नोड्स A-टोकापासून अंतर (m)
A-टोक 2.0 4.0 6.0 8,0 B-टोक
व्यावसायिक सॉफ्टवेअर 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

तक्ता 9.1.18　exR:विकिरणीय उष्णता-हस्तांतरण समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक प्रकार घटक/नोड्स A-टोकापासून अंतर (m)
A-टोक 2.0 4.0 6.0 8,0 B-टोक
व्यावसायिक सॉफ्टवेअर 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

तक्ता 9.1.19　exS:आयतनात्मक उष्णता-निर्मिती समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक प्रकार घटक/नोड्स A-टोकापासून अंतर (m)
A-टोक 2.0 4.0 6.0 8,0 B-टोक
व्यावसायिक सॉफ्टवेअर 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

तक्ता 9.1.20　exT:अंतर्गत-गॅप समस्येचे पडताळणी परिणाम

प्रकरण नाव घटक प्रकार घटक/नोड्स A-टोकापासून अंतर (m)
A-टोक 2.0 4.0 6.0 8,0 B-टोक
व्यावसायिक सॉफ्टवेअर 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

रेषीय गतिशील विश्लेषण

exW मध्ये (1) प्रमाणे कॅन्टिलिव्हर बीमवर रेषीय गतिशील विश्लेषण केला. आकृती 9.1.12 मध्ये पडताळणी अटी दिल्या आहेत. समान मेशवर काल-वाढीचा परिणामांवरील प्रभाव तपासला. गतिशील विश्लेषणासाठी अव्यक्त आणि स्पष्ट दोन्ही पद्धती वापरल्या आणि घटक प्रकार 361 व 342 वापरले. पडताळणी परिणाम तक्ता 9.1.22 आणि आकृत्या 9.1.13 ते 9.1.15 मध्ये दिले आहेत.

विश्लेषण मॉडेल विश्लेषण मॉडेल

बाह्य बल F चा काल-इतिहास बाह्य बल F चा काल-इतिहास

उत्तेजन-बिंदू विस्थापनाचे सैद्धांतिक समाधान:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

येथे,

\[ \(F_0:\ \text{स्थिर सदिश}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

आकृती 9.1.12 रेषीय गतिशील विश्लेषण पडताळणी अटी

पडताळणी अटी:
लांबी \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
सेक्शन रुंदी \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
सेक्शन उंची \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
यंग मापांक \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
पॉइसन गुणोत्तर \(\nu\) \(0.3\)
घनता \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
गुरुत्वीय त्वरण \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
बाह्य बल \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
घटक प्रथम-क्रम षट्फलकीय घटक
द्वितीय-क्रम चतुष्फलकीय घटक
समाधान पद्धत अव्यक्त पद्धत
Newmark-\(\beta\) पद्धतीचा प्राचल\(\gamma\) 1/2
Newmark-\(\beta\) पद्धतीचा प्राचल\(\beta\) 1/4
स्पष्ट पद्धत
डॅम्पिंग नाही

तक्ता 9.1.21　रेषीय गतिशील विश्लेषणाच्या पडताळणी अटी (पुढे)

प्रकरणाचे नाव घटक प्रकार नोडांची संख्या घटकांची संख्या समाधान पद्धत काल-वाढ \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.0E-07

तक्ता 9.1.22　exW: कॅन्टिलिव्हर बीमवरील रेषीय गतिशील विश्लेषणाचे पडताळणी परिणाम

प्रकरणाचे नाव घटक प्रकार नोडांची संख्या घटकांची संख्या पद्धत \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) वेळी z-दिशेतील विस्थापन (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 अव्यक्त पद्धत 1.9753 अपसरण
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 स्पष्ट पद्धत 1.9753 अपसरण

कॅन्टिलिव्हर बीम विकृती आलेख आणि समतुल्य-प्रतिबल वितरण आकृती 9.1.13 कॅन्टिलिव्हर बीम विकृती आणि समतुल्य-प्रतिबल वितरण

(a) घटक प्रकार 361: अव्यक्त पद्धत (a) घटक प्रकार 361: अव्यक्त पद्धत

(b) घटक प्रकार 361: स्पष्ट पद्धत (b) घटक प्रकार 361: स्पष्ट पद्धत

आकृती 9.1.14 उत्तेजन-बिंदू विस्थापन \(u_z\) चा काल-इतिहास

(a) घटक प्रकार 342: अव्यक्त पद्धत (a) घटक प्रकार 342: अव्यक्त पद्धत

(b) घटक प्रकार 342: स्पष्ट पद्धत (b) घटक प्रकार 342: स्पष्ट पद्धत

आकृती 9.1.15 उत्तेजन-बिंदू विस्थापन \(u_z\) चा काल-इतिहास

वारंवारता प्रतिसाद विश्लेषण

या पडताळणीत कॅन्टिलिव्हर बीमवर वारंवारता-प्रतिसाद विश्लेषण करून सर्वसाधारण वापराच्या व्यावसायिक सॉफ्टवेअरच्या परिणामांशी तुलना केली. विश्लेषण मॉडेल आणि पडताळणी अटी खाली दिल्या आहेत.

विश्लेषण अटी:
यंग मापांक \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
पॉइसन गुणोत्तर \(\nu\) \(0.3\)
घनता \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
गुरुत्वीय त्वरण \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
भार \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Rayleigh डॅम्पिंग प्राचल \(R_m\) \(0.0\)
Rayleigh डॅम्पिंग प्राचल \(R_k\) \(7.2E-07\)

आकृती 9.1.16　विश्लेषण मॉडेल(प्रथम-क्रम चतुष्फलकीय घटक(घटक संख्या126、नोड संख्या55))

मोडल विश्लेषणातून मिळालेल्या पहिल्या पाच नैसर्गिक वारंवारता आणि उत्तेजन-बिंदूचा वारंवारता प्रतिसाद खाली दिला आहे.

मोड FrontISTR व्यावसायिक सॉफ्टवेअर
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

उत्तेजन-बिंदूच्या विस्थापनाच्या आयामाचे वारंवारतेवरील अवलंबित्व आकृती 9.1.17 उत्तेजन-बिंदूच्या विस्थापनाच्या आयामाचे वारंवारतेवरील अवलंबित्व