Langkau tajuk talian

Pendiskretan Kerja Maya Dalaman

Persamaan kerja maya pada masa \(t + \Delta t\) yang dibentangkan dalam Rangka Kerja Analisis Kenaikan mempunyai dua bentuk, iaitu formulasi Updated Lagrange dan Total Lagrange, bergantung pada pemilihan konfigurasi rujukan. Dalam bab ini, penghampiran unsur terhingga yang diperkenalkan dalam Fungsi Bentuk dan Penghampiran Unsur Terhingga dan Terbitan Ruang Fungsi Bentuk digunakan untuk mendiskretkan secara ruang kerja maya dalaman bagi kedua-dua formulasi dan memperoleh vektor daya dalaman unsur \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) dan \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Bagi unsur \(e\), andaikan nod penyusunnya ialah \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); sesarannya ialah \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), dan vektor sesaran nod unsur disusun sebagai \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Sesaran maya \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ditakrifkan dalam tertib yang sama. Sesaran dalam unsur diinterpolasi oleh fungsi bentuk sebagai \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Kerja Maya Dalaman dalam Formulasi Updated Lagrange

Dalam formulasi Updated Lagrange, pada masa \(t\) konfigurasi semasa \({}^{t}\Omega\) digunakan sebagai konfigurasi rujukan, dan kerja maya dalaman ditulis dalam sebutan tegasan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dan bahagian linear terikan Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) sebagai

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Setiap komponen \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) boleh dinyatakan, menggunakan koordinat konfigurasi semasa \(\boldsymbol{x}\), sebagai gabungan linear terbitan fungsi bentuk \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) dan sesaran maya nod \(\delta u^e_{i\alpha}\). Dalam notasi Voigt, ini boleh dihimpunkan sebagai

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Blok nod \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) dibentuk dengan menyusun \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) mengikut konvensyen Voigt menjadi matriks \(6 \times 3\), dan \(\boldsymbol{B}_L\) ialah matriks terikan-sesaran bagi formulasi UL. Menggantikan ini ke dalam kerja maya dalaman dan mengeluarkan \(\delta \boldsymbol{u}^e\) sebagai faktor memberikan

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Bagi \(\boldsymbol{q}^e\), blok nod \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) ialah daya dalaman unsur \(\Omega^e\) yang bertindak pada nod penyusun \(\alpha\).

Kerja Maya Dalaman dalam Formulasi Total Lagrange

Dalam formulasi Total Lagrange, konfigurasi awal \(\Omega_0\) digunakan sebagai konfigurasi rujukan, dan kerja maya dalaman ditulis dalam sebutan tegasan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan terikan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) sebagai

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variasi \(\delta \boldsymbol{E}\) dipisahkan kepada sebutan yang linear terhadap sesaran maya dan sebutan tak linear yang mengandungi hasil darab dengan kecerunan sesaran semasa \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Sebutan linear boleh ditulis dengan menggunakan peraturan susunan yang sama seperti dalam formulasi UL pada \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), lalu memberikan blok nod \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Hanya terbitan penyusun berubah daripada \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) kepada \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) kerana perbezaan konfigurasi rujukan; simbol yang sama digunakan seperti dalam formulasi UL. Sebutan tak linear menggunakan hasil darab kecerunan sesaran semasa \(\partial u_k/\partial X_j\) dan \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), yang disusun mengikut konvensyen Voigt untuk membentuk blok nod \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Oleh itu, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), dan \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) ialah matriks terikan-sesaran bagi formulasi TL. Menggantikan ini ke dalam kerja maya dalaman memberikan

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Blok nod \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) ialah daya dalaman unsur \(\Omega^e_0\) yang bertindak pada nod penyusun \(\alpha\).

Kesepadanan antara UL/TL dan Aliran Pengiraan

Vektor daya dalaman unsur dalam formulasi Updated Lagrange dan Total Lagrange bersesuaian seperti berikut.

Item Formulasi Updated Lagrange Formulasi Total Lagrange
Konfigurasi rujukan Konfigurasi semasa \({}^{t}\Omega^e\) Konfigurasi awal \(\Omega^e_0\)
Tensor tegasan Tegasan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Tegasan PK kedua \(\boldsymbol{S}\)
Variasi terikan \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matriks B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Daya dalaman unsur \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Kedua-duanya diproses dengan prosedur yang sama: bina \(\boldsymbol{B}_L\) daripada terbitan ruang fungsi bentuk; dalam formulasi TL, bina dan tambah \(\boldsymbol{B}_{NL}\) daripada kecerunan sesaran semasa; kemas kini tegasan (\(\boldsymbol{\sigma}\) atau \(\boldsymbol{S}\)) menurut hukum konstitutif; dan kamir secara berangka \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) atau \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) pada domain unsur di titik kamiran (Pengamiran Berangka). Selain pertukaran konfigurasi rujukan (koordinat nod dan pembinaan matriks \(\boldsymbol{B}\)) serta penggantian tensor tegasan, pemprosesannya adalah sama, maka FrontISTR melaksanakan pengiraan daya dalaman bagi kedua-dua formulasi menggunakan subrutin bersama. Pemasangan vektor daya dalaman unsur \(\boldsymbol{q}^e\) dan \(\boldsymbol{Q}^e\) ke dalam vektor daya dalaman global dihuraikan dalam Kerja Maya Luaran dan Pemasangan Persamaan Global.

Topik Berkaitan