Langkau tajuk talian

Analisis Statik Elastik Linear (Pengenalan)

Bahagian ini membentangkan formulasi analisis statik elastik berdasarkan teori ubah bentuk infinitesimal. Keanjalan linear diandaikan bagi hubungan tegasan-terikan. Bab ini bertujuan sebagai pengenalan untuk memahami struktur keseluruhan analisis struktur unsur terhingga dan disusun sebagai bab yang berdiri sendiri.

Untuk teori umum prinsip kerja maya (bentuk konfigurasi semasa, bentuk konfigurasi awal dan pengurangan kepada ubah bentuk infinitesimal), lihat Prinsip Kerja Maya; untuk butiran hukum juzuk elastik linear, lihat Keanjalan Linear; untuk konvensyen notasi tensor dan Voigt, lihat Notasi Tensor dan Asas Matematik; untuk formulasi umum ubah bentuk terhingga, lihat Gerakan, Ubah Bentuk dan Terikan; dan untuk kaedah penyelesaian masalah tak linear, lihat Matriks Kekakuan Tangen.

Persamaan Asas

Di bawah andaian ubah bentuk infinitesimal dan keanjalan linear, masalah nilai sempadan dalam mekanik pepejal terdiri daripada persamaan keseimbangan, syarat sempadan mekanik dan syarat sempadan geometri (syarat sempadan hakiki) (lihat Rajah 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{dalam} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{pada} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{pada} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Di sini, \(\boldsymbol{\sigma}\) ialah tegasan Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) ialah daya jasad per unit isipadu, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) ialah traksi permukaan yang ditetapkan, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) ialah sesaran yang ditetapkan, dan \(S_t, S_u\) ialah sempadan mekanik dan geometri.

Masalah nilai sempadan dalam mekanik pepejal (masalah ubah bentuk infinitesimal)

Rajah 2.1.1 Masalah nilai sempadan dalam mekanik pepejal (masalah ubah bentuk infinitesimal)

Dengan menggunakan operator kecerunan simetri, hubungan terikan-sesaran ialah

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Persamaan juzuk elastik linear ialah

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

di mana \(\boldsymbol{C}\) ialah tensor keanjalan tertib keempat.

Prinsip Kerja Maya

Bentuk umum prinsip kerja maya (bentuk konfigurasi semasa, bentuk konfigurasi awal dan pengurangan kepada ubah bentuk infinitesimal) diringkaskan dalam Prinsip Kerja Maya. Di bawah andaian ubah bentuk infinitesimal dan keanjalan linear, bentuk lemah ialah

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{pada} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Dengan menggantikan persamaan juzuk \eqref{eq:2.1.5} dan dalam notasi Voigt menulis \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), diperoleh bentuk yang digunakan secara langsung untuk pendiskretan:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

diperoleh, di mana \(D\) ialah matriks elastik yang ditakrifkan dalam Keanjalan Linear. Persamaan \eqref{eq:2.1.10} dan \eqref{eq:2.1.7} membentuk prinsip kerja maya yang didiskretkan di bawah.

Pendiskretan dan Pemasangan Persamaan Global

Pendiskretan prinsip kerja maya dalam Pers.\( \eqref{eq:2.1.10} \) ke atas unsur terhingga memberikan

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Bagi setiap unsur, medan sesaran diinterpolasi menggunakan sesaran nod yang membentuk unsur seperti berikut.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Terikan kemudiannya diberikan menggunakan Pers.\(\eqref{eq:2.1.4}\) seperti berikut.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Menggantikan Pers.\(\eqref{eq:2.1.12}\) dan \(\eqref{eq:2.1.13}\) ke dalam Pers.\(\eqref{eq:2.1.11}\) memberikan

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Persamaan \(\eqref{eq:2.1.14}\) boleh ditulis sebagai

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Di sini, komponen matriks dan vektor yang ditakrifkan oleh Pers.\(\eqref{eq:2.1.16}\) dan \(\eqref{eq:2.1.17}\) boleh dikira bagi setiap unsur terhingga dan dipasang melalui tindihan.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Oleh sebab Pers.\(\eqref{eq:2.1.15}\) berlaku untuk sesaran maya sebarang \(\delta \boldsymbol{U}\), persamaan berikut diperoleh.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Sementara itu, syarat sempadan sesaran dalam Pers.\(\eqref{eq:2.1.3}\) dinyatakan seperti berikut.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Dengan menyelesaikan Pers.\(\eqref{eq:2.1.18}\) tertakluk kepada syarat kekangan dalam Pers.\(\eqref{eq:2.1.19}\), sesaran nod \(\boldsymbol{U}\) boleh ditentukan.

Topik Berkaitan