Langkau tajuk talian

Kerja Maya Daya Luaran dan Pemasangan Persamaan Global

Dalam Pendiskretan Kerja Maya Daya Dalaman, sebelah kiri bentuk lemah telah diturunkan kepada vektor daya dalaman unsur \(\boldsymbol{q}^e\) (kaedah UL) atau \(\boldsymbol{Q}^e\) (kaedah TL). Bab ini memperkenalkan vektor daya luaran nod unsur \(\boldsymbol{F}^e\) daripada kerja maya daya luaran, kemudian menggunakan operasi pemasangan yang menyusun semula dan mengumpulkan kuantiti nod unsur mengikut nombor nod global, dan akhirnya memperoleh sistem persamaan tak linear dalam sesaran nod yang diselesaikan oleh analisis struktur tak linear FrontISTR.

Penguraian Unsur bagi Kerja Maya Daya Luaran

Sebelah kanan Prinsip Kerja Maya boleh diuraikan unsur demi unsur kepada kerja maya daya luaran yang terdiri daripada daya jasad dan traksi permukaan yang ditetapkan pada sempadan mekanik. Untuk menulis interpolasi sesaran yang diperkenalkan dalam Fungsi Bentuk dan Penghampiran Unsur Terhingga dalam bentuk matriks, gunakan fungsi bentuk \(N_\alpha^e\) bagi nod \(\alpha\) yang disusun pada pepenjuru blok \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\), dan bentuk \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), supaya \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Menggantikan ini ke dalam kerja maya daya luaran yang ditulis dalam konfigurasi rujukan memberikan

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

di mana vektor daya luaran nod unsur disusun sebagai \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Oleh itu kerja maya daya luaran diturunkan kepada bentuk "vektor nod unsur × fungsi ujian" yang sama seperti sebelah daya dalaman (apabila ditulis dalam konfigurasi semasa, bentuk yang sama diperoleh dengan penggantian \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), dan \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Pemasangan Kuantiti Nod Unsur

Kuantiti nod \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) yang diperoleh bagi setiap unsur dikumpulkan ke dalam vektor global yang disusun mengikut nombor nod global. Ambil nombor nod global yang sepadan dengan nombor nod setempat \(\alpha\) bagi unsur \(\Omega^e\) sebagai

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Maka kuantiti nod unsur adalah sama dengan komponen sepadan bagi kuantiti nod global (contohnya, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Oleh sebab nod \(i_g\) secara umum dikongsi oleh berbilang unsur, takrifkan set pasangan \((e, \alpha)\) yang nombor nod globalnya ialah \(i_g\) sebagai

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Dengan menggunakan set ini untuk menulis semula jumlah sebagai \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), diperoleh daya dalaman nod dan vektor daya dalaman global untuk kesemua \(n_g\) nod:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Di sini \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) ialah resultan daya dalaman nod unsur yang bertindak pada nod \(i_g\) dan menjadi \(\boldsymbol{0}\) apabila tiada daya luaran bertindak dan keseimbangan dipenuhi. Prosedur yang sama dalam kaedah UL memberikan \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); kerana nilai berangkanya memenuhi \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), notasi \(\boldsymbol{Q}\) digunakan selepas ini kecuali apabila perbezaan perlu dinyatakan. Vektor daya luaran global \(\boldsymbol{F}\) diperoleh melalui pengumpulan yang sama.

Dalam pelaksanaan, set \(\mathcal{E}(i_g)\) tidak dibina secara eksplisit; sebaliknya, sumbangan ditambahkan kepada komponen yang sepadan di dalam gelung unsur.

Mulakan vektor daya dalaman global Q kepada 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (bilangan unsur)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Vektor daya luaran global \(\boldsymbol{F}\) dibina dengan prosedur yang sama. Operasi menambah dan menyimpan kuantiti nod unsur ke dalam vektor dan matriks yang bernombor mengikut nombor nod global ini dipanggil pemasangan. Bagi tensor tertib kedua yang berkaitan dengan dua nombor nod (seperti matriks kekakuan), pemasangan yang sama diperoleh menggunakan set \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{dan}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (lihat Matriks Kekakuan Tangen untuk pembinaan khusus).

Persamaan Tak Linear yang Perlu Diselesaikan

Dengan menggantikan daya dalaman dan luaran yang telah dipasang ke dalam Prinsip Kerja Maya, dan menggunakan hakikat bahawa ia berlaku untuk sebarang fungsi ujian \(\delta\boldsymbol{u}^n\) yang memenuhi syarat sempadan geometri, diperoleh

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Dalam konteks analisis tokokan (Rangka Kerja Analisis Tokokan), pulihkan subskrip masa \(_{n+1}\) dan gugurkan superskrip \(^n\) yang menandakan vektor nod global. Persamaan yang perlu diselesaikan kemudiannya ialah

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Dengan itu, masalah nilai sempadan terdiskret untuk mencari sesaran nod \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) pada masa \(t_{n+1}\) diturunkan kepada penyelesaian persamaan tak linear dalam sesaran ini bersama syarat sempadan geometri. Pelinearan persamaan dan pembinaan matriks kekakuan tangen dihuraikan dalam Matriks Kekakuan Tangen, manakala kaedah penyelesaian berulang dihuraikan dalam Kaedah Newton-Raphson.

Topik Berkaitan