Langkau tajuk talian

Fungsi Bentuk dan Penghampiran Unsur Terhingga

Untuk mengendalikan bentuk lemah prinsip kerja maya secara pengiraan, domain jasad dibahagikan kepada sejumlah unsur terhingga, dan koordinat titik bahan, sesaran serta fungsi ujian dalam setiap unsur diinterpolasi daripada nilai nod dan fungsi bentuk. Terbitan ruang bagi fungsi bentuk dihuraikan dalam Terbitan Ruang Fungsi Bentuk, pendiskretan bentuk lemah dalam Pendiskretan Kerja Maya Dalaman, dan bentuk khusus fungsi bentuk bagi setiap jenis unsur dalam Sistem Penomboran Unsur dan Pustaka Fungsi Bentuk serta bahagian seterusnya.

Pembahagian Domain dan Jumlah Kamiran Mengikut Unsur

Domain \(\Omega_0\) dalam konfigurasi rujukan dan domain \(\Omega\) dalam konfigurasi semasa masing-masing dihampiri oleh gabungan unsur \(\Omega^e_0\) dan \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) ialah nombor unsur, dan sempadan unsur dikongsi antara unsur bersebelahan.) Ini menguraikan kamiran isipadu dan permukaan dalam prinsip kerja maya kepada jumlah kamiran bagi setiap unsur:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Hal yang sama terpakai pada konfigurasi semasa dengan menggantikan \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), dan \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Selepas ini, penilaian bentuk lemah dikurangkan kepada pembinaan kamiran bagi setiap unsur.

Interpolasi Menggunakan Nilai Nod dan Fungsi Bentuk (Unsur Isoparametrik)

Setiap unsur \(\Omega^e_0\) diberikan \(n_e\) nod. Andaikan koordinat konfigurasi rujukan dan sesaran nod bagi nod unsur \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) masing-masing ialah \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Vektor nod unsur \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) dan \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) dibentuk dengan menyusun nilai-nilai ini; daripada vektor nod global \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) ialah jumlah nod), vektor tersebut hanya mengambil komponen nod yang membentuk unsur \(e\).

Dengan menggunakan koordinat semula jadi \(\boldsymbol{r}\), iaitu koordinat setempat dalam unsur, sebagai parameter, fungsi bentuk \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) menginterpolasi koordinat bahan, sesaran dan fungsi ujian dalam unsur menggunakan fungsi bentuk yang sama (unsur isoparametrik dan kaedah Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Fungsi bentuk dibina supaya memenuhi dua sifat berikut, dan geometri unsur dipilih supaya pemetaan \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) daripada koordinat semula jadi kepada koordinat bahan adalah satu-ke-satu dalam unsur:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) ialah titik dalam koordinat semula jadi yang sepadan dengan nod \(\alpha\), dan \(\delta_{\alpha\beta}\) ialah delta Kronecker.) Persamaan pertama menjamin penghasilan semula translasi jasad tegar, dan persamaan kedua menjamin bahawa nilai terinterpolasi bertepatan dengan nilai nod pada setiap nod. Bentuk khusus \(n_e\) dan \(N_\alpha^e\) bagi setiap jenis unsur diberikan dalam Sistem Penomboran Unsur dan Pustaka Fungsi Bentuk serta bahagian seterusnya. Untuk mengelakkan notasi yang rumit, kebergantungan pada jenis unsur diwakili oleh superskrip mengikut unsur \(e\).

Dengan peraturan interpolasi di atas, integran bentuk lemah boleh dinyatakan hanya dalam sebutan nilai nod unsur \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) dan \(N_\alpha^e\). Terikan pula diperoleh daripada sesaran terinterpolasi dan hubungan terikan-sesaran, manakala tegasan diperoleh daripada terikan tersebut dan hukum konstitutif bahan; kuantiti-kuantiti ini tidak diinterpolasi secara langsung daripada nilai nod. Ia dinilai pada titik kamiran dalam unsur (Pengamiran Berangka).

Peraturan Susunan Vektor Nod Global

Kuantiti fizik yang diberikan kepada nod disusun dalam vektor nod global mengikut tertib menaik nombor nod → darjah kebebasan. Jika, pada nod \(\alpha\), komponen darjah kebebasan \(i\) dilambangkan dengan \(u_{i\alpha}\), maka masing-masing dalam tiga dimensi (\(i=1,2,3\)) dan dua dimensi (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinat \(\boldsymbol{X}^n\) dan fungsi ujian \(\delta\boldsymbol{u}^n\) mengikuti susunan yang sama. Selepas ini, penerbitan dalam bentuk matriks dan vektor ditulis dengan kes tiga dimensi sebagai wakil.

Topik Berkaitan