Langkau tajuk talian

Elastoplastisiti

Bab ini menerangkan rangka kerja hukum konstitutif elastoplastik yang digunakan oleh FrontISTR. Untuk butiran pemilihan dan spesifikasi input, lihat 03_material dalam bahagian Fungsi.

Fenomena (Ubah Bentuk Plastik)

TBD (akan ditulis dalam fasa seterusnya).

Rangka Kerja Hukum Konstitutif

FrontISTR menggunakan persamaan konstitutif elastoplastik berdasarkan hukum aliran bersekutu. Persamaan konstitutif menyatakan hubungan antara kadar Jaumann bagi tegasan Kirchhoff dan tensor kadar ubah bentuk, dan analisis ubah bentuk menggunakan formulasi Updated Lagrange.

Andaikan kriteria luluh bagi bahan elastoplastik diberikan seperti berikut.

Kriteria luluh awal:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Kriteria luluh berikutnya:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

dengan

  • \(F\): fungsi luluh
  • \(\sigma_{y_0}\): tegasan luluh awal
  • \(\sigma_y\): tegasan luluh berikutnya
  • \(\sigma\): tensor tegasan
  • \(e\): tensor terikan infinitesimal
  • \(e^p\): tensor terikan plastik
  • \(\overline{e}^p\): terikan plastik setara

Hubungan tegasan luluh–terikan plastik setara diandaikan bertepatan dengan hubungan tegasan–terikan plastik dalam keadaan unipaksi.

Hubungan tegasan–terikan plastik dalam keadaan unipaksi

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

dengan \(H'\) ialah modulus pengerasan terikan.

Hubungan tegasan setara–terikan plastik setara

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Secara umum, fungsi luluh berikutnya ialah fungsi suhu dan kerja terikan plastik, tetapi untuk memudahkan, di sini ia diandaikan hanya sebagai fungsi terikan plastik setara \(\overline{e}^p\). Semasa ubah bentuk plastik berkembang, \(F = 0\) mesti terus dipenuhi, maka persamaan berikut mesti dipenuhi.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Di sini, \(\dot{F}\) menandakan terbitan masa bagi \(F\). Selepas ini, terbitan masa bagi kuantiti \(A\) dilambangkan dengan \(\dot{A}\).

Andaikan kewujudan potensi plastik \(\Theta\) dan nyatakan kadar terikan plastik dengan persamaan berikut.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Di sini, \(\dot{\lambda}\) ialah pekali.

Seterusnya, dengan mengandaikan bahawa potensi plastik \(\Theta\) sama dengan fungsi luluh \(F\), hukum aliran bersekutu berikut digunakan.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Menggantikan persamaan ini ke dalam syarat kekonsistenan memberikan persamaan berikut.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Di sini, \(D\) ialah matriks keanjalan, dan

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Hubungan tegasan–terikan elastoplastik boleh ditulis seperti berikut.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Setelah fungsi luluh \(F\) bagi bahan elastoplastik diketahui, persamaan konstitutifnya diperoleh daripada ungkapan ini.

Fungsi Luluh

Fungsi luluh elastoplastik yang digunakan oleh FrontISTR disenaraikan di bawah.

Fungsi Luluh Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Di sini, \(J_2\) ialah invarian kedua tensor tegasan deviatorik.

Fungsi Luluh Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Di sini, \(\sigma_1, \sigma_3\) ialah tegasan utama maksimum dan minimum, \(c\) ialah kohesi, dan \(\phi\) ialah sudut geseran dalaman.

Fungsi Luluh Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Di sini, pemalar bahan \(\alpha\) dan \(\sigma_y\) dikira daripada kohesi bahan dan sudut geseran seperti berikut.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Topik Berkaitan